精品解析：河南省安阳市滑县2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末学业质量监测 八年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，点E，F分别为，的中点，若的长为，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. ，，， B. ，， C. D. 4. 在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ） A. ①：一组邻边互相垂直 B. ②：对角线相等 C. ③：对角线互相垂直 D. ④：有一个角是直角 5. 为落实双减，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量（单位：道），具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19．根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的（ ） A. 最大数据 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 6. 已知一直角三角形，三边的平方和为，则斜边长为（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 一次函数的图象与轴交于点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 定义新运算：，例如：，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 点在函数图象上 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 函数图象与轴的交点为 D. 若点、在函数图象上，则 10. 自然环境中，空气中的含氧量受到各种因素的影响，其中以海拔的影响最为显著（如信息窗），而随着海拔的升高，大气压与海拔的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） 信息窗 海平面空气中的含氧量约为 海拔高度每抬升，含氧量下降约 含氧量低于属于缺氧，低于时人无法行动 A. 海拔越高，大气压越大 B. 海拔为7千米时，大气压约为60千帕 C. 大气压为60千帕时，含氧量属于缺氧 D. 大气压为40千帕时，人无法行动 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________.（结果用含的式子表示） 12. 如图，货车卸货时支架侧面是，，已知，．则的长为________． 13. 为自然数，且是大于0小于4的整数，那么的值可能是________．（写出一个即可） 14. 如图，在面积为16的平行四边形中，对角线，相交于点，过点的直线分别与边，相交于点、，若，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，在四边形中，，于点，动点从点出发，沿的方向运动，到达点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的函数图象如图2所示，那么边的长度为______. 三、解答题（本大题共8个题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，该感应器的有效感应范围不超过，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．现已知感应器离地面的高度，一个身高的学生缓慢走到离门的地方时（，假设此时人体与地面垂直），该学生头顶距离感应器多少米？感应门会自动打开吗？ 18. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10 乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 b．服务质量得分统计图（满分10分）： c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______（填“>”“=”或“<”）． （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 19. 如图1，已知线段，和，用尺规作． （1）图2是某同学所作的图，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“_______的四边形是平行四边形”； （2）请你在图3中用不同于图2中的方法完成作图．（保留作图痕迹，不写作法）你作图的依据是“_________的四边形是平行四边形”． 20. 如图，在四边形中，，，平分，连接交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 21. 如图，直线与直线相交于点A，直线与轴相交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）若，交轴于点，连接，求的面积． 22. 某学校计划组织452人参加社会实践活动，与某汽车租赁公司接洽后，得知该公司有型和型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示． A型客车 B型客车 载客量/（人辆） 45 26 租金/（元/辆） 400 240 经测算，租用型和型客车共13辆较为合理．设租用型客车辆． （1）用含的代数式填写下表． 车量数/辆 载客量/人 租金/元 A型客车 B型客车 （2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低？最低为多少？ 23. 【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是边上一动点（点与点，不重合），连接，作，与正方形的外角的平分线交于点． 【思考尝试】（1）如图1，当是边的中点时，观察并猜想与的数量关系：________； 【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形中，若是边上一动点（点与点，不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，当在边上运动时（点与点，不重合），连接，．若知道正方形的边长，则可以求出周长的最小值．当时，请你直接写出周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期期末学业质量监测 八年级 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、被开方数是小数，故不是最简二次根式； B、被开方数含开得尽方的因数，故不是最简二次根式； C、被开方数是分数，故不是最简二次根式； D、是最简二次根式． 故选：D 2. 如图，在中，点E，F分别为，的中点，若的长为，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理的数量关系“三角形的中位线等于第三边的一半”，进行计算． 【详解】∵点E、F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∵的长为， ∴； 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握定理内容是解题的关键． 3. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. ，，， B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理进行计算即可 【详解】解：A、，则不能判断为直角三角形；故选项符合题意； B、，则能判断为直角三角形；故选项不符合题意； C、， ，则能判断为直角三角形；故选项不符合题意； D、， ，则能判断为直角三角形；故选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，解题关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断 4. 