2.2基本不等式11题型分类(讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2.2 基本不等式11题型分类 课程标准 学习目标 ①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。 ②利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。 通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问题，会用基本不等式解决简单问题的证明. 一、基本不等式 1．如果a>0，b>0， ，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3.不等式2 ab与不等式≤成立的条件一样吗？ 不一样，2ab成立的条件时a，b∈R，≤成立的条件是a>0，b>0. 4. 不等式2 ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？ 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立. 5.基本不等式成立的条件一正二定三相等. 二、基本不等式与最大值最小值 1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当时，积xy有最大值. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值. （一） 对基本不等式概念的理解 对基本不等式概念的理解 （1）基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． （2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a、b都是正数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 题型1：对基本不等式概念的理解 1．（2025高一·全国·课堂例题）不等式和基本不等式成立的条件有什么不同？ 【答案】答案见解析 【解析】不等式对任意实数a，b都成立； 中要求a，b都是正实数． 2．（2025高一·河南月考）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解. 【解析】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 3．（2025高一·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得． 【解析】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 4．（2025·河北·模拟预测）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 【答案】D 【分析】根据基本不等式及求最值的条件，逐一分析判断，即可求解. 【解析】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确， 对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则， 求和的最小值，需要乘积为定值，而不为定值，所以（3）错， 故选：D. （二） 利用基本不等式比较大小 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型2：利用基本不等式比较大小 5．（25-26高一·全国月考）已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】，当且仅当时，等号成立，故. 6．（2025高一·全国月考）已知，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合基本不等式求解即可. 【解析】因为，，， 所以， 即，当且仅当时等号成立． 故选：A. 7．【多选】（2025高一·贵州·期末）已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于选项ABD利用不等式即可判断，而选项C举反例.即可得到答案. 【解析】对于选项A：因为，，当且仅当时取等号，故A正确。 对于选项B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确. 对于选项C：当时，，故C错误. 对于选项D：，当且仅当，即时取等号.故D正确. 故选：ABD 8．【多选】（2025高三·全国月考）已知a，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用基本不等式判断的符号、求的范围，即可得答案. 【解析】对于A，B：由题知，， 所以，当且仅当时取等号， 因为，则，即，故， A错误， B正确； 对于C，D：因为，所以， 当且仅当即时取等号，所以，C正确，D错误． 故选：BC 9．（2025高一·全国月考）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算出. 【解析】因为a、b为正实数， 所以，当且仅当时，等号成立， ，所以，当且仅当时，等号成立， 综上：. 故选：B 题型3：利用基本不等式证明不等式 10．（2025高一·全国月考）已知都是正数，且. 求证：（1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由已知得，运用基本不等式得，可得证； （2）由基本不等式得，可得证. 【解析】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，； （2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，. 【点睛】本题考查基本不等式的应用于不等式的证明，在运用时注意满足基本不等式所需的条件：“一正二定三相等”，属于基础题. 11．（2025高二·河南洛阳月考）已知，，且，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用把化为，展开利用基本不等式求最值即可证明. 【解析】因为，，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立. 故原题得证. 12．（2025高一·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 【答案】（1）4；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式计算可得； （2）利用基本不等式计算可得. 【解析】（1），， 则． 当且仅当，即时等号成立． 所以函数的最小值为． （2），，， 即，当且仅当时等号成立． 13．（2025高一·陕西渭南月考）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【答案】证明见解析；证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【解析】（1）证明：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； （2）证明：∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 14．（2025高一·全国月考）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【解析】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. （三） 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0. (2)二定：化不等式的一边为定值． (3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式． 3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.. 4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是，等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用． 题型4：基本不等式的直接应用求最值 15．（2025高一·全国·课堂例题）基本不等式与最值． ①设为正实数，若(为定值)，则当时，积有 为 ． ②设为正实数，若(为定值)，则当时，和有 为 ． 【答案】 最大值 最小值 【分析】根据基本不等式求解最值. 【解析】①由，，当且仅当时等号成立， 所以有最大值； ②，，当时等号成立， 所以有最小值. 故答案为：最大值；；最小值； 16．（2025高一·广东佛山·期中）若，则的最小值为 ； 【答案】 【分析】由基本不等式求出最小值. 【解析】因为，故， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 17．（2025高一·贵州毕节·期末）已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据已知，利用基本不等式求解即可. 