第19讲 直角三角形的性质与锐角三角函数（知识梳理+14考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第19讲 直角三角形的性质与锐角三角函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关计算与证明： 2.初步了解正弦、余弦、正切的概念，正确运用正弦、余弦、正切表示直角三角形的两边比： 3.熟记特殊角的三角函数值： 4.能用计算器进行有关三角函数值的计算. 一、直角三角形的性质 直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 二、锐角三角函数 锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 正弦、余弦、正切的概念 定义 表达式 图形 正弦 余弦 正切 锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ， 2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角. 锐角三角函数的性质 性质 前提：0°＜∠A＜90° sin A随∠A的增大而增大 cos A随∠A的增大而减小 tan A随∠A的增大而增大 【易错易混】 1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1. 2. tan A乘方时,一般写成,它与含义相同(正弦、余弦相同). 3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的. 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关. 4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 【考点一】含30°的直角三角形有关计算 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，平分交边于点D，若，则线段的长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求出，再由角平分线的定义得到，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，即可由，得到． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴ ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等角对等边，三角形内角和定理等等，求出，再推出，得到是解题的关键． 2．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，已知某菱形花坛的周长是24m，，则花坛对角线的长是（    ） A．3m B．6m C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意可求出，根据，可求出，根据菱形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长为， ∴，， ∵， ∴， 设交于点， ∴在中，，， ∴， ∴， 故选：． 3．（16-17九年级上·河北秦皇岛·期中）如图所示是一个中心对称图形，点为对称中心．若，，，则的长为（    ）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的特点可知：，再根据含角的直角三角形的性质以及勾股定理求出，问题随之得解． 【详解】根据中心对称图形的特点可知：， ∵，， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的特点，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据中心对称图形的特点得到，是解答本题的关键． 4．（23-24九年级上·山东威海·期末）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为 ．    【答案】米/ 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质； 过O作，过A作于G，求出，根据含直角三角形的性质求出，然后可得答案． 【详解】解：过O作，过A作于G，    ∵米，， ∴米， ∵，， ∴， ∴在中，米， ∴点A位于最高点时到地面的距离为米， 故答案为：5米． 【考点二】利用斜边的中线等于斜边的一半求解 5．（20-21八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，点D、E分别是、的中点，，点F是上一点．．连接，．若，则的长度为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而求出，再根据三角形的中位线定理即可求出． 【详解】解：∵，点E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， 故选：D． 6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）某生态公园的人工湖周边修葺了条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点刚好在湖与小径相交处．若测得的长为，的长为，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．由题意知，，点是的中点，根据直角三角形的性质，得到，再根据勾股定理求出的长，由此求出，两点间的距离． 【详解】解：由题意得：，点是的中点， ， ，， ， ． 故选：． 7．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，是的中线，E是的中点，连接．若，则的度数为 ．    【答案】/30度 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据垂直定义可得，从而在中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，再在中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得度数． 【详解】解：， ， 点是的中点， ， ，是的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）在中，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明是直角三角形是解决问题的关键．由根的判别式求出a，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论， 【详解】关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， ， ， ∴是直角三角形，是斜边， ∴边上的中线长； 故答案为∶5． 【考点三】正弦、余弦、正切的概念辨析 9．（20-21九年级上·甘肃白银·期末）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（   ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角形，根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案． 【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 10．（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）在中，，设，，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意可得： ，，， ∴，，，， 故A选项成立，B，C，D不成立， 故选A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 11．（2020·黑龙江哈尔滨·一模）已知中，为的对边，为的对边，若与已知，则下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可． 【详解】解：如图所示：tanA=， 则a=btan∠A． 故选：C． 【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 12．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则下面四个等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据∠B的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可． 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°， ∵sinB=， ∴c=，A选项等式不成立； ∵cosB=， ∴a=c•cosB，B选项等式成立； ∵tanB=， ∴a=，C选项等式不成立； ∵tanB=， ∴b=a•tanB，D选项等式不成立； 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键． 【考点四】根据定义直接求角的正弦、余弦、正切值 13．（22-23九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过P作轴于N，轴于M，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，轴于M，则，    ∵点， ∴，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键． 14．