专题1.2 子集、全集、补集（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

专题1.2 子集、全集、补集 知识点一 子集 1.子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.读作A包含于B或B包含A. 2.如果A不是B的子集，记作A⊈B或B⊉A.读作A不包含于B或B不包含A. 3.任意集合A都是它自身的子集，Φ⊆A. 4.规定：空集是任何集合A的子集．A⊆A 知识点二 真子集 真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则中A称作集合B的真子集，记作AB或BA.读作A真包含于B或B真包含A. 知识点三 集合间关系的“传递性” 对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC． 知识点四 集合的相等与子集的关系 1.若A⊆B，且B⊆A，则A=B； 2.若A=B，则A ⊆B，且B⊆A； 【特别提醒】 不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． 知识点五 集合的子集、真子集个数 【拓广】若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 知识点六 全集、补集 1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. 2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA. 3.符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}. 4.图示： 题型一 集合间关系的判定 解题技巧提炼 判断集合关系的方法有三种： (1)一一列举观察． (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A⊆B；②若q(x)推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法：利用数轴或维恩图． 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 3．（16-17高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 题型二 有限集合子集的确定 解题技巧提炼 求解有限集合的子集问题，关键有四点： （1）确定所求集合； （2）合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，即“从无到有，从少到多”； （3）注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． （4）验证个数.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个， 非空真子集有2n－2个． 5．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 题型三 确定子集、真子集的个数 解题技巧提炼 1.列举法：按“从无到有，由少到多”写出所有子集，明确个数． 2.利用【拓广】公式计算. 8．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 9．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 11．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 12．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 题型四 根据集合的包含关系求参数（范围） 解题技巧提炼 1.弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 2.看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形； 3.将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围． 13．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 14．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 15．（多选）（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 16．（21-22高一上·重庆万州·阶段练习）已知集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围． 17．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 题型五 根据集合的相等求参数 解题技巧提炼 (1)弄清两个集合的特征； (2)将集合相等关系转化为方程(组)或不等式(组)，解方程(组)或不等式(组). 18．（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 19．（23-24高一上·山西长治·期中）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．2 20．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 题型六 根据子集（真子集）个数求参数 解题技巧提炼 利用集合中元素的特征，建立方程（组）或不等式（组）． 21.（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 22.（多选）（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 题型七 全集、补集及其运算 解题技巧提炼 两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助图示． ②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 23．（2024高二下·浙江·学业考试）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 题型八 根据补集的运算结果求集合或参数 解题技巧提炼 利用补集的运算结果求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)． 26．（2024·四川成都·三模）设全集，若集合满足，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 28．（22-23高一上·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 29．（2023·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 30．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 子集、全集、补集 知识点一 子集 1.子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.读作A包含于B或B包含A. 2.如果A不是B的子集，记作A⊈B或B⊉A.读作A不包含于B或B不包含A. 3.任意集合A都是它自身的子集，Φ⊆A. 4.规定：空集是任何集合A的子集．A⊆A 知识点二 真子集 真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则中A称作集合B的真子集，记作AB或BA.读作A真包含于B或B真包含A. 知识点三 集合间关系的“传递性” 对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC． 知识点四 集合的相等与子集的关系 1.若A⊆B，且B⊆A，则A=B； 2.若A=B，则A ⊆B，且B⊆A； 【特别提醒】 不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． 知识点五 集合的子集、真子集个数 【拓广】若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 知识点六 全集、补集 1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. 2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA. 3.符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}. 4.图示： 题型一 集合间关系的判定 解题技巧提炼 判断集合关系的方法有三种： (1)一一列举观察． (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A⊆B；②若q(x)推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法：利用数轴或维恩图． 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 2．（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：，则是的真子集，对比选项分析即可. 