【解析】因为，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以. 故答案为：. 18．（2025高二·甘肃兰州·期末）已知，若，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用基本不等式即可得到答案. 【解析】因为，所以，解得， 当且仅当即，时，等号成立． 所以的最大值为2. 故答案为：2 19．（2025高一·广西贵港·期末）的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【解析】由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 题型5：配凑法求最值 20．（2025高一·湖南长沙·期末）若，则函数最大值为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【解析】， 由于，所以，故，当且仅当时等号成立， 因此， 故答案为： 21．（2025高一·江苏徐州·期末）已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为 【答案】1 【分析】对目标函数进行配凑，利用基本不等式即可求得函数最大值. 【解析】因为x＜，所以5－4x＞0， 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号． 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求函数最值，属基础题. 22．（2025高一·陕西商洛·期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分子分母乘以，直接利用基本不等式即可. 【解析】， 则由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 故取得最大值时x的值为 故选： 23．（2025高一·全国月考）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【解析】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 24．（2025高二·浙江月考）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【解析】因，则， 则，等号成立时. 故的最小值是. 故选：C 25．（2025高一·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【解析】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 26．【多选】（2025高一·河北邢台月考）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【解析】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 题型6：常数代换法求最值 27．（2025高一·云南昭通月考）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得，利用基本不等式中“1的妙用”求出最小值. 【解析】，且， 则 （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为． 故答案为： 28．（2025高一·陕西榆林月考）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【解析】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 29．（2025高二·云南楚雄月考）若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据“乘1法”，即可由基本不等式求解最值. 【解析】因为，所以 ． 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立，则． 故答案为： 30．（云南省文山州砚山县第三高级中学2025-2026学年高一学期期中考试数学试题）若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C 31．（2025高一·湖南·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可推得，然后根据“1”的代换，利用基本不等式，即可得出最小值. 【解析】由已知可得，，所以. 又， 所以. 当且仅当，即，时，等号成立. 所以，的最小值是. 故选：C. 32．（2025高三·全国月考）已知正数x、y满足，求的最小值为 ； 【答案】/ 【分析】利用1的妙用，由利用基本不等式求得结果. 【解析】， 当且仅当，即时取等号， 的最小值为. 故答案为：. 33．（2025高二·广西崇左·期末）若（，），则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．12 D．49 【答案】B 【分析】根据已知有且，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【解析】由题设且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B 34．【多选】（重庆市九龙坡区2025-2026学年高二学期期末学业质量调研抽测数学试题）设正数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】直接利用均值不等式判断A选项，通过“1”的代换判断B选项，利用平方判断CD选项. 【解析】A选项，， 当且仅当即时等号成立，故的最大值为，A错误； B选项，，当且仅当时等号成立，故B正确； C选项，由，得， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； D选项，由，得， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 35．（2025高二·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【解析】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 36．（2025·上海）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【解析】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 37．（2025高二·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】变形，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】正实数x、y满足，故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故答案为：1 38．（2025高二·河北沧州月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】B 【分析】根据已知有，应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【解析】由题意，， 又，当且仅当时取等号， 所以，即目标式最小值为7. 故选：B. 题型7：消元法求最值 39．（2025高三·全国月考）已知，若，则的最小值为 【答案】8 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【解析】因为，且，所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为8． 故答案为: 40．（2025高一·全国月考）已知正实数x，y满足，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】由题可得代入，结合基本不等式即可得出答案. 【解析】由可得：， 则. 当且仅当，即时取等. 故答案为：. 41．（2025高二·贵州遵义·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由题意得到关于的表达式，再利用换元法与基本不等式即可得解. 【解析】因为，， 所以，则， 由，得，令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用表示，从而将转化为关于的表达式，由此利用基本不等式即可得解. 42．（2025高二·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，最后利用基本不等式即可求解. 【解析】由有，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：. 43．（2025高二·黑龙江大庆月考）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由等式转化为关于得到一元二次方程，用表示，并表示，再利用基本不等式即可求解. 