第16讲 三角形中位线与位似图形（知识梳理+12考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第16讲 三角形中位线与位似图形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单问题； 2.会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小： 3.理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画位似图形. 一、三角形的中位线的概念及定理 1. 概念：连接三角形两边中点的线段叫作三角形中位线. 如图所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE是△ABC的一条中位线. 2. 三角形的中位线与三角形的中线是不一样的，三角形中位线是两条边中点的连线，而三角形中线是顶点与对边中点的连线. 3. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. 二、位似图形 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 常见的位似图形： 画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 位似图形的性质： 1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点； 2）位似图形的对应边互相平行或者共线. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 画位似图形的步骤： 1）确定位似中心,找原图形的关键点. 2）确定位似比. 3）以位似中心为端点向各关键点作射线. 4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形. 【考点一】与三角形中位线有关的求解问题 1．（2023·山西吕梁·三模）如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是，则的周长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 2．（22-23九年级上·河南南阳·期中）如图，是的中位线，平分交于点D，若，则边的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，在中，点D，E，F分别是边的中点．若，则四边形的周长为 ． 4．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，在中，，点，，分别是、、的中点，连接、，则四边形的周长为 ． 【考点二】三角形中位线与三角形面积问题 1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在中，点，分别是，的中点，若，则 ． 2．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）如图，在中，D、E分别是边的中点，若，则（   ）    A．1 B．2 C．4 D．6 3．（2023·吉林延边·一模）如图，、是的两条中线，则 ． 4．（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）如图所示，已知的面积为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，第个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·江苏南京·一模）如图，在菱形中，、分别是、的中点． (1)求证； (2)若菱形的面积为8，则的面积为______． 【考点三】与三角形中位线有关的证明问题 1．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，已知中，、为、边上的中线，M、N是、的中点． (1)四边形为平行四边形吗？为什么？ (2)连接，当线段与线段有怎样的关系时，四边形是菱形？为什么？ 2．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在 中，点分别为的中点，连接并延长至点，使 ，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，四边形是何特殊平行四边形? 请说明理由． 3．（2023·广西·三模）知识回顾 例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的倍长中线方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决． 实践操作 如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你延长交延长线于点，我们易证（自行补充图形）． 数学发现 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？   （用字母及符号表示） ． 证明猜想 请结合“实践操作”完成猜想的证明． 已知： 求证： 证明：    实际应用 如图，在中，，，是边的中点，是内一点，且 连接并延长，交于点，若，求的长．    4．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2  如图，中，D、E分别是边、的中点，、相交于G．求证：． 证明  连结， 根据教材内容，结合图①，给出例2的完整证明过程． 【结论概括】 如果在图①中，取的中点F，假设与交于，如图②，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与是重合的． 于是，我们有以下结论： 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的_______． 【结论应用】 如图③所示，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，、相较于点O，且，则四边形的面积值为_______． 【考点四】三角形的实际应用 1．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·河北石家庄·一模）图1是三角形空地，计划用栅栏分成两部分种植不同的植物如图2，则栅栏AB的长度是（    ） A．2m B．3m C．4m D．1m 3．（20-21八年级下·贵州毕节·期末）东东家有一块等腰三角形的空地，如图，已知，分别是边，的中点，量得米，米，他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（    ） A．22米 B．24米 C．27米 D．32米 【考点五】位似图形的识别 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 2．（22-23八年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 3．（2023·河北廊坊·三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下： 嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似； 淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对 4．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（　　） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【考点六】判断位似中心 1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 2．（21-22九年级下·全国·单元测试）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（      ）    A．点A B．点 C．点 D．点 3．（21-22九年级上·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（　　） A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1） 4．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，是经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O． (1)请在图中画出点O的位置； (2)若，，求的长． 【考点七】根据位似的概念判断正误 1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④ 2．（21-22九年级下·全国·单元测试）下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形； ②位似图形对应线段的比等于相似比； ③位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； ④位似图形周长的比等于相似比的平方． 其中正确命题的序号是（ ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 3．（21-22九年级上·四川资阳·期末）下列说法错误的是（    ） A．位似图形一定是相似图形 B．顶角相等的两个等腰三角形不一定相似 C．两个相似三角形的周长比是，则其面积的比是 D．中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形与的面积之比是 【考点八】求两个位似图形的相似比 1．（2023·河北·二模）如图，已知图形①与图形②位似，且两个图形的面积比为，则图形①与图形②的位似比（    ） A．是定值，为 B．是定值，为 C．是定值，为 D．不是定值，随着图形的形状变化 2．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，DE是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图是标示了、、顶点坐标的某三角形广场，现要将该广场进行扩建，以点为位似中心，使得扩建前的与扩建后的位似．若已知点的对应点的坐标为，则 （1）与的相似比为 ； （2）点的对应点的坐标为 ． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，矩形的对角线与相交于点O，E，F，G，H分别是，，，的中点，那么矩形与四边形是不是位似图形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，请说明理由． 【考点九】格点中作位似图形 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），其中点的坐标分别为，，． (1)在给定的网格中，以点为位似中心，将扩大为原来的倍，得到，请画出； (2)画出以为邻边的平行四边形，则顶点的坐标为 ； (3)在图中标出边的中点． 3．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长； (2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形． 【考点十】求位似图形的坐标 1．（2024年重庆市两江新区九年级中考适应性考试（指标到校）数学试题）如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为，点C的坐标为，且，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南濮阳·三模）如图，中，两个顶点在轴的上方，点 的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，若与的位似比是，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西吕梁·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，若矩形与矩形关于原点位似，且矩形的周长为矩形周长的，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的图形． (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使新图与原图的相似比为，并分别写出A、B的对应点C、D的坐标． 【考点十一】求位似图形的长度 1．（23-24九年级上·重庆江北·阶段练习）如图，与位似，点O为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2023·重庆九龙坡·二模）如图，与位似，位似中心为O．与的面积之比为9∶1，若，则OA的长度为（    ）    A．6 B．12 C．18 D．20 3．（22-23八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画，使与成位似图形，且与的相似比为，则线段的长度为 ． 【考点十二】求位似图形的周长、面积 1．（2024·湖南长沙·一模）如图，与位似，位似中心为点O．已知，若的周长等于4，则的周长等于 ． 2．（2023·山东德州·一模）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）已知和是位似图形．的面积为，的周长是的周长一半．则的面积等于（ ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知与的面积之比是，则与之比是 ． 5．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，且和的面积之比为，点的坐标为，若点的对应点的横坐标为，则点的横坐标为 ． 一、单选题 1．（陕西省安康市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，某数学兴趣小组打算测量公园内两地之间的距离，但两地之间有一个水池，于是兴趣小组的同学们在处取点，连接，，测出，的中点之间的距离是，则两地之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（北京市房山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C． D． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点是内一点，且，连接．若点、、、分别为线段、、、的中点，且，，，则图中阴影部分的周长为（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 4．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在正方形中，为线段上一点且，连接，交于点，分别作，的中点，，连接，若，则为（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）如图，是线段边上的一动点，，，，，，、分别是、的中点，随着点的运动，线段长（    ） A．随着点的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 6．（2023·重庆·模拟预测）如图，和是位似图形，点O是位似中心，若，的面积为9，则的面积为（　　） A．1 B． C． D． 7．（2023·重庆铜梁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，，则与的周长之比是（ ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）如图是标准对数视力表的一部分，在图内下面的四个较小“E”中，和最上面较大“E”是位似图形的“E”居于（    ） A．左上 B．右上 C．左下 D．右下 9．（2023九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 10．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 12．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，是的中位线，若的周长为10，则的周长为 ．    13．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，在中，平分，，E是的中点．若，，则 ． 14．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点，平分，分别交于点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的序号为 ． 15．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，与关于点位似，其中，，若，则 ． 16．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小． 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，为固定点，，在点处分别装上画笔． 画图：现有一图形，画图时固定点，控制点处的笔尖沿图形的轮廓线移动，此时点处的画笔便画出了将图形放大后的图形． 原理： 若连接，，可证得以下结论： ①和为等腰三角形，则（ ）； ②四边形为平行四边形； ③，于是可得三点在一条直线上； ④当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的 倍得到的． 17．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，与位似，点为位似中心，若的周长为，则的周长为 ．    18．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 三、解答题 19．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知四边形， (1)如图（1），若，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图（2），若于，，，求的值． 20．（23-24九年级上·广东清远·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在给出的网格中画出，并写出点的坐标． (2)若图中每个小方格的面积为1，求出的面积． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 三角形中位线与位似图形 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单问题； 2.会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小： 3.理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画位似图形. 一、三角形的中位线的概念及定理 1. 概念：连接三角形两边中点的线段叫作三角形中位线. 如图所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE是△ABC的一条中位线. 2. 三角形的中位线与三角形的中线是不一样的，三角形中位线是两条边中点的连线，而三角形中线是顶点与对边中点的连线. 3. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. 二、位似图形 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 常见的位似图形： 画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 位似图形的性质： 1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点； 2）位似图形的对应边互相平行或者共线. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 画位似图形的步骤： 1）确定位似中心,找原图形的关键点. 2）确定位似比. 3）以位似中心为端点向各关键点作射线. 4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形. 【考点一】与三角形中位线有关的求解问题 1．（2023·山西吕梁·三模）如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是，则的周长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据平行四边形的性质得出，，再根据点是的中点，三角形中位线定理得出，，继而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， ∵的周长是，即 ∴的周长， 故选：B． 2．（22-23九年级上·河南南阳·期中）如图，是的中位线，平分交于点D，若，则边的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 由三角形的中位线定理得到，，利用等腰三角形的判定结合平行线的性质和角平分线的定义求出，可得，即可求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2023·云南昆明·模拟预测）如图，在中，点D，E，F分别是边的中点．若，则四边形的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，根据中位线定理和中点的定义分别得到，再利用整体思想即可求解． 【详解】解：∵点D，E，F分别是边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：14 4．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，在中，，点，，分别是、、的中点，连接、，则四边形的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理分别求出、，根据线段中点的概念分别求出、，计算即可． 【详解】解：点，，分别是、、的中点，，，， 、是的中位线，，， ，， 四边形的周长为：， 故答案为：9． 【考点二】三角形中位线与三角形面积问题 1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在中，点，分别是，的中点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了中位线的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先根据中点得出是的中位线，再根据中位线的性质得出，，进一步证明，然后根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线 ， 故答案为：． 2．（21-22八年级下·贵州安顺·期末）如图，在中，D、E分别是边的中点，若，则（   ）    A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据中位线定理得出DE：：2，根据面积比等于相似比的平方得出的面积即可得出四边形的面积． 【详解】解：点D、E分别是线段AB、AC的中点， 是的中位线， ，DE：：2， ， ， ， 四边形BCED的面积是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查中位线定理和相似三角形的性质，根据面积比等于相似比的平方得出三角形的面积是解题的关键． 3．（2023·吉林延边·一模）如图，、是的两条中线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、三角形的面积计算．根据三角形中位线定理得到，，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：、是的两条中线， ∴，， ， ， 是的中线， ， ， 故答案为：． 4．（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）如图所示，已知的面积为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，第个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的面积，同理第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图：过点A作于G，交于H，则， 、E、F分别为、、的中点， 、、分别为的中位线， ，，，， ，， ， 同理：第三个三角形的面积=， 第四个三角形的面积第三个三角形面积， ……， ∴第2013个三角形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，找出规律是解题的关键． 5．（2022·江苏南京·一模）如图，在菱形中，、分别是、的中点． (1)求证； (2)若菱形的面积为8，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】(1) 由四边形ABCD是菱形，即可求得AB＝AD，∠B＝∠D，又由、分别是、的中点可证得BE＝DF，根据SAS，即可证△ABE≌△ADF得AE＝AF，从而得证． (2) 连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得EF与BD关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，BC＝DC，∠B＝∠D， ∵、分别是、的中点, ∴，， ∴BE＝DF， 在△ABE和△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）； ∴AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE． （2）连接AC、BD，交于点O，AC交EF于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC，菱形ABCD的面积为：， ∵点E、F分别是边BC、CD的中点， ∴EF∥BD，EF＝BD， ∴AC⊥EF，AG＝3CG， 设AC＝a，BD＝b， ∴，即ab＝16， ∴． 故答案为：3 【点睛】此题考查的是菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，能够利用三角形面积公式得到答案是解决此题关键． 【考点三】与三角形中位线有关的证明问题 1．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，已知中，、为、边上的中线，M、N是、的中点． (1)四边形为平行四边形吗？为什么？ (2)连接，当线段与线段有怎样的关系时，四边形是菱形？为什么？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)当时，四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定及菱形的判定，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线； （1）由已知中给出的中线与中点的条件，可以证明为的中位线，为的中位线，然后由中位线定理可以得到且，根据平行四边形判定定理，可以得到四边形为平行四边形； （2）由中位线定理可得到是的中位线，而为的中位线，所以可以得到当时，四边形是菱形． 【详解】（1）四边形为平行四边形，理由如下： 的边、上的中线、相交于点O， 为的中位线， 且， M、N分别是、的中点， 为的中位线， 且， 且， 四边形是平行四边形 （2）当时，四边形是菱形，理由如下： 连接， 点E、M分别是、的中点， 是的中位线， ． 当时， 由（1）知，． ． 又由（1）知，四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 当时，四边形是菱形． 2．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在 中，点分别为的中点，连接并延长至点，使 ，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，四边形是何特殊平行四边形? 请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，结合即可得证； （2）由三角形中位线定理可得，从而得出，求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 3．（2023·广西·三模）知识回顾 例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的倍长中线方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决． 实践操作 如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你延长交延长线于点，我们易证（自行补充图形）． 数学发现 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？   （用字母及符号表示） ． 证明猜想 请结合“实践操作”完成猜想的证明． 已知： 求证： 证明：    实际应用 如图，在中，，，是边的中点，是内一点，且 连接并延长，交于点，若，求的长．    【答案】数学发现：，，证明见解析；实际应用： 【分析】数学发现：连接并延长，交的延长线于点，证明 ，得到，，在中，利用三角形的中位线可得，，进而可得结论； 实际应用：由题意可知是梯形的中位线，根据梯形的中位线定理可得，求出，再根据平行四边形的性质得，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】数学发现： 已知：如图，，、分别是两腰、的中点，连接． 求证：和． 证明：如图，连接并延长，交的延长线于点．    ， ， 是的中点， ， ， ， ，， 点是的中点，又点是的中点， 是的中位线， ，， ， ，， ， ，； 实际应用： 是边的中点，且，， 中，， ，，是边的中点， 是的中点， 是梯形的中位线， ， ， ， 又， ．    【点睛】本题考查了三角形的中位线，梯形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是添加辅助线，利用转化的思想解决问题． 4．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2  如图，中，D、E分别是边、的中点，、相交于G．求证：． 证明  连结， 根据教材内容，结合图①，给出例2的完整证明过程． 【结论概括】 如果在图①中，取的中点F，假设与交于，如图②，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与是重合的． 于是，我们有以下结论： 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的_______． 【结论应用】 如图③所示，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，、相较于点O，且，则四边形的面积值为_______． 【答案】教材呈现：见解析；结论概括：；结论应用：2 【分析】本题考查了相似三角形判定及性质，三角形中位线定理，关键是根据三角形的重心性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的解答． 教材呈现：连接，如图①，先利用三角形中位线的性质得到，，则证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例的性质得到结论； 结论概括：根据，，则，即两图中的点与是重合的，即可归纳出结论； 结论应用：根据三角形中线的性质得，，，则，，由题意知为三角形的重心，则，可得，进而根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】解：教材呈现：连接，如图①， ∵、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； 结论概括：由上可知，，，则，即两图中的点与是重合的． 则三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的， 故答案为：； 结论应用：∵，为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴，，则， ∵为的中点，为的中点， ∴，为三角形的重心， 则， ∴， 则四边形的面积为， 故答案为：2． 【考点四】三角形的实际应用 1．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，之间的距离是， 故选：． 2．（2022·河北石家庄·一模）图1是三角形空地，计划用栅栏分成两部分种植不同的植物如图2，则栅栏AB的长度是（    ） A．2m B．3m C．4m D．1m 【答案】A 【分析】如图，由图可知，由，可知是的中点，是的中位线，根据计算求解即可． 【详解】解：如图， 由图可知 ∵ ∴是的中点 ∴是的中位线 ∴m 故选A． 【点睛】本题考查了中位线的性质．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质． 3．（20-21八年级下·贵州毕节·期末）东东家有一块等腰三角形的空地，如图，已知，分别是边，的中点，量得米，米，他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（    ） A．22米 B．24米 C．27米 D．32米 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理求出EF，根据三角形的中点的概念分别求出BE、CF，计算即可． 