（22-23九年级上·江苏徐州·期末）如图，已知大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据已知可得大正方形的边长是5，小正方形的边长是1，然后设三角形的长直角边为a，短直角边为b，从而可得，，进而可得，，最后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴大正方形的边长是5，小正方形的边长是1， 设三角形的长直角边为a，短直角边为b， 由题意得： ，， 解得：，， （负根舍去） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，数学常识，勾股定理的证明，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及勾股定理是解题的关键． 15．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，点E，F分别在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点D处．    （1）的值为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 【答案】 或 【分析】（1）由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）设，则，由折叠的性质可知，，由题意知，分，，两种情况计算求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， ∵与相似，分，，两种情况求解； ∴当时，，即， 解得，； 当时，，即， 解得，； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，余弦，折叠的性质，相似三角形的性质．熟练掌握勾股定理，余弦，折叠的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 16．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，点E在边上，连接，将矩形沿着折叠，使点D恰好落在边上的F处，； （1） ； （2）若，则 ； 【答案】 / / 【分析】本题考查了矩形与折叠，锐角三角函数的定义； （1）设，，根据折叠的性质得出三角形的各边长，然后利用等角变换得出，继而可得出答案． （2）由求出三角形的各边长，即可求出， 【详解】（1）∵ ∴设，， ∵将矩形沿着折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴由（1）可得，解得 ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点五】根据正弦、余弦、正切的概念求边长 17．（23-24九年级上·河南郑州·期末）学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和的三角函数值有关．根据下图，请你用的正弦（或余弦）的大小来描述梯子的倾斜程度： ． 【答案】的正弦值越大，梯子越陡． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角的正弦、余弦是解决问题的关键． 先利用正弦的定义得到，由于为定值，则越大，梯子越陡，所以的正弦值越大，梯子越陡． 【详解】解：∵， ∴， ∵为定值， ∴越大，梯子越陡， 即的正弦值越大，梯子越陡． 故答案为：的正弦值越大，梯子越陡． 18．（21-22九年级上·广东梅州·期中）在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数定义，得出，然后把代入，求出的长，再根据勾股定理，计算即可得出的长． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握锐角三角函数定义． 19．（22-23九年级上·辽宁丹东·期末）如图，已知中，斜边上的高，，则 ． 【答案】3 【分析】根据题意可得，即可得出，则，求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵为直角三角形，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，解题的关键是掌握等角的三角函数值相等． 20．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为 ．    【答案】15 【分析】由，可设，由勾股定理得到，由直角角三角形斜边上中线的性质得到，再证，求得，据此求解即可得到答案． 【详解】解：， ∴设， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形斜边上中线的性质，掌握三角函数，直角三角形中线的性质是解题的关键． 【考点六】构造直角三角形求正弦、余弦、正切值 21．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接．利用格点和勾股定理求出，，，，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再利用正切的定义即可求出的值． 本题考查勾股定理与格点问题，勾股定理的逆定理，正切的定义等，解题的关键是利用格点构造直角三角形． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， 是直角三角形，， ，， ， 故选B． 22．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是，的顶点都在格点上，则的正弦值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，等腰三角形的性质，正弦的定义，连接，由勾股定理判断出为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据正弦的定义即可求解，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点若的顶点均是格点，则的值是 ． 【答案】 【分析】延长到，连接，由网格可得，即得，可求出答案． 【详解】解：延长到，连接，如图： ，，， ， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 24．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为 ．    【答案】1 【分析】连接，根据勾股定理可求出，，从而得出，则根据勾股定理逆定理可得出为直角三角形，且，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接．    由图可知，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理，正切的定义．正确的作出辅助线是解题关键． 【考点七】根据特殊角的三角函数值求角的度数 25．（20-21九年级上·广东佛山·期末）在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 【答案】D 【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作”求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都扩大5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：D． 26．（2020·四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：且， 则， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 27．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知锐角，且，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．根据的值，即可得出的度数． 【详解】解：，为锐角， ， ， 故答案为：． 28．（2018·广东深圳·一模）在中，若，则∠C的度数是 【答案】/度 【分析】根据非负性，求出，进而求出，根据三角形内角和，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，绝对值的非负性以及三角形的内角和．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【考点八】特殊角三角函数值的混合运算 29．（22-23九年级上·山东烟台·期末）关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是 ． 【答案】 【分析】根据，代入特殊三角函数值计算即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角函数的混合运算，掌握特殊角三角函数值是解题关键． 30．（23-24九年级上·山东泰安·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算： （1）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解； （2）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 31．（23-24九年级上·山东烟台·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊值三角函数值，熟练掌握分式的化简求值是解答本题的关键，先计算括号内的分式加减，然后计算分式的乘除，化简结果为，再计算特殊值三角函数值求得x的值，最后代入即可． 【详解】           ， ， 原式． 32．