在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ） A. ①：一组邻边互相垂直 B. ②：对角线相等 C. ③：对角线互相垂直 D. ④：有一个角是直角 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵有一组邻边互相垂直的平行四边形是矩形， 故①正确； ∵矩形的对角线相等，无法说明是正方形， 故②错误； ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 故③正确； ∵有一个角是直角的菱形是正方形， 故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 5. 为落实双减，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量（单位：道），具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19．根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的（ ） A. 最大数据 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 【答案】C 【解析】 【分析】分别求得各选项中的统计量，结合中位数的意义可作出选择． 【详解】解：这组数据的最大数据是19，众数是8，中位数是10，平均数为， 根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，说明大约有一半同学可以完成10道数学题，故其依据是统计数据中的中位数， 故选：C． 【点睛】本题考查众数、中位数、平均数，理解它们的定义并会利用统计数据作决策是解答的关键． 6. 已知一直角三角形，三边的平方和为，则斜边长为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c． 根据题意，得，． ∵， ∴． ∴． ∵c>0， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理、二次根式的化简等知识点，熟知勾股定理的题设和结论是解题的关键． 7. 一次函数的图象与轴交于点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的解的关键，解题的关键是掌握一次函数图象与x轴交点的横坐标等于对应方程的解，据此即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时， ∴关于的方程的解为， 故选：B． 8. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 9. 定义新运算：，例如：，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 点在函数图象上 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 函数图象与轴的交点为 D. 若点、在函数图象上，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据题目所给新定义，得出该函数的解析式， 再根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， A、把代入得，∴点在函数图象上，故A正确，符合题意； B、∵，∴图象经过第一、二、三象限，故B不正确，不符合题意； C、把代入得，解得，∴函数图象与轴的交点为，故C不正确，不符合题意； D、∵，∴y随x的增大而增大，∵点、在函数图象上，，∴，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 10. 自然环境中，空气中的含氧量受到各种因素的影响，其中以海拔的影响最为显著（如信息窗），而随着海拔的升高，大气压与海拔的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） 信息窗 海平面空气中的含氧量约为 海拔高度每抬升，含氧量下降约 含氧量低于属于缺氧，低于时人无法行动 A. 海拔越高，大气压越大 B. 海拔为7千米时，大气压约为60千帕 C. 大气压为60千帕时，含氧量属于缺氧 D. 大气压为40千帕时，人无法行动 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是正确理解题意，从函数图象中获取正确信息进行计算． 从图象可以直接判断A、B，根据信息窗中信息，结合图象，即可判定C、D． 【详解】解：A、由图象可知，海拔越高，大气压越小，故A不正确，不符合题意； B、由图象可知，海拔为7千米时，大气压约为30千帕，故B不正确，不符合题意； C、由图象可知，大气压为60千帕时，海拔约为3千米， 此时空气中含氧量约为， ∴大气压为60千帕时，含氧量属于缺氧，故C正确，符合题意； D、由图象可知，大气压为40千帕时，海拔约为5千米， 此时空气中含氧量约为， ∴大气压为40千帕时，人可以行动，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________.（结果用含的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，货车卸货时支架侧面是，，已知，．则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．据此即可解答． 【详解】解；根据勾股定理可得：， 故答案为：． 13. 为自然数，且是大于0小于4的整数，那么的值可能是________．（写出一个即可） 【答案】9或14或17（写出一个即可） 【解析】 【分析】本题考查了对二次根式的定义的应用，根据二次根式的定义求出，在此范围内要使是整数，只能是2或9或14或17或18，求出即可． 【详解】解：要使有意义， 必须， 即， 是整数， 只能是2或9或14或17或18，对应的的值是4或3或2或1或0， ∵是大于0小于4的整数 只能是9或14或17， 故答案为：9或14或17． 14. 如图，在面积为16的平行四边形中，对角线，相交于点，过点的直线分别与边，相交于点、，若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及图形面积的求法，首先证，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； ； ∵ ∵平行四边形的面积为16 ， 故答案为：5． 15. 如图，在四边形中，，于点，动点从点出发，沿的方向运动，到达点停止，设点运动的路程为，的面积为，如果与的函数图象如图2所示，那么边的长度为______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，分析P的运动路线，分3个阶段分别进行讨论，可得BC,CD,DA的值，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出AE，即可求解. 【详解】根据题意，当P在BC上时，三角形的面积增大，结合图2可得BC=4; 当P在CD上时，三角形的面积不变，结合图2可得CD=3; 当P在AD上时，三角形的面积变小，结合图2可得AD=5; 过D作DE⊥AB于E， ∵AB∥CD，AB⊥BC， ∴四边形DEBC为矩形， ∴EB=CD=3，DE=BC=4， ∴AE= ∴AB=AE+EB=6. 【点睛】此题主要考查矩形的动点问题，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 三、解答题（本大题共8个题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式，将括号展开，再进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，该感应器的有效感应范围不超过，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开．现已知感应器离地面的高度，一个身高的学生缓慢走到离门的地方时（，假设此时人体与地面垂直），该学生头顶距离感应器多少米？感应门会自动打开吗？ 【答案】该学生头顶距离感应器2米，感应门会自动打开 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两之间边平方和等于斜边平方． 