【解析】由条件可知，，则， 因为，所以， 所以，当，即时，等号成立. 故选：A 题型8：整体化求最值 44．（2025高一·广东汕头月考）的最大值为 . 【答案】 【分析】令，，则可将原式化为，再利用基本不等式即可求出其最大值. 【解析】令，则，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式. 45．（2025高一·浙江台州月考）若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】令，可得，则，进而可得，然后求出最大值即可. 【解析】令，则，即， 所以， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查由基本不等式求最值，解题关键是代数式的变形，即设，将原式转化为，从而得出可用基本不等式的形式. 46．（2026高三·全国月考）若正实数，满足，则的最小值为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，基本不等式：，即可求解. 【解析】因为正实数，满足，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立． 故选：A. 题型9：对勾函数 47．（2025高三·全国月考）设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性，分别求得和时的取值范围，即可得答案. 【解析】设函数，则当时，单调递增，此时； 当时，单调递减，此时， 故，则的取值范围是， 故答案为： 48．（2025高三·全国月考）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【答案】2 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【解析】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 故答案为：2. 49．【多选】（2025高一·江苏淮安·期中）下列各说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．的最小值为2 C．的解集是 D．不等式的解集是或 【答案】ACD 【分析】根据充要条件的定义判断A，根据对勾函数的性质判断B，解一元二次不等式判断C、D. 【解析】对于A：，均表示同正同负， “”是“”的充要条件，故A正确； 对于B：设，则，令，， 因为在上单调递增， 故函数最小值为，所以的最小值为，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：对于不等式，因为， 所以的解集是，故C正确； 对于D：不等式，即，解得或， 所以不等式的解集是或，故D正确. 故选：ACD （四） 基本不等式的恒成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 题型10：基本不等式的恒成立问题 50．（2025高一·安徽亳州月考）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【分析】由题意可得，求得即可. 【解析】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 51．（2025高一·安徽马鞍山月考）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【解析】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 52．（2025高一·全国月考）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【解析】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 53．（25-26高一·全国月考）已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】6 【解析】要使不等式恒成立，只需要.因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为6，即，故的最大值为6. 54．（2025高一·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【解析】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. 55．（2025高一·湖北月考）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据基本不等式即可求解最值，进而由即可求解. 【解析】因为，当且仅当且时取等号， 所以，整理得，解得，故正实数的最小值为9. 故选:D. 56．（2025高一·山东·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先根据基本不等式得到，结合题意得到，即，再解不等式即可. 【解析】，当且仅当时等号成立， 解得，即. 因为不等式恒成立， 所以，即，解得. 故选：B （五） 利用基本不等式解决实际问题 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)根据实际背景写出答案． 题型11：利用基本不等式解决实际问题 57．（25-26高一·全国月考）一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 【答案】D 【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则（小时），当且仅当，即时取等号． 58．（25-26高一·全国月考）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（   ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 【答案】B 【解析】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为；第二种方案的均价为．因为，当且仅当时，等号成立，所以无论油价如何变化，第二种方案更划算． 59．（25-26高一·全国月考）一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（   ） A．黄金少给了 B．黄金刚好 C．黄金多给了 D．与砝码放置顺序有关 【答案】C 【解析】设天平左、右两臂长分别为，两次放入的黄金的克数分别为x，y．由杠杆的平衡原理有，则．由于，且，故．因此，即顾客实际所得黄金大于10克． 60．（25-26高一·全国月考）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为 ． 【答案】37.5/70/2 【解析】设矩形广场的长为，宽为，且，，由三角形相似得，化简得，而，当且仅当，即时，等号成立，故，故健身广场的最大面积为． 61．（25-26高一·全国月考）海伦公式亦叫海伦——秦九韶公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中a，b，c分别是三角形的三边长，．已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】由海伦公式可知，不妨设，则，则，当且仅当，即时，等号成立． 62．（2025高三·湖南长沙月考）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 【答案】A 【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解. 【解析】设两次的单价分别是元/升， 甲加两次油的平均单价为，单位：元/升， 乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升， 因为，，， 所以，即， 即甲的平均单价低，甲更合算. 故选：A 一、单选题 1．（2025·河北衡水·模拟预测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【解析】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 2．（2025高三·全国月考）当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可. 【解析】当时 , 即，故. 故选:A. 3．（2025高一·江苏·假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由基本不等式求出的最小值，由恒成立即可求出的范围． 【解析】因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以， 故选：D． 4．（2025高二·北京·期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 【答案】A 【分析】先将函数化简，然后利用基本不等式即可求解. 