（23-24九年级上·河北保定·期末）计算下列各题． (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算． （1）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； （2）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点九】已知角度比较三角函数值大小 33．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 当，， ， ， ， 综上所述，与的差不能确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论． 34．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐角A的各三角函数值没有变化， 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键． 35．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 【考点十】根据三角函数值确定锐角的取值范围 36．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）若，可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键． 直接利用特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴可能是． 故选：D． 37．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】解：，，， 又∵解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小， ∴ ． 故选：B． 38．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦值随着角度的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：当时，， ∵为锐角，正弦值随着角度的增大而增大， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，以及锐角的正弦值随着角度的增大而增大，是解题的关键． 39．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小，然后化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小是解题的关键． 【考点十一】利用同角三角函数关系求值 40．（23-24九年级上·四川广元·阶段练习）在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案． 【详解】解：由题意，得， 故设 则， 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键． 41．（20-21九年级上·广西崇左·期末）如图，在中，于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题目已知条件推出∽，则可得，然后根据，设，，利用对应边成比例表示出的值，进而得出的值， 【详解】∵在中，， ∴, ∵于点， ∴， ∴，， ∴∽， ∴，即，， ∵， ∴设，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长． 42．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】分子分母同时除以，化成正切代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 43．（21-22九年级上·安徽亳州·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．    (1)求的值； (2)填空：当为锐角时，______； (3)利用上述规律，求下列式子的值：． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】（1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可； 【详解】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2． 又∵， ∴； （2）当为锐角时，， 故答案为 1； （3） = =（44个1相加） = 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． 【考点十二】互余两角的三角函数关系 44．（22-23九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 45．（20-21九年级·全国·课后作业）在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的概念表示出，，所以；再根据三角形的三边关系进行分析． 【详解】解：设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是． 根据锐角三角函数的概念，得 ，． 所以， 再根据三角形的三边关系，得， 故的值大于1． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，首先理解锐角三角函数的概念，再结合三角形的三边关系进行分析． 46．（2023·江苏苏州·一模）化简等于（    ） A． B．0 C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质得出，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性化简即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键． 47．（2024·上海·模拟预测） （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了互余两角的余弦与正弦的关系．熟练掌握互余两角的余弦与正弦的关系是解题的关键． 由，可知． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【考点十三】三角函数综合 48．（22-23九年级上·福建泉州·期末）（1）如图1，在等边中，P为边上一点，且，则______； （2）如图2，在中，，，P为边上的一点，且，求的值； （3）如图3，在中，，P为边上的一点，且，试说明：． 【答案】（1）2 （2） （3）见解析 【分析】（1）通过角的大小关系可得到，利用三角函数即可得解； （2）过点A分别作于D，的延长线于点E，通过条件证得，，根据角的大小关系求得，然后利用三角函数关系，并采用等量代换即可得解； （3）作边上的中线，并以为一边作，另一边与交于O，通过条件证得，，通过角的大小关系得到，然后结合三角函数关系可得证． 【详解】（1）解：在等边中，， ， , 在中，， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：如图，过点A分别作于D，的延长线于点E． ， ，． ，， ，． 在中，， 则在中，， ．即． （3）证明：如图4，作边上的中线，并以为一边作，另一边与交于O． ，，． ，． 又，， ， ，， ，即． 又，即， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等知识，适当添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 49．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，是上一点，过点作，垂足为．连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)已知为的中点． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由题中条件，结合两个三角形相似的判定与性质即可得到答案； （2）①由（1）中，结合两个三角形相似的判定与性质判断即可得到答案；②由（1）中，得到，设设，由勾股定理计算，由即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：①由（1），知， 为的中点， ， ， ， ， ； ②由（1），可得， ， ， ，设， 在中，根据勾股定理，得， ． 【点睛】本题考查相似综合，涉及两个三角形相似的判定与性质、中点定义、勾股定理及三角函数等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 50．（22-23九年级上·广西崇左·期末）如图，将矩形纸片沿着过点的直线折叠，使点A落在边上，落点为，折痕交边于点． (1)若，，求的值； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由折叠可知，根据矩形性质得，结合已知即可求出； （2）根据题意得，设，则，，在中，由勾股定理解得，求出，，由，求得，可得，利用相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）（1）根据题意得：， 在矩形纸片中，， ∵，， ∴， ∴； （2）根据题意得：， 设，则，则， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：或（舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、求正弦值；熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 51．