【详解】解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，AB＝AC＝12米，BC＝10米， ∴EF＝BC＝5（米），BE＝AB＝6（米），CF＝AB＝6（米）， ∴需要篱笆的长＝5＋6＋6＋10＝27（米）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【考点五】位似图形的识别 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于位似变换，是解答本题的关键． 【详解】解：这种图形改变属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于位似变换． 故选B． 2．（22-23八年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键． 3．（2023·河北廊坊·三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下： 嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似； 淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对 【答案】A 【分析】根据相似与位似的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，嘉嘉向外扩张得到的新的正方形的边长为3，且仍为正方形， 故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点． 淇淇向外扩张得到的新的正方形的边长为，且仍为正方形， 故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点． 故两人说法正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似与位似．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，下面三组图形中，位似图形有（　　） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：三组图形都是相似图形，第一组和第三组图形的对应点连线所在的直线经过同一点，第二组图形的对应点连线所在的直线不经过同一点， 第一组和第三组图形是位似图形，第二组不是位似图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形必须同时满足两个条件：①两个图形是相似图形；②两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，二者缺一不可． 【考点六】判断位似中心 1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，    故选D． 【点睛】本题考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 2．（21-22九年级下·全国·单元测试）如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（      ）    A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，据此即可求解． 【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点， 位似中心在A、B所在的直线上， 点D在直线上， 点D为位似中心． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上是解题关键． 3．（21-22九年级上·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（　　） A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1） 【答案】C 【分析】连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图，点E即为位似中心，E（10，0）， 故选：C． 【点睛】此题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键． 4．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，是经过位似变换得到的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），位似中心是点O． (1)请在图中画出点O的位置； (2)若，，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查位似变换，熟知位似图形性质是解题的关键． （1）根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置； （2）根据位似性质即可求得答案． 【详解】（1）解：根据点O的位置如图所示． （2）∵是经过位似变换得到的， ∴， ∴． ∵，， ∴． 【考点七】根据位似的概念判断正误 1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可． 【详解】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误，不符合题意； 位似图形一定有位似中心，②正确，符合题意； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形，③正确，符合题意； 位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误，不符合题意． 位似多边形的对应边平行，⑤错误，不符合题意． 故选：A． 2．（21-22九年级下·全国·单元测试）下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形； ②位似图形对应线段的比等于相似比； ③位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； ④位似图形周长的比等于相似比的平方． 其中正确命题的序号是（ ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，据此逐一判断即可． 【详解】解：①相似图形不一定是位似图形，说法错误； ②位似图形对应线段的比等于相似比，说法正确； ③位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，说法正确； ④位似图形周长的比等于相似比，说法错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的定义．掌握相似图形和位似图形之间的联系与区别是解决问题的关键． 3．（21-22九年级上·四川资阳·期末）下列说法错误的是（    ） A．位似图形一定是相似图形 B．顶角相等的两个等腰三角形不一定相似 C．两个相似三角形的周长比是，则其面积的比是 D．中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形与的面积之比是 【答案】B 【分析】根据位似图形的前提就是相似，等腰三角形顶角相等，则底角一定相等，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行判断即可． 【详解】解：A．位似图形一定是相似图形，故选项正确，不符合题意； B．顶角相等的两个等腰三角形一定相似，故选项错误，符合题意； C．两个相似三角形的周长比是，则其面积的比是，故选项正确，不符合题意； D．中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形与的面积之比是，故选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，位似图形和相似图形的关系，熟练掌握相似的判定和性质是解决此题的关键． 【考点八】求两个位似图形的相似比 1．（2023·河北·二模）如图，已知图形①与图形②位似，且两个图形的面积比为，则图形①与图形②的位似比（    ） A．是定值，为 B．是定值，为 C．是定值，为 D．不是定值，随着图形的形状变化 【答案】C 【分析】根据位似的性质，即可得出答案． 【详解】∵图形①与图形②位似， ∴图形①与图形②的面积比等于相似比的平方， ∵两个图形的面积比为， ∴图形①与图形②位似比为：，且位似比是定值， 故选：C． 【点睛】本题考查位似的知识，解题的关键是掌握位似图形的性质． 2．（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，DE是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案． 【详解】 DE是的中位线，是的中位线， ，， ，，， ， 相似比为， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查中位线的性质和位似图形的判定与性质，熟练掌握位似图形的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图是标示了、、顶点坐标的某三角形广场，现要将该广场进行扩建，以点为位似中心，使得扩建前的与扩建后的位似．若已知点的对应点的坐标为，则 （1）与的相似比为 ； （2）点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形的性质， （1）先分别确定点与点、点与点横坐标的距离，即可得出结论； （2）设点，然后分别表示出、的横坐标、纵坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算； 根据位似变换的定义，利用两点间的横（纵）坐标的距离之比等于对应边的比列出方程是解题的关键． 【详解】解：（1）∵以点为位似中心，使得扩建前的与扩建后的位似，且、、、 ∴点与点横坐标的距离为：， 点与点横坐标的距离为：， ， ∴与的相似比为， 故答案为：； （2）设点， ∴点与点横坐标的距离为：，点与点横坐标的距离为：， 点与点纵坐标的距离为：，点与点横坐标的距离为：， ∵与的相似比为， ∴，， 解得：，， 经检验：，是原方程的解且符合题意， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，矩形的对角线与相交于点O，E，F，G，H分别是，，，的中点，那么矩形与四边形是不是位似图形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，请说明理由． 【答案】是位似图形，位似中心是点O，相似比为2 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质以及位似的相关知识，根据矩形的性质可得对应线段的平行和比值，继而判定四边形是矩形，结合对应得比值即可得到位似比，结合对应点和交点即可确定位似中心． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴． 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，，， ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形与矩形相似，且相似比为2． 又∵两个图形的对应点所在直线都经过点O， ∴它们是位似图形，位似中心是点O，相似比为2． 【考点九】格点中作位似图形 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据位似变换的性质画出图形即可； （2）先用勾股定理算出两个三角形的各边长，然后根据对应边的比相同即可证明结论． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）证明：小正方形边长为1， ∴，，， ，，， ∵，，， ∴， ∴． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），其中点的坐标分别为，，． (1)在给定的网格中，以点为位似中心，将扩大为原来的倍，得到，请画出； (2)画出以为邻边的平行四边形，则顶点的坐标为 ； (3)在图中标出边的中点． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3)作图见详解 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握位似图形的作图方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据位似图形的定义及作图即可求解； （2）根据平行四边形的判定和性质即可求解； （3）根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据位似作图的方法，图示如下， ，，，， ∴，， ∴即为所求图形； （2）解：已知的坐标分别为，，， 根据平行四边形的性质作图如下， ∴， 故答案为：； （3）解：根据平行四边形对角线相互平分，作图如下， ∴点即为所求点的位置． 3．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长； (2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）取的中点，然后顺次连接即可；根据勾股定理可得，，结合图形可知，故，取格点，使得，则有，连接，再取点，连接，此时可有，，即四边形为平行四边形，则有，易得，，所以，易得，连接，则平分四边形的周长； （2）取格点，，，使得，，，连接交于，易证明，所以，结合，可得，即为直角三角形，因为，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得；在网格中取点，连接交于点，则，过点作，交为点，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，四边形，线段即为所求； （2）如下图，，四边形即为所求． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—复杂作图、位似图形、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握尺规作图的常见作法是解题关键． 【考点十】求位似图形的坐标 1．（2024年重庆市两江新区九年级中考适应性考试（指标到校）数学试题）如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为，点C的坐标为，且，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形．正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 过点A作轴于点M，过点D作轴于点N．利用相似三角形的性质求出，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点M，过点D作轴于点N． ∵与是以点C为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵轴， 轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2024·河南濮阳·三模）如图，中，两个顶点在轴的上方，点 的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，若与的位似比是，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，过点作轴于点，轴于点，根据相似三角形的性质得到，利用相似比即可求解， 正确作出辅助线，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】过点作轴于点，轴于点， 则， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∵点的横坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标是， 故选：． 3．（2024·山西吕梁·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，若矩形与矩形关于原点位似，且矩形的周长为矩形周长的，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据矩形的周长为矩形周长的，得到位似比为，即可得到答案； 【详解】解：∵矩形与矩形关于原点位似，矩形的周长为矩形周长的， ∴矩形与矩形的位似比为， ∵顶点的坐标为， ∴的坐标为或， 即：的坐标为或， 故选：D． 4．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的图形． (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使新图与原图的相似比为，并分别写出A、B的对应点C、D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，位似图形： （1）根据题意找到点A，B的对应点，再顺次连接，即可； （2）根据题意找到点A，B的对应点，再顺次连接，即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示即为所求， ． 【考点十一】求位似图形的长度 1．（23-24九年级上·重庆江北·阶段练习）如图，与位似，点O为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，位似图形的性质，据此得，结合，即可作答． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心， ∴， ∵若的周长等于周长的，， ∴， 即． 故选：A． 3．（2023·重庆九龙坡·二模）如图，与位似，位似中心为O．与的面积之比为9∶1，若，则OA的长度为（    ）    A．6 B．12 C．18 D．20 【答案】A 【分析】由与位似，与的面积之比为9∶1，即可得，继而求得答案． 【详解】解：∵与位似，与的面积之比为9∶1， ∴，， ∵， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查了位似的概念和性质，相似三角形的性质，熟知位似的概念，理解三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 3．（22-23八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画，使与成位似图形，且与的相似比为，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】先根据位似图形的性质得到点的坐标，再根据两点间的距离公式计算出的长即可得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心画，使与成位似图形，且与的相似比为，而，， ，或，， 或， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，还考查了两点间的距离公式． 【考点十二】求位似图形的周长、面积 1．（2024·湖南长沙·一模）如图，与位似，位似中心为点O．已知，若的周长等于4，则的周长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长：的周长， ∵的周长等于4， ∴的周长， 故答案为：12． 2．（2023·山东德州·一模）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了位似变换，求出位似比，根据位似比即为两个位似三角形的周长比即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，， ∴和的位似比， ∴与的周长比是， 故答案为：． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）已知和是位似图形．的面积为，的周长是的周长一半．则的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的性质，根据和是位似图形，可得，利用相似的性质求得是本题的关键．根据位似变换的性质、相似三角形的性质计算即可． 【详解】∵的周长是的周长一半， ∴与的相似比为1：2， ∴与的面积比为1：4， ∴， 故选：A． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知与的面积之比是，则与之比是 ． 【答案】3：1 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形面积比是位似比的平方，对应点到位似中心的距离比也是位似比即可得解． 【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，与的面积之比是． ∴，， 故答案为：3：1． 5．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，且和的面积之比为，点的坐标为，若点的对应点的横坐标为，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，，根据得到，根据相似三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ， ， 和的面积之比为：， ， 由题意得：， ， 解得：， ，即点的横坐标为， 故答案为：． 一、单选题 1．（陕西省安康市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，某数学兴趣小组打算测量公园内两地之间的距离，但两地之间有一个水池，于是兴趣小组的同学们在处取点，连接，，测出，的中点之间的距离是，则两地之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 由分别是，的中点，得到是的中位线，由三角形的中位线定理即可求出两地之间的距离． 【详解】解：∵分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（北京市房山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、中位线，熟练掌握菱形的性质和中位线的性质是解题的关键，利用菱形的性质：对角线相互垂直，中位线的性质：平行且等于底边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，点O为的中点， ∴． 故选：C． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点是内一点，且，连接．若点、、、分别为线段、、、的中点，且，，，则图中阴影部分的周长为（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：， ， 由勾股定理得：， 点、、、分别为线段、、、的中点， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， 阴影部分的周长为：， 故选：A 4．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在正方形中，为线段上一点且，连接，交于点，分别作，的中点，，连接，若，则为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理．连接，根据正方形的性质得过点，，进而可求出，，再证为的中位线，然后根据三角形的中位线定理可得出的长． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为正方形，为对角线，点为的中点， ∴过点，， ， ， ∵过点， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴ 为的中位线， ， 故选：C． 5．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）如图，是线段边上的一动点，，，，，，、分别是、的中点，随着点的运动，线段长（    ） A．随着点的位置变化而变化 B．保持不变，长为 C．保持不变，长为 D．保持不变，长为 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线性质和勾股定理，矩形的性质与判定，熟记性质以及定理并求出的值是解题的关键．连接，根据勾股定理求出的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，问题得解． 【详解】解：如图所示，连接，过点C作，交延长线于， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 6．（2023·重庆·模拟预测）如图，和是位似图形，点O是位似中心，若，的面积为9，则的面积为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换的性质等知识点，根据位似图形的概念，，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】∵和是位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为， 故选：D． 7．（2023·重庆铜梁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，，则与的周长之比是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长之比等于相似比计算即可． 【详解】解：， ． 与是位似图形， ，， ， ， 与的相似比是． 与的周长之比是． 故选：C． 8．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）如图是标准对数视力表的一部分，在图内下面的四个较小“E”中，和最上面较大“E”是位似图形的“E”居于（    ） A．