【解析】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. 5．（2025高一·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【解析】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 6．（2025·宁夏银川·模拟预测）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【解析】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 7．（2025高一·安徽马鞍山月考）已知均为正实数，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解析】解：均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为 故选：C 8．（2025高一·北京月考）两个工厂生产同一种产品，其产量分别为.为便于调控生产，分别将、、中的值记为并进行分析.则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程可依次求得，结合基本不等式可得大小关系. 【解析】由得：，解得：，即； 由得：，解得：，即； 由得：，解得：，即； 又，（当且仅当时取等号），. 故选：A. 9．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令，，则，再用表示，依据基本不等式求的最值. 【解析】令，，则， 因为，所以， 因为，所以， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故选：C. 10．（2025高三·河南月考）已知，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为2 C．有最小值 D．有最大值4 【答案】B 【分析】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知，所以A错误；将原式化成，即可得，即B正确；不等式变形可得，利用基本不等式中“1”的妙用可知，C错误；将式子配方可得，再利用基本不等式可得其有最小值，无最大值，D错误. 【解析】对于选项，，即，故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为，A错误； 对于选项，原式化为，故；，故； 所以，当且仅当时等号成立，正确； 对于选项，原式化为，故， 当且仅当时等号成立，错误； 对于D选项，， 当且仅当时等号成立，故有最小值，D错误． 故选：B 11．（2025高三·全国月考）已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案. 【解析】∵， , ∴， 当且仅当 时，即时等号成立， 因此，函数,的最大值为, 故选：C． 12．（2025高三·北京·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式性质判断ACD，利用基本不等式判断B. 【解析】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，又，所以，正确； 对于C，因为，所以，，所以，错误； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以即，错误； 故选：B. 13．（2025高一·湖南月考）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据条件，得到，又，利用基本不等式，即可求解. 【解析】因为，则，又恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 故选：B. 14．（2025高一·北京月考）若、都有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】推导出，，将代入各选项中的代数式，利用基本不等式逐项判断即可. 【解析】显然不满足等式，所以，，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错； ， 当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错. 故选：A. 15．（2025高一·山东滨州·期中）已知,,且,则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为,利用基本不等式,注意等号成立的条件,即可求得答案. 【解析】 当且仅当,取等号,即,结合, 可得时,取得最小值． 故选:A. 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式最值,解题关键是灵活使用均值不等式,注意等号验证,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 二、多选题 16．（2025高一·江苏·假期作业）设，是正实数，则下列各式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由基本不等式即可判断A，B，C；通过作差法即可判断D． 【解析】对于A： ，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故A成立； 对于B： ，，则，当且仅当时等号成立，故B成立； 对于C： ，，则，当且仅当时等号成立，故C成立； 对于D： ，， 因为， 所以，故D错误， 故选：ABC． 17．（2025高一·广东珠海·期中）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是4 B．若且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 【答案】BD 【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】A.对于函数，当时，，所以A选项错误. B.由于，所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C.， 但无解，所以等号不成立，所以C选项错误. D.由于，所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：BD 18．（2025高二·辽宁辽阳·期末）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是4 C．的最小值是8 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用基本不等式根据可得，即可求解选项A；利用基本不等式“1”的妙用即可求解选项B；利用基本不等式可得即可求解选项C；根据，再结合等号成立条件可求解选项D. 【解析】因为，且，所以， 所以，当且仅当时，等号成立，则A错误； 由题意可得， 当且仅当时，等号成立，则B正确； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确； 由题意可得，此时，． 因为，所以不存在，使得，则D错误． 故选:BC. 19．（2025高二·河北张家口·期末）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用乘“1”法即可求出的最小值，利用基本不等式构造一元二次不等式不等式即可求出最小值. 【解析】由，得， ， 当且仅当，即时取等号，故B正确，A错误； ，所以，即， 当且仅当，即时取等号，故C错误，D正确； 故选：BD. 20．（2025高一·广西来宾月考）下列有关最值的结论正确的是（    ） A．当时，函数的最小值为2 B．若均为正数，且，则的最小值为4 C．若均为正数，且，则的最小值为1 D．若均为正数，且，则的最小值为2 【答案】BCD 【分析】应用基本不等式求A、C、D中目标式的最值，由“1”的代换及基本不等式求C中目标式的最值，注意取值条件即可. 【解析】对于A，当时，则， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，函数的最大值为，错误. 对于B，因为均为正数，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，正确. 对于C，若均为正数，且， 由基本不等式得，得，即，得， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为1，正确. 对于D，若均为正数，且，则，得， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2，正确. 故选：BCD 21．（2025高一·江苏连云港月考）已知，则的值可以是（    ） A．4 B．10 C． D．3 【答案】ABC 【分析】分和两种情况，利用基本不等式即可求出结果. 【解析】因为，当时，，当且仅当时，取等号， 当时，，当且仅当时，取等号， 所以选项ABC满足题意， 故选：ABC. 三、填空题 22．（2025高三·全国月考）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是 万元. 【答案】. 【分析】由题意可知年平均利润，然后利用基本不等式求其最值. 【解析】每台机器运转年的年平均利润为，而，故，当且仅当时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为万元. 故答案为： 【点睛】本题考查基本不等式的应用，较易，在应用基本不等式时注意“=”成立的条件. 23．（2025高三·全国月考）函数f（x）＝＋1的最小值为 ． 【答案】＋1 【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值. 【解析】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1， 令，t∈[，＋∞）， 则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥）， 则由u（t）在[，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥＋＝， 则g（t）≥， 所以函数f（x）的最小值为； 故答案为：. 24．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值. 【解析】因为，由基本不等式得：， 当且仅当，且，即时等号成立． 故答案为：3 25．（2025高一·安徽马鞍山月考）若命题“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式先求出的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解. 【解析】当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立，，所以 故答案为： 26．（2025高一·黑龙江佳木斯月考）已知，且是方程的一个根，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】由题意易得，代入所求式，利用基本不等式计算即得. 【解析】由题意，可得，即得， 则， 因，故，当且仅当即时等号成立， 即当，时，取得最小值8. 故答案为：8. 27．（2025高一·全国月考）已知，求的最大值 . 【答案】/ 【分析】化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【解析】由， 因为，可得， 当且仅当时，即等号成立， 所以，即最大值为. 故答案为：. 28．（2025高二·广东广州·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据对进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解. 【解析】当时，不成立，所以. 由得. 因为，，所以，解得，即. 所以， 令，则，于是. 令，，则. 由对勾函数的图象知，在上单调递减，故. 所以，即的最大值为. 故答案为：. 29．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先对已知式子变形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出结果. 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以           ， （当且仅当时取等号）， 所以的最小值为， 故答案为：. 四、解答题 30．（2025高一·江苏扬州月考）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为50立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，沼气池盖子的造价为2000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少? 【答案】当沼气池的底面是边长为5米的正方形时，沼气池总造价最低，最低总造价为7700元． 【分析】根据题意列出沼气池总造价的函数关系式，利用基本不等式即可求解最小值. 【解析】设沼气池的底面一边长为米，沼气池总造价为元， 因为沼气池的深为2米，容积为50立方米，所以沼气池底面面积为平方米， 则沼气池的底面另一边长为米， 依题意，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当沼气池的底面是边长为5米的正方形时，沼气池总造价最低，最低总造价为7700元． 31．（2025高一·四川绵阳月考）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．    (1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意得，利用基本不等式求出的最小值及时等号成立； （2）根据题意得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最值. 【解析】（1）由已知可得，而篱笆总长为． 又∵，当且仅当，即时等号成立． ∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小． （2）由已知得，又∵， ∴，当且仅当x＝y，即x＝5，y＝5时等号成立． ∴的最小值是． 32．（2025高一·陕西榆林·期末）已知，. (1)若，求的最大值； (2)若，证明：. 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）由运用基本不等式求乘积得最大值； （2）直接由基本不等式对已知等式进行放缩，证得结果. 【解析】（1）因为，所以. ， 当且仅当，，时，等号成立， 故的最大值为9. （2）证明：因为， 所以，又， 解得， 当且仅当时，等号成立. 故. 33．（2025高一·广西月考）（1）已知是正实数，且，求的最小值； （2）函数的最小值为多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式分析求解； （2）利用分离常数法，结合基本不等式分析求解. 【解析】（1）因为是正实数，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为； （2）因为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 34．（2025高一·河南洛阳·期末）某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，如图所示． (1)写出：满足的关系式； (2)求温室体积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方形面积公式即可得到. （2）首先利用基本不等式即可得到，令，得到，再解不等式即可得到答案. 【解析】（1）由题意得：顶棚所用材料的面积为，3面墙壁所用材料的面积为， 所以． （2）因为，当且仅当时取等号， 所以，令，则， 解得，∴，当且仅当，时取等号， 所以温室体积，则温室体积的最大值为． 35．（2025·青海·模拟预测）已知正数满足．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据，结合基本不等式，即可得证； （2）由，结合基本不等式，即可得证. 【解析】（1）证明：因为正数满足， 由，当且仅当时，等号成立， 可得， 即，所以，当且仅当时，等号成立. （2）证明：由 ， 当且仅当，即，等号成立. 所以. 36．（2025高一·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意只需证明，再利用作差法证明即可； （2）由（1）得，则，即可得解. 【解析】（1），，，． 要证，即证． ， ，即，当且仅当时等号成立． （2）因为，，且， 所以，且，则，， 由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立． 37．（2025高一·广西柳州月考）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)   (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【解析】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 38．（2025高一·河南月考）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用基本不等式，可得答案； （2）利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案. 【解析】（1）由，得，当且仅当时，等号成立． 故的最大值是3． （2）由，得，即． ， 当且仅当，即，时，等号成立． 故的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2.2 基本不等式11题型分类 课程标准 学习目标 ①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。 ②利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。 通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问题，会用基本不等式解决简单问题的证明. 一、基本不等式 1．如果a>0，b>0， ，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3.不等式2 ab与不等式≤成立的条件一样吗？ 不一样，2ab成立的条件时a，b∈R，≤成立的条件是a>0，b>0. 4. 不等式2 ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？ 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立. 5.基本不等式成立的条件一正二定三相等. 二、基本不等式与最大值最小值 1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当时，积xy有最大值. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值. （一） 对基本不等式概念的理解 对基本不等式概念的理解 （1）基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． （2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a、b都是正数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 题型1：对基本不等式概念的理解 1．（2025高一·全国·课堂例题）不等式和基本不等式成立的条件有什么不同？ 2．（2025高一·河南月考）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·模拟预测）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 （二） 利用基本不等式比较大小 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型2：利用基本不等式比较大小 5．（25-26高一·全国月考）已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 6．（2025高一·全国月考）已知，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．【多选】（2025高一·贵州·期末）已知，下列不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 8．【多选】（2025高三·全国月考）已知a，，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·全国月考）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 题型3：利用基本不等式证明不等式 10．（2025高一·全国月考）已知都是正数，且. 求证：（1）； （2）. 11．（2025高二·河南洛阳月考）已知，，且，求证：. 12．（2025高一·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 13．（2025高一·陕西渭南月考）（1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 14．（2025高一·全国月考）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. （三） 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0. (2)二定：化不等式的一边为定值． (3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式． 3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.. 4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是，等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用． 题型4：基本不等式的直接应用求最值 15．（2025高一·全国·课堂例题）基本不等式与最值． ①设为正实数，若(为定值)，则当时，积有 为 ． ②设为正实数，若(为定值)，则当时，和有 为 ． 16．（2025高一·广东佛山·期中）若，则的最小值为 ； 17．（2025高一·贵州毕节·期末）已知，则的最大值为 . 18．（2025高二·甘肃兰州·期末）已知，若，则的最大值为 ． 19．（2025高一·广西贵港·期末）的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型5：配凑法求最值 20．（2025高一·湖南长沙·期末）若，则函数最大值为 . 21．（2025高一·江苏徐州·期末）已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为 22．（2025高一·陕西商洛·期中）已知，则取得最大值时x的值为（    ） A． B． C． D． 23．（2025高一·全国月考）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 24．（2025高二·浙江月考）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（2025高一·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 26．【多选】（2025高一·河北邢台月考）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 题型6：常数代换法求最值 27．（2025高一·云南昭通月考）已知，且，则的最小值为 ． 28．（2025高一·陕西榆林月考）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 29．（2025高二·云南楚雄月考）若，则的最小值是 ． 30．（云南省文山州砚山县第三高级中学2025-2026学年高一学期期中考试数学试题）若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 31．（2025高一·湖南·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 32．（2025高三·全国月考）已知正数x、y满足，求的最小值为 ； 33．（2025高二·广西崇左·期末）若（，），则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．12 D．49 34．【多选】（重庆市九龙坡区2025-2026学年高二学期期末学业质量调研抽测数学试题）设正数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最小值为 35．（2025高二·江苏淮安·期末）已知为正数，，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D． 36．（2025·上海）设，则的最小值为 ． 37．（2025高二·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 . 38．（2025高二·河北沧州月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D．8 题型7：消元法求最值 39．（2025高三·全国月考）已知，若，则的最小值为 40．（2025高一·全国月考）已知正实数x，y满足，则的最大值是 . 41．（2025高二·贵州遵义·期末）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 42．（2025高二·江西赣州·期末）若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 43．（2025高二·黑龙江大庆月考）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 题型8：整体化求最值 44．（2025高一·广东汕头月考）的最大值为 . 45．（2025高一·浙江台州月考）若实数满足，则的最大值为 . 46．（2026高三·全国月考）若正实数，满足，则的最小值为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 题型9：对勾函数 47．（2025高三·全国月考）设，则的取值范围是 ． 48．（2025高三·全国月考）函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 49．【多选】（2025高一·江苏淮安·期中）下列各说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．的最小值为2 C．的解集是 D．