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． (1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为__________． (2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和，和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为__________． 【分析】观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，从而解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就变换到中． (3)如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为__________． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）过点作，交延长线于点，由图可知点在格点上，由勾股定理可得，然后在中计算即可； （2）由平行线的性质可得，即有，再在中，由求解可获答案； （3）取格点，连接，由平行线的性质可得，由图易知为等腰直角三角形，即有，由即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，过点作，交延长线于点， 由图可知点在格点上，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2； （3）如下图，取格点，连接， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了格点三角形、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题关键是运用转化思想和数形结合的思想分析问题． 【考点十四】利用计算器求三角函数值 52．（2024·上海·模拟预测）的值在（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角函数的计算，根据三角函数的计算求解即可． 【详解】解： ∴的值在． 故选：C． 53．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了计算器，根据正切的定义求出的表达式是解题的关键．根据正切的定义求出的表达式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 54．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了正切三角函数的定义，及其用计算器求值，熟练掌握相关概念，和计算器使用方法和输入的顺序是解题关键．根据正切函数的定义，可得，然后根据科学计算器的应用进一步计算即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴正确的按键顺序为 ， 故选：D. 55．（23-24九年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值．（结果精确到） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用计算器求三角函数的近似值，正确使用计算器是解题的关键． （1）运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值． （2）运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值． （3）运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值． 【详解】（1）； （2）； （3）． 1．（2024·广东汕头·模拟预测）中，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握余弦定义和勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理计算出，然后利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：，，， ， ． 故选：D． 2．（2023·上海·模拟预测）一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的 相等（填锐角三角比名称） 【答案】余弦值 【分析】本题主要考查了余角，以及三角函数的相关知识，通过举例可得出结论． 【详解】解：例如：，的余角为， ∴． 又∵ ∴一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的余弦值相等， 故答案为：余弦值． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】根据三角函数定义与性质，值越大越大；值越小越大；值越大越大，从而判断出答案． 本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键． 【详解】解：A、的值越大，梯子越陡，故A符合题意； B、的值越小，梯子越陡，故B不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，故C不符合题意； D、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意． 故选：A． 4．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）估计的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、无理数的估算，先求出，再估算出即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴ 估计的值在3与4之间， 故选：B． 5.（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点C作交于点E计算即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴设，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．（2024·云南德宏·一模）如图，在矩形中，，，是的中点，则长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴ ∵是的中点， ∴ 故选：C． 7（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论正确的有（   ） ①；②； ③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，由角平分线定义得是等边三角形，进而得E为中点，则可得，则可判定①；易得，则可判定②；由直角三角形中斜边最长则可判定③；由是等腰三角形及O为中点可判定⑤；由含角直角三角形性质可判定④，最后可确定答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，； ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴点E为中点， ∴， ∴ ∴； ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴； 故②正确； ∵， ∴直角三角形中斜边最长，即， 故③错误； ∵， ∴平分，， ∴； 故⑤正确； 在中，， ∴； ∵， ∴ 故④正确； 故正确的有4个； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形性质，灵活运用这些性质是关键． 8．（2024·山东烟台·一模）若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了计算器的使用方法，牢记计算器的按键顺序是解题的关键； 首先找到的按键符号，即键，然后根据键的使用方法，结合题目，即可得出答案． 【详解】在计算器中按下，然后找到的按键符号，即键 按下键，再按键，A项符合题意 故选：A． 9．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，P是矩形的对角线的中点，E是的中点．若，则四边形的周长是 ．    【答案】9 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理，由矩形的性质得出，由勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证明是的中位线，由三角形中位线定理得出，四边形ABPE的周长，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵P是矩形的对角线的中点，E是的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴四边形的周长； 故答案为：9． 10．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题意知，，，如图，过作于，过作于，则，，，，可知当三点共线，且时，的值最小，为，由勾股定理得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 如图，过作于，过作于， ∴，， ∴，， ∴当三点共线，且时，的值最小，为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，含的直角三角形，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 11．（2024·山西太原·三模）如图，已知在中，，，，过点C作于，过点作于，过点作于，过点作于，……，按此方法得到的的长为 ． 