过点D作于点E，通过证明四边形的矩形，得出，，进而得出，根据勾股定理推出，即可解答． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，， ∴四边形的矩形， ∴，， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴感应门会自动打开． 答：该学生头顶距离感应器2米，感应门会自动打开． 18. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10 乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 b．服务质量得分统计图（满分10分）： c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______（填“>”“=”或“<”）． （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 【答案】（1）7.5； （2）解：甲公司，理由如下： ∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大， 服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， ∴甲更稳定， ∴小丽应选择甲公司； （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和方差的概念求解即可； （2）通过比较平均数，中位数和方差求解即可； （3）根据题意求解即可． 【小问1详解】 由题意可得，， ， ∴， 故答案为：7.5；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键． 19. 如图1，已知线段，和，用尺规作． （1）图2是某同学所作的图，根据作图痕迹，可以知道他作图的依据是“_______的四边形是平行四边形”； （2）请你在图3中用不同于图2中的方法完成作图．（保留作图痕迹，不写作法）你作图的依据是“_________的四边形是平行四边形”． 【答案】（1）一组对边平行且相等 （2）图见详解，两组对边分别相等 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定，属于中考常考题型． （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可； （2）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，构造平行四边形即可． 【小问1详解】 解：（1）由作图可知，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：一组对边平行且相等； 【小问2详解】 平行四边形如图所示． 由作图可知，， 四边形是平行四边形 故答案为：两组对边分别相等 20. 如图，在四边形中，，，平分，连接交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ，四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， 是菱形； （2）的长为 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ， ， 即， 解得：， 即的长为． 21. 如图，直线与直线相交于点A，直线与轴相交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）若，交轴于点，连接，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的交点，待定系数法，三角形的面积． （1）解由两个函数解析式联立的方程组，即可得到点A的坐标，把代入直线中，即可求出点B的坐标； （2）设直线与x轴的交点为点C，即可得到，根据，可设直线的解析式为，把点代入即可得到直线的解析式为，令，求出点P的坐标，进而根据即可求解． 【小问1详解】 解：解方程组得， ∴点A的坐标为， 把代入直线中，得， ∴点B的坐标为 【小问2详解】 解：设直线与x轴的交点为点C， 令，则， 解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴， ∴， ∴． 22. 某学校计划组织452人参加社会实践活动，与某汽车租赁公司接洽后，得知该公司有型和型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示． A型客车 B型客车 载客量/（人辆） 45 26 租金/（元/辆） 400 240 经测算，租用型和型客车共13辆较为合理．设租用型客车辆． （1）用含的代数式填写下表． 车量数/辆 载客量/人 租金/元 A型客车 B型客车 （2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低？最低为多少？ 【答案】（1）； （2）租型车6辆、型车7辆时，总的租车费用最低，最低为4080元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出代数式；（2）根据数量关系找出关于的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出一元一次不等式（或函数关系式）是关键． （1）根据“型车的载客量租的辆数满载人数”以及“租型车应付租金每辆的租金租的辆数”即可得出结论； （2）设租车的总费用为元，根据“总租金租型车的租金租型车的租金”即可得出关于的函数关系式，再根据共452人参加社会实践活动，列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设租用型客车辆，则租用型客车辆， 型车的载客量，租金为． 故答案为：；． 【小问2详解】 设租车的总费用为元，则有：． 由已知得：， 解得：． 在中， 当时，取最小值，最小值为4080元． 故租型车6辆、型车7辆时，总的租车费用最低，最低为4080元． 23. 【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是边上一动点（点与点，不重合），连接，作，与正方形的外角的平分线交于点． 【思考尝试】（1）如图1，当是边的中点时，观察并猜想与的数量关系：________； 【实践探究】（2）小王同学受问题（1）的启发，提出了新的问题：如图2，在正方形中，若是边上一动点（点与点，不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； 【拓展迁移】（3）小李同学深入研究了小王同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，当在边上运动时（点与点，不重合），连接，．若知道正方形的边长，则可以求出周长的最小值．当时，请你直接写出周长的最小值：________．（说明：备用图中CJ是外角∠DCG的平分线） 【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，根据正方形的性质可知，再根据角平分线的定义，最后利用直角三角形的性质及全等三角形的判定可知即可解答； （2）在上截取，连接，根据正方形的性质可知，，再根据角平分线的定义及直角三角形的性质可知，，最后利用全等三角形的判定与性质即可解答； （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，根据正方形的性质及角平分线的定义可知是等腰直角三角形，再根据线段垂直平分线的定义可知是的垂直平分线进而即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）成立，理由如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是垂直平分线， ∴点与关于对称， ∴，当A、P、G共线时取等号，故最小值为的长， ∵， ∴， ∴在中，， ∴的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定、最短路径问题，掌握正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $