第09讲 解直角三角形-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第09讲 解直角三角形思维导图 知识点1 解直角三角形 一、解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。解直角三角形只有两种情况：已知两条边或已知一条边和一个锐角。 二、解直角三角形的主要依据 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3.锐角三角函数：在直角三角形中，用三条边的比来表述锐角三角函数定义，通过锐角三角函数可以求出三角形的未知元素。 三、解直角三角形的步骤 1.将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，建立适当的数学模型。 2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形。 3.得到数学问题的答案，再转化为实际问题的答案。 四、解直角三角形的注意事项 1.在解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，找到与未知相关联的直角三角形。 2.当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形，作某边上的高是常用的辅助线。 3.要注意开掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系列方程。 4.要熟练地掌握特殊锐角的三角比值，以使解答过程的表述简洁。 知识点2 解直角三角形的实际应用 一、利用直角三角形的性质和边角关系解决实际问题。 这通常需要将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型。然后根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质来解直角三角形，从而得到数学问题的答案，并进一步得到实际问题的答案。 二、涉及方向角、坡度角、仰角、俯角等问题的题型。 这类问题通常需要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的角度并不一定在直角三角形中，需要用到平行线的性质、角的和差关系等知识转化为所需要的角，或者通过作高或垂线构造直角三角形，从而将其转化为解直角三角形的问题。 三、综合应用题。 这类题目通常涉及多个知识点和多个步骤，需要综合运用直角三角形的性质和边角关系来解决。例如，可能会给出一些与直角三角形相关的实际情境，如测量物体高度、计算航行距离、确定坡度等，然后要求根据已知条件求出未知量。 教材习题01 如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 教材习题02 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】 教材习题03 某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线上．沿教学楼向前走7.7米到达点处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点，，在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：，） 教材习题04 图1为某大型商场的自动扶梯，图2中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示图，小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度比为，顶端到一楼地面的高度是．求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 考点一、解直角三角形 1．在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，中，，，若，，则的长度为 ． 3．如图，在中，，，于点，若，求的长． 考点二、解非直角三角形 1．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 2．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 3．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 考点三、解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 1．2025年4月24日17时17分，搭载“神舟二十号”载人宇宙飞船的长征二号F遥运载火箭在酒泉卫星中心点火发射．如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点C的距离为m千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为，点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．则无人机从点到点的上升高度为 （精确到）．参考数据：，，，，，． 3．随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 考点四、解直角三角形的应用——方位角问题 1．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距7海里，若该渔船由西向东航行3海里到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东方向上，则该渔船此时与小岛C之间的距离是（   ） A．4海里 B．4.5海里 C．5海里 D．5.5海里 2．如图，巡逻船和渔船同时从港口出发，巡逻船向港口的正西方向航行，渔船向港口的北偏西方向航行，渔船航行30海里到达处时发生故障求救，巡逻船在处收到渔船的求救信号，此时渔船在巡逻船的北偏东方向，则，之间的距离为 海里（精确到0.1海里）．（参考数据：） 3．【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 考点五、解直角三角形的应用——坡度、坡比问题 1．如图，在坡角为的山坡上有、两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（    ） A．6米 B．米 C．米 D．米 2．为了提高地下车库出入口车辆的通行效率，车牌识别系统被广泛应用．如图1是生活中某一地下车库，出口为斜坡，图2是其侧面示意图．为斜坡，坡角为，车牌识别设备的摄像头在立柱的点D处，可识别的最大范围与立柱的夹角为，立柱的高度为，且立柱垂直于车库地面，点D，B，C均在同一直线上，则有效识别区域点F到点B的距离约为 m．（结果精确到，参考数据：） 3．如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 考点六、解直角三角形的最值问题 1．如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D．3 2．如图，菱形中，，点E为上一点，点F为上一动点，点G为对角线上一动点，当取得最小值为6时，则的值是 ． 3．【问题原型】如图①，在中，．点D是边上的一个动点，连结，将线段绕点A逆时针旋转得到线段．点F是边的中点，连结，求线段的最小值． 【问题解决】如图②，将图①中的点F绕点A顺时针旋转至点G，易知点G恰好为线段的中点，连结． （1）求证：． （2）若求线段的最小值，即求线段的最小值．由于点D是边上的一个动点，所以作于点H，线段的长即为的最小值，则这个最小值为　　　，这样做依据的是　　　（填序号）； ①两点之间，线段最短； ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【类比应用】如图③，等边三角形的边长为4，点E是中线上的动点，连结，将绕点C逆时针旋转得到线段，连结．当取得最小值时，的周长为　　　． 考点七、无刻度尺网格作图 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点A，是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，先在上画点，使；再在上画点，使． (2)在图（2）中，先在上画点，使；再画的高． 2．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点称之为格点，点、、、均在格点上，根据不同要求，选择格点，画出符合条件的图形； (1)在图1中，画一个以为直角边的等腰；并用无刻度的直尺画出斜边的中线（保留作图痕迹）． (2)在图2中，画一个以为一边的，使，并直接写出线段的长． 3．图1、图2、图3、图4、图5均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点． (1)如图1，连接交于点E，则的值为______； (2)仅用无刻度的直尺在给定的网格中，按下列要求作图（保留作图痕迹并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，不写作法）． ①如图2，在线段上确定一点P，使； ②如图3，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，在线段BF上确定一点Q，使； ③如图4，在上确定一点H，使∽； ④如图5，在上确定一点M，使的面积为 知识导图记忆 1．如图是梯子两梯腿张开的示意图，米，梯腿与地面的夹角，则梯子顶端离水平地面的高度可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，为垂直于地面放置的竹竿，米，当太阳光线与竹竿所夹锐角为时，竹竿在地面上的影子长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（    ） A．12 B． C．16 D． 4．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 5．如图，在中，，垂足为，为的中点，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 6．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为 ． 7．如图，有一斜坡，此斜坡的坡面长，斜坡的坡角是，若，则坡顶离地面的高度为 ． 8．如图，在三角形中，以点为圆心画弧，交线段于点和点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线交线段于点．若，，则的长为 ． 9．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰的高度，分别在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，，同时测得长为200米，则山峰的高度约为 米．(，，) 10．如图，在中，点E为的中点，点F在边上，，，，，则的长为 ． 11．图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 12．2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时、在地面雷达站C处测得点A的仰角为，在地面雷达站B处测得点A的仰角为．已知，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果精确到，参考数据）． 13．在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在A处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端C的仰角，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角．求摩天轮的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，） 14．如图，在菱形中，作，连结． (1)求菱形的面积； (2)求的长． 15．定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”． (1)如图①，在四边形中，，，试判断四边形是否为“等分对角四边形”，并说明理由； (2)如图②，四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，，交于点O，E是下方一点，且，延长交于点F，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在（2）的条件下，连接，若四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，当四边形的一组对边平行时，记的面积为，四边形面积为，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 解直角三角形思维导图 知识点1 解直角三角形 一、解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。解直角三角形只有两种情况：已知两条边或已知一条边和一个锐角。 二、解直角三角形的主要依据 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3.锐角三角函数：在直角三角形中，用三条边的比来表述锐角三角函数定义，通过锐角三角函数可以求出三角形的未知元素。 三、解直角三角形的步骤 1.将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，建立适当的数学模型。 2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形。 3.得到数学问题的答案，再转化为实际问题的答案。 四、解直角三角形的注意事项 1.在解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，找到与未知相关联的直角三角形。 2.当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形，作某边上的高是常用的辅助线。 3.要注意开掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系列方程。 4.要熟练地掌握特殊锐角的三角比值，以使解答过程的表述简洁。 知识点2 解直角三角形的实际应用 一、利用直角三角形的性质和边角关系解决实际问题。 这通常需要将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型。然后根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质来解直角三角形，从而得到数学问题的答案，并进一步得到实际问题的答案。 二、涉及方向角、坡度角、仰角、俯角等问题的题型。 这类问题通常需要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的角度并不一定在直角三角形中，需要用到平行线的性质、角的和差关系等知识转化为所需要的角，或者通过作高或垂线构造直角三角形，从而将其转化为解直角三角形的问题。 三、综合应用题。 这类题目通常涉及多个知识点和多个步骤，需要综合运用直角三角形的性质和边角关系来解决。例如，可能会给出一些与直角三角形相关的实际情境，如测量物体高度、计算航行距离、确定坡度等，然后要求根据已知条件求出未知量。 教材习题01 如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求的值． （1）于点D，，， ； （2）由（1）可得：， ∵，，， ∴ ， ， ． 教材习题02 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】 解：如图，过点作于点， 在中，，， ∵，， ∴（海里），（海里）， 在中，，， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴、两岛之间的距离约为海里． 教材习题03 某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线上．