【答案】 【分析】由，，，，可得，由，可得，由，，，可得，由，可得，由题意知，，，则，，，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴，， ∴可推导一般性规律为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，余弦，正弦，图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 12．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 13．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在矩形中，，，与的平分线相交于点．直线是边AD的垂直平分线，连接AE交直线于点，则 ，线段PE的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形性质、解三角形、相似三角形的判定和性质． 过点E作，垂足为H，过点E作，垂足为N，可得、都是等腰直角三角形，从而求出，，进而可得，，再由正切定义和平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：过点E作，垂足为H，过点E作，垂足为N， ∵在矩形中，，，， ∴，， ∴、都是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∴在中，， ， 又∵直线是边AD的垂直平分线， ∴， ， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， 故答案为： ； ． 14．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，，是的中线，，与交于点，且点恰好是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)32． 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、三角形的中位线的性质、直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识， （1）先证四边形是平行四边形，由是的中线，得出，进而即可得证； （2）在菱形中，，可证出是等边三角形，进而即可得出菱形的周长； 熟练掌握其性质的综合应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：是的中线， 点是的中点， 又点是的中点， 即， ， 四边形是平行四边形， 是的中线，， ， 四边形是菱形； （2）解：在菱形中，， ， ， 是等边三角形， ， 菱形的周长为：． 15．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在等腰中，，平分，，垂足为点E． (1)试说明：； (2)若，，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质求得，得到，据此可证明； （2）利用等腰三角形的性质求得，根据相似三角形的性质求得，再利用三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2024·广西·中考真题）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求． （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长． 【详解】（1）解：如下直线l即为所求． （2）连接如下图： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 直角三角形的性质与锐角三角函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关计算与证明： 2.初步了解正弦、余弦、正切的概念，正确运用正弦、余弦、正切表示直角三角形的两边比： 3.熟记特殊角的三角函数值： 4.能用计算器进行有关三角函数值的计算. 一、直角三角形的性质 直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 二、锐角三角函数 锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 正弦、余弦、正切的概念 定义 表达式 图形 正弦 余弦 正切 锐角三角函数的关系： 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ， 2) 互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角. 锐角三角函数的性质 性质 前提：0°＜∠A＜90° sin A随∠A的增大而增大 cos A随∠A的增大而减小 tan A随∠A的增大而增大 【易错易混】 1. 若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角的符号“∠”,如 tan A、sin a、cos A.若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的,则表示它的正弦、余弦及正切时,不能省略角的符号“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1. 2. tan A乘方时,一般写成,它与含义相同(正弦、余弦相同). 3. 锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的. 而且由锐角三角函数的定义可知,其本质特征是两条线段长的比.因此,锐角三角函数只有数值,没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形的边长无关. 4. 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 【考点一】含30°的直角三角形有关计算 1．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，平分交边于点D，若，则线段的长为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，已知某菱形花坛的周长是24m，，则花坛对角线的长是（    ） A．3m B．6m C． D． 3．（16-17九年级上·河北秦皇岛·期中）如图所示是一个中心对称图形，点为对称中心．若，，，则的长为（    ）    A．4 B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东威海·期末）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为 ．    【考点二】利用斜边的中线等于斜边的一半求解 5．（20-21八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，点D、E分别是、的中点，，点F是上一点．．连接，．若，则的长度为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）某生态公园的人工湖周边修葺了条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点刚好在湖与小径相交处．若测得的长为，的长为，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，是的中线，E是的中点，连接．若，则的度数为 ．    8．（23-24九年级上·湖南邵阳·期末）在中，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为 ． 【考点三】正弦、余弦、正切的概念辨析 9．（20-21九年级上·甘肃白银·期末）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（   ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 10．（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）在中，，设，，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（2020·黑龙江哈尔滨·一模）已知中，为的对边，为的对边，若与已知，则下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 12．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则下面四个等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【考点四】根据定义直接求角的正弦、余弦、正切值 13．（22-23九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 14．（22-23九年级上·江苏徐州·期末）如图，已知大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，那么 ． 15．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，点E，F分别在边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点D处．    （1）的值为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 16．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，点E在边上，连接，将矩形沿着折叠，使点D恰好落在边上的F处，； （1） ； （2）若，则 ； 【考点五】根据正弦、余弦、正切的概念求边长 17．（23-24九年级上·河南郑州·期末）学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和的三角函数值有关．