左上 B．右上 C．左下 D．右下 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换的相关知识．开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换，故最上面较大的“E”与左下的“E”是位似图形． 【详解】解：根据位似变换的特点可知：最上面较大的“E”与左下的“E”是位似图形． 故选：C． 9．（2023九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或. 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，点E的坐标为， ∴点E的对应点的坐标为或，即或， 故选：C． 10．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似变换，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点所在直线的交点是位似中心，据此求解即可． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 二、填空题 11．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 【答案】 / 【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比． 【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线． 12．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，是的中位线，若的周长为10，则的周长为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了三角形中位线定理，利用三角形中位线定理得的周长为的周长的一半，即可求解；掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：是的中位线， ， 的周长为； 故答案为：5． 13．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，在中，平分，，E是的中点．若，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 延长交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理求出，进而计算即可． 【详解】解：延长交于点， 平分， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故答案为：7． 14．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点，平分，分别交于点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的性质即可得，又平分则可得，即三角形为等边三角形，则可判断①；根据勾股定理求得，则，即可判断②，根据，可判定③；根据，，则为三角形的中位线，利用中位线的性质即可判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分， ， 为等边三角形， ， 又， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ，故①正确， ∵，，， ∴ ， ∴， ，故②正确， ∵， ，故③错误， ，， 为三角形的中位线， ，， ， 又， ，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是银题的关键． 15．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，与关于点位似，其中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点之间的距离、位似三角形的性质，根据两点之间的距离，得出和的长，再根据三角形位似，得出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， ∵与关于点位似，且相似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小． 制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，为固定点，，在点处分别装上画笔． 画图：现有一图形，画图时固定点，控制点处的笔尖沿图形的轮廓线移动，此时点处的画笔便画出了将图形放大后的图形． 原理： 若连接，，可证得以下结论： ①和为等腰三角形，则（ ）； ②四边形为平行四边形； ③，于是可得三点在一条直线上； ④当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的 倍得到的． 【答案】 / 【分析】此题考查了平行四边形的判定以及位似图形的性质．由等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行四边形的判定定理以及位似图形的性质求解即可． 【详解】解：连接，，如图， ①∵，， ∴， ∴和是等腰三角形， ∴，， ∴，， ②∵，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ③∵， ∴，，三点在一条直线上； ④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形， ∴其倍数比为三角形的边长比即：， 又，且， ∴， 即：当时，图形是以点为位似中心，把图形放大为原来的倍得到的． 故答案为：；． 17．（22-23九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，与位似，点为位似中心，若的周长为，则的周长为 ．    【答案】 【分析】根据与位似，得出，推出，进而得出，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形那个的判定和性质，位似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形周长比等于相似比． 18．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键． 首先求出是三角形的中位线，得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， 为中点， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理， 故答案为∶ 三、解答题 19．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知四边形， (1)如图（1），若，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图（2），若于，，，求的值． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)52 【分析】本题考查的是中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理，熟记四条边相等的四边形是菱形是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由如下：点、、、分别为、、、的中点， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ． 20．（23-24九年级上·广东清远·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在给出的网格中画出，并写出点的坐标． (2)若图中每个小方格的面积为1，求出的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了三角形的面积． （1）把、、的横纵坐标分别乘以2得到、、的坐标，然后描点即可； （2）先用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可计算出的面积． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为．    （2）的面积． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$