沿教学楼向前走7.7米到达点处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点，，在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：，） 解：如图，连接并延长，交于点，设米． 由题意可知，四边形，四边形是矩形， ∴，，． ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 在中，，， ∴． ∴． 解得，． ∴（米） 答：教学楼的高约为19.8米． 教材习题04 图1为某大型商场的自动扶梯，图2中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示图，小东站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度比为，顶端到一楼地面的高度是．求日光灯到一楼地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 解：如图，过点作于点，过点作于点，交于点，过点作于点，交于点． ∴四边形，是矩形， ∵的坡度比为，， ∴． 根据题意，得：，， ∴，，， ， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∴日光灯到一楼地面的高度约为． 考点一、解直角三角形 1．在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意画出示意图，再利用锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：如图，   ， 在中，， ． 故选：D． 2．如图，中，，，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查余弦的定义，掌握表示和的长是解题的关键，根解直角三角形的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】16 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 先根据正切的定义得出的长，再利用的正切值得出的长，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点二、解非直角三角形 1．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 3．在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 考点三、解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 1．2025年4月24日17时17分，搭载“神舟二十号”载人宇宙飞船的长征二号F遥运载火箭在酒泉卫星中心点火发射．如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点C的距离为m千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用．根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，，千米， 由得千米， 故选：B． 2．如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为，点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．则无人机从点到点的上升高度为 （精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，先解求出的长度，再解求出的长度即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，， 在中，，， ，， 在中， ， ， ∴无人机上升高度约为， 故答案为：． 3．随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】无人机从A点到B点的上升高度为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．熟练掌握三角函数，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，，，． 在中，，， ，， 在中，， ， 答：无人机从A点到B点的上升高度为． 考点四、解直角三角形的应用——方位角问题 1．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距7海里，若该渔船由西向东航行3海里到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东方向上，则该渔船此时与小岛C之间的距离是（   ） A．4海里 B．4.5海里 C．5海里 D．5.5海里 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，过点C作于点D，由题意得，设，解直角三角形即可得到、、，根据“”列方程求解可得． 【详解】解：过点C作于点D， 由题意得，设， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， 即渔船此时与C岛之间的距离为5海里． 故选：C． 2．如图，巡逻船和渔船同时从港口出发，巡逻船向港口的正西方向航行，渔船向港口的北偏西方向航行，渔船航行30海里到达处时发生故障求救，巡逻船在处收到渔船的求救信号，此时渔船在巡逻船的北偏东方向，则，之间的距离为 海里（精确到0.1海里）．（参考数据：） 【答案】22.4 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，求得，，再解直角三角形进行计算即可，构造正确的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得海里，， ∵， ∴， ∴，， 在中，（海里）， 在中，（海里）． 故答案为：． 3．【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 考点五、解直角三角形的应用——坡度、坡比问题 1．如图，在坡角为的山坡上有、两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（    ） A．6米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 由题意可得，米，然后由正弦函数的定义，即可求得答案． 【详解】解：由题意可得，米， 在中，， ∴米． 故选：A． 2．为了提高地下车库出入口车辆的通行效率，车牌识别系统被广泛应用．如图1是生活中某一地下车库，出口为斜坡，图2是其侧面示意图．为斜坡，坡角为，车牌识别设备的摄像头在立柱的点D处，可识别的最大范围与立柱的夹角为，立柱的高度为，且立柱垂直于车库地面，点D，B，C均在同一直线上，则有效识别区域点F到点B的距离约为 m．（结果精确到，参考数据：） 【答案】4 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先过点F作于点H，得，则，故，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：如图，过点F作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 则， ∴， 解得， 即， ∴， ∴有效识别区域点F到点B的距离约为． 故答案为：4 3．如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)山坡的长为米 (2)此时无人机离地面的高度的长米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，由题意可得米，由山坡的坡比，求出米，再由勾股定理计算即可得解； （2）延长交于点，则，易得四边形为矩形，由矩形的性质可得米，，证明为等腰直角三角形，得出，设米，则米，米，解直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：如图，作交的延长线于， 由题意可得：米， ∵山坡的坡比， ∴， ∴米， ∴米， ∴山坡的长为米； （2）解：如图：延长交于点，则， 则：， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，米， ∵， ∴， ∴米，即此时无人机离地面的高度的长米． 