不等式的解集是或 （四） 基本不等式的恒成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 题型10：基本不等式的恒成立问题 50．（2025高一·安徽亳州月考）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 51．（2025高一·安徽马鞍山月考）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52．（2025高一·全国月考）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 53．（25-26高一·全国月考）已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为 . 54．（2025高一·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 55．（2025高一·湖北月考）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 56．（2025高一·山东·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 （五） 利用基本不等式解决实际问题 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)根据实际背景写出答案． 题型11：利用基本不等式解决实际问题 57．（25-26高一·全国月考）一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 58．（25-26高一·全国月考）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（   ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 59．（25-26高一·全国月考）一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（   ） A．黄金少给了 B．黄金刚好 C．黄金多给了 D．与砝码放置顺序有关 60．（25-26高一·全国月考）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为 ． 61．（25-26高一·全国月考）海伦公式亦叫海伦——秦九韶公式．它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为，其中a，b，c分别是三角形的三边长，．已知一根长为8的木棍，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为2，则该三角形面积的最大值为 ． 62．（2025高三·湖南长沙月考）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 一、单选题 1．（2025·河北衡水·模拟预测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国月考）当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2025高一·江苏·假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2025高二·北京·期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 5．（2025高一·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·宁夏银川·模拟预测）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·安徽马鞍山月考）已知均为正实数，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2025高一·北京月考）两个工厂生产同一种产品，其产量分别为.为便于调控生产，分别将、、中的值记为并进行分析.则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2025高三·河南月考）已知，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为2 C．有最小值 D．有最大值4 11．（2025高三·全国月考）已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 12．（2025高三·北京·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·湖南月考）已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（2025高一·北京月考）若、都有恒成立，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025高一·山东滨州·期中）已知,,且,则的最小值为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 16．（2025高一·江苏·假期作业）设，是正实数，则下列各式中成立的是（　　） A． B． C． D． 17．（2025高一·广东珠海·期中）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是4 B．若且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 18．（2025高二·辽宁辽阳·期末）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是4 C．的最小值是8 D．的最小值是 19．（2025高二·河北张家口·期末）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 20．（2025高一·广西来宾月考）下列有关最值的结论正确的是（    ） A．当时，函数的最小值为2 B．若均为正数，且，则的最小值为4 C．若均为正数，且，则的最小值为1 D．若均为正数，且，则的最小值为2 21．（2025高一·江苏连云港月考）已知，则的值可以是（    ） A．4 B．10 C． D．3 三、填空题 22．（2025高三·全国月考）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是 万元. 23．（2025高三·全国月考）函数f（x）＝＋1的最小值为 ． 24．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若，则的最小值为 ． 25．（2025高一·安徽马鞍山月考）若命题“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是 . 26．（2025高一·黑龙江佳木斯月考）已知，且是方程的一个根，则的最小值是 ． 27．（2025高一·全国月考）已知，求的最大值 . 28．（2025高二·广东广州·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 29．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，且，则的最小值为 . 四、解答题 30．（2025高一·江苏扬州月考）党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为50立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，沼气池盖子的造价为2000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低，最低总造价是多少? 31．（2025高一·四川绵阳月考）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．    (1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值． 32．（2025高一·陕西榆林·期末）已知，. (1)若，求的最大值； (2)若，证明：. 33．（2025高一·广西月考）（1）已知是正实数，且，求的最小值； （2）函数的最小值为多少？ 34．（2025高一·河南洛阳·期末）某种植户要倚靠院墙建一个高3m的长方体温室用于育苗，至多有54m2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为，如图所示． (1)写出：满足的关系式； (2)求温室体积的最大值． 35．（2025·青海·模拟预测）已知正数满足．求证： (1)； (2)． 36．（2025高一·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 37．（2025高一·广西柳州月考）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 38．（2025高一·河南月考）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$