根据下图，请你用的正弦（或余弦）的大小来描述梯子的倾斜程度： ． 18．（21-22九年级上·广东梅州·期中）在中，，，，则 ． 19．（22-23九年级上·辽宁丹东·期末）如图，已知中，斜边上的高，，则 ． 20．（22-23九年级上·山西运城·期末）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为 ．    【考点六】构造直角三角形求正弦、余弦、正切值 21．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 22．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是，的顶点都在格点上，则的正弦值是 ． 23．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点若的顶点均是格点，则的值是 ． 24．（22-23九年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为 ．    【考点七】根据特殊角的三角函数值求角的度数 25．（20-21九年级上·广东佛山·期末）在中，，若的三边都扩大5倍，则的值（ ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变 26．（2020·四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 27．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）已知锐角，且，则 ． 28．（2018·广东深圳·一模）在中，若，则∠C的度数是 【考点八】特殊角三角函数值的混合运算 29．（22-23九年级上·山东烟台·期末）关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是 ． 30．（23-24九年级上·山东泰安·期末）计算： (1) (2) 31．（23-24九年级上·山东烟台·期末）先化简，再求值：，其中． 32．（23-24九年级上·河北保定·期末）计算下列各题． (1) (2) 【考点九】已知角度比较三角函数值大小 33．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 34．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 35．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【考点十】根据三角函数值确定锐角的取值范围 36．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）若，可能是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 39．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）若，则 ． 【考点十一】利用同角三角函数关系求值 40．（23-24九年级上·四川广元·阶段练习）在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 41．（20-21九年级上·广西崇左·期末）如图，在中，于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为 ． 43．（21-22九年级上·安徽亳州·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．    (1)求的值； (2)填空：当为锐角时，______； (3)利用上述规律，求下列式子的值：． 【考点十二】互余两角的三角函数关系 44．（22-23九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 45．（20-21九年级·全国·课后作业）在中，，则的值（    ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关 46．（2023·江苏苏州·一模）化简等于（    ） A． B．0 C． D．以上都不对 47．（2024·上海·模拟预测） （选填“”或“”或“”）． 【考点十三】三角函数综合 48．（22-23九年级上·福建泉州·期末）（1）如图1，在等边中，P为边上一点，且，则______； （2）如图2，在中，，，P为边上的一点，且，求的值； （3）如图3，在中，，P为边上的一点，且，试说明：． 49．（23-24九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，是上一点，过点作，垂足为．连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)已知为的中点． ①求证：； ②若，求的值． 50．（22-23九年级上·广西崇左·期末）如图，将矩形纸片沿着过点的直线折叠，使点A落在边上，落点为，折痕交边于点． (1)若，，求的值； (2)若，，求的长． 51．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． (1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为__________． (2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和，和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为__________． 【分析】观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，从而解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就变换到中． (3)如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为__________． 【考点十四】利用计算器求三角函数值 52．（2024·上海·模拟预测）的值在（    ） A． B． C． D． 53．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 54．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   55．（23-24九年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值．（结果精确到） (1)； (2)； (3)． 1．（2024·广东汕头·模拟预测）中，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海·模拟预测）一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的 相等（填锐角三角比名称） 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（　　） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 4．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）估计的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 5.（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 6．（2024·云南德宏·一模）如图，在矩形中，，，是的中点，则长为（   ） A．1 B． C． D． 7（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论正确的有（   ） ①；②； ③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（2024·山东烟台·一模）若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A．     B．   C．   D．   9．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，P是矩形的对角线的中点，E是的中点．若，则四边形的周长是 ．    10．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 11．（2024·山西太原·三模）如图，已知在中，，，，过点C作于，过点作于，过点作于，过点作于，……，按此方法得到的的长为 ． 12．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 13．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在矩形中，，，与的平分线相交于点．直线是边AD的垂直平分线，连接AE交直线于点，则 ，线段PE的长为 ． 14．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，，是的中线，，与交于点，且点恰好是的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 15．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在等腰中，，平分，，垂足为点E． (1)试说明：； (2)若，，则的值为 ． 16．（2024·广西·中考真题）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，连接，若，求的长． ( 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