考点六、解直角三角形的最值问题 1．如图，在矩形中，，点P在线段上运动（含B、C两点），将点P绕点A逆时针旋转到点Q，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的性质和证明，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值计算等相关知识点，能够根据已知条件作出相关的辅助线是解题重点． 以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．证明，由全等性质可以得到，得Q点的运动轨迹是射线，当点H与点Q重合时，的值最小，利用特殊角的锐角三角函数值求解即可． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， 由题意可得是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴Q点的运动轨迹是射线， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ， 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为， 故选：A． 2．如图，菱形中，，点E为上一点，点F为上一动点，点G为对角线上一动点，当取得最小值为6时，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查考查了轴对称的性质，菱形的性质，全等三角形的判断和性质，解直角三角形，在上作，可得，则取最小值时，共线且，解直角三角形可得的值，正确找到取最小值时，的情况是解题的关键． 【详解】解：如图，在上作， ，四边形是菱形， ， ， ， ， ， 则取最小值时，即共线且，如图，过点作交于点，， ，四边形是菱形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，，， ， 故答案为：． 3．【问题原型】如图①，在中，．点D是边上的一个动点，连结，将线段绕点A逆时针旋转得到线段．点F是边的中点，连结，求线段的最小值． 【问题解决】如图②，将图①中的点F绕点A顺时针旋转至点G，易知点G恰好为线段的中点，连结． （1）求证：． （2）若求线段的最小值，即求线段的最小值．由于点D是边上的一个动点，所以作于点H，线段的长即为的最小值，则这个最小值为　　　，这样做依据的是　　　（填序号）； ①两点之间，线段最短； ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【类比应用】如图③，等边三角形的边长为4，点E是中线上的动点，连结，将绕点C逆时针旋转得到线段，连结．当取得最小值时，的周长为　　　． 【答案】【问题解决】（1）见解析；（2），②；【类比应用】 【分析】（1）证明，即可得到； （2）由，得，则的最小值即为（垂线段最短），那么解直角三角形得到； （3）连接，先证明，则，，证明，则点F轨迹为线段，故当时，最小，则，而，则由勾股定理得，在中，，由勾股定理得，则，则在中，由勾股定理得，即可求解周长． 【详解】解：（1）由旋转得，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴的最小值即为（垂线段最短）， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，②； （3）连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形，为中线， ∴， ∴， ∴点F轨迹为线段， ∴当时，最小， ∴， ∵在中，， ∴， ∴由勾股定理得， 在中，，由勾股定理得， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴此时周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，等边三角形的性质等，正确构造全等三角形是解题的关键． 考点七、无刻度尺网格作图 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点A，是格点，是网格线上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个问题，每问的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，先在上画点，使；再在上画点，使． (2)在图（2）中，先在上画点，使；再画的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图、三角形的角平分线、中线和高、解直角三角形等知识点，理解题意、正确作出图形是解题的关键． （1）如图：取格点D，连接即可，取格点R，连接交于点E，点D，点E即为所求； （2）取格点W，连接，取的中点J，连接交于点F，线段，点F即为所求；取的中点O，连接并延长到，使得，此时点在右边第一根竖线上，连接并延长交于，则即为所求． 【详解】（1）解：如图中，点D、点E即为所求． 证明：不妨设，每个小正方形的边长为1， 由作图可知：， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴点D、点E即为所求； （2）解：如图2中，点F、线段即为所求． 证明：由作图可知：将绕着点B顺时针旋转得到线段， 即， 再由作图可知：， ∴， 根据平行线截线段成比例可知：，， 即：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点F、线段即为所求. 2．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点称之为格点，点、、、均在格点上，根据不同要求，选择格点，画出符合条件的图形； (1)在图1中，画一个以为直角边的等腰；并用无刻度的直尺画出斜边的中线（保留作图痕迹）． (2)在图2中，画一个以为一边的，使，并直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）利用网格特点，选格点B，使即可得出； 再取格点，，连接交于点，连接即可； （2）由于，则在含的直角三角形中，满足对边与邻边之比为，再根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作，． 3．图1、图2、图3、图4、图5均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点． (1)如图1，连接交于点E，则的值为______； (2)仅用无刻度的直尺在给定的网格中，按下列要求作图（保留作图痕迹并用铅笔或黑色水笔加黑加粗，不写作法）． ①如图2，在线段上确定一点P，使； ②如图3，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，在线段BF上确定一点Q，使； ③如图4，在上确定一点H，使∽； ④如图5，在上确定一点M，使的面积为 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，作图复杂作图，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）①根据相似三角形的性质作出图形即可； ②根据相似三角形的性质作出图形即可； ③根据相似三角形的性质作出图形即可； ④根据相似三角形的性质作出图形即可； ⑤根据相似三角形的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）①如图2，点P即为所求； ②如图3，点Q即为所求； ③如图4，点H即为所求； ④如图5，点M即为所求； 知识导图记忆 1．如图是梯子两梯腿张开的示意图，米，梯腿与地面的夹角，则梯子顶端离水平地面的高度可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．根据计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴在中，， ∴米， 故选：A． 2．如图，为垂直于地面放置的竹竿，米，当太阳光线与竹竿所夹锐角为时，竹竿在地面上的影子长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：解：由题意得：， 在中，，米， ∴， ∴（米）， 即竹竿在地面上的影子长为米． 故选：A． 3．如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得，然后解直角三角形可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2， ∴，， ∴， ∴，， 同理， ∴， ∴矩形的面积是． 故选：B． 4．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，根据等腰三角形性质求出，根据角度的正切值可求出． 【详解】解：∵，为高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在中，，垂足为，为的中点，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，勾股定理，先求出，利用勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：∵ ∴， 根据勾股定理， 为的中点， ． 故选：A． 6．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为 ． 【答案】20 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦定义可得答案． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 7．如图，有一斜坡，此斜坡的坡面长，斜坡的坡角是，若，则坡顶离地面的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正弦三角函数，熟练掌握正弦三角函数为角的对边比邻边是解题的关键．由正弦三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，在三角形中，以点为圆心画弧，交线段于点和点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，直线交线段于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图，解直角三角形，勾股定理．由作图知，由，，求得，利用勾股定理求得和的长即可． 【详解】解：由作图知， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰的高度，分别在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，，同时测得长为200米，则山峰的高度约为 米．(，，) 【答案】200 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 根据正切的定义得出，，从而得到，，继而得解． 【详解】解：由题意得， ∵在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴的高度约为． 故答案为：200． 10．如图，在中，点E为的中点，点F在边上，，，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，构造全等三角形是解答的关键．延长交延长线于点P，过作于点H，先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，，分别在和中，利用锐角三角函数和勾股定理求出，进而可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点P，过作于点H， ∵在中，，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 11．图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 12．2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时、在地面雷达站C处测得点A的仰角为，在地面雷达站B处测得点A的仰角为．已知，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果精确到，参考数据）． 【答案】 【分析】在中，求出，在中，由，，求得，进一步即可得到B、C两个雷达站之间的距离． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即B、C两个雷达站之间的距离为． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合并准确计算是解题的关键． 13．在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在A处用高为1.6米的测角仪测得摩天轮顶端C的仰角，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角．求摩天轮的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先根据三个角都是直角的四边形是矩形得四边形都是矩形，则，，然后分别在中，，在中，，代入数值化简得，解得，即可作答． 【详解】解：延长交于，则有， ∵， ∴四边形是矩形， 同理得四边形都是矩形， ∴，， 设， ∴， 在中，， 即， ∴， 整理得， 在中，， 即， ∴ 整理得， ∴， 解得， 则． 14．如图，在菱形中，作，连结． (1)求菱形的面积； (2)求的长． 【答案】(1)80 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据菱形的性质得，结合，，则，即可作答． （2）先运用勾股定理算出，则，再运用勾股定理列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积； （2）解：由（1）得，， ∵ ∴， 则， ∴． 15．定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”． (1)如图①，在四边形中，，，试判断四边形是否为“等分对角四边形”，并说明理由； (2)如图②，四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，，交于点O，E是下方一点，且，延长交于点F，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在（2）的条件下，连接，若四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”，当四边形的一组对边平行时，记的面积为，四边形面积为，求的值． 【答案】(1)四边形是“等分对角四边形”，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，根据证明，即可得到平分，然后根据“等分对角四边形”的定义判断即可； （2）先根据得到，即可得到，，然后根据相似得到对应边成比，即可得到，，进而利用证明，即可得到结论； （3）先根据证明，得到，然后分为和两种情况作辅助线，利用全等三角新的判定和性质、相似三角形的判定和性质得到与的关系求比值即可． 【详解】（1）解：四边形是“等分对角四边形”. 理由如下：如图，连接， ， ， ， ∴平分， ∴ 四边形是“等分对角四边形”； （2）解：，证明如下： ∵ 四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∵四边形是“等分对角四边形”，是“等分线”， ∴，， ∵， ∴， ∴， ①当时，如②，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 与是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ，即 ； ②当时，如图，连接并延长交的延长线于点，则， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ； 综上所述，为或． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$