【详解】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 3．（16-17高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由集合的定义，依次对集合判断，从而确定集合是否相等即可. 【详解】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合； B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合； C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合； D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合； 故选：C. 4．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断. 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 题型二 有限集合子集的确定 解题技巧提炼 求解有限集合的子集问题，关键有四点： （1）确定所求集合； （2）合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，即“从无到有，从少到多”； （3）注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． （4）验证个数.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个， 非空真子集有2n－2个． 5．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 6．（多选）（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集的定义即可得解. 【详解】因为， 所以或或. 故选：ABC. 7．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有 . 【答案】，，， 【分析】先求出集合，再列出它的子集即可. 【详解】∵， 所以集合的子集有：，，，. 故答案为：，，， 题型三 确定子集、真子集的个数 解题技巧提炼 1.列举法：按“从无到有，由少到多”写出所有子集，明确个数． 2.利用【拓广】公式计算. 8．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【分析】首先判断出集合有2个元素，再求子集个数即可. 【详解】易知集合有2个元素， 所以集合的子集个数是. 故选：D. 9．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数. 【详解】，故其子集的个数为8， 故选：D. 10．（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（    ）个． A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【分析】先确定集合有四个元素，则可得其非空子集的个数. 【详解】根据题意，， 则集合的非空子集的个数是. 故选：B 11．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解. 【详解】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 12．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以满足的集合中必有元素2，3， 所以求满足的集合的个数，即求集合的真子集个数， 所以满足的集合的个数为个. 故答案为：7. 题型四 根据集合的包含关系求参数（范围） 解题技巧提炼 1.弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 2.看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形； 3.将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围． 13．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得： 故选:C． 14．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 15．（多选）（23-24高一下·河北张家口·开学考试）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【分析】空集是任何一个集合的子集，由，分别对和进行分类讨论求实数的值． 【详解】因为， 解得，则． 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以， 若，即 若，即． 综上所述，时，的值为． 故选：ABC． 16．（21-22高一上·重庆万州·阶段练习）已知集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由与，以及为的子集，确定出的范围即可； （2）由与，以及为的子集，确定出的范围即可； （3）分别求出与的补集，根据补集为补集的真子集，确定出的范围即可． 【详解】（1）   ，； （2）   ，； （3）   ，，，，且， ． 17．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空集的定义即可得解； （2）利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 题型五 根据集合的相等求参数 解题技巧提炼 (1)弄清两个集合的特征； (2)将集合相等关系转化为方程(组)或不等式(组)，解方程(组)或不等式(组). 18．（23-24高一下·江苏连云港·期末）设为实数，，若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据集合相等得到，解得即可. 【详解】因为，若， 所以，解得. 故选：A 19．（23-24高一上·山西长治·期中）已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等的定义，即可求解. 【详解】由可知，. 故选：A 20．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据集合相等的概念列式求解即可. 【详解】∵集合， 当且时，结合，解得， 经检验，不符合元素的互异性，舍去； 当且时，结合，解得，经检验，符合题意， 故. 故选：C. 题型六 根据子集（真子集）个数求参数 解题技巧提炼 利用集合中元素的特征，建立方程（组）或不等式（组）． 21.（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据集合子集个数确定集合元素只有一个，讨论参数m判断方程仅有一个解情况下m取值. 【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 22.（多选）（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】根据题意可知集合A有2个元素，结合一元二次方程的判别式即可求得答案. 【详解】因为集合A恰有3个非空子集，所以集合A有2个元素， 则有两个不相等的实数解， 则，解得，结合选项可知a的值可能为， 故选：ABC． 题型七 全集、补集及其运算 解题技巧提炼 两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助图示． ②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 23．（2024高二下·浙江·学业考试）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 24．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故选：B. 25．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可. （2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 题型八 根据补集的运算结果求集合或参数 解题技巧提炼 利用补集的运算结果求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； ②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)． 26．（2024·四川成都·三模）设全集，若集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得. 【详解】全集，由，知，则，A错误，B正确； 不能判断，也不能判断，CD错误. 故选：B 27．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】因为，又，所以． 故选：B． 28．（22-23高一上·福建宁德·期末）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的定义即可求解. 【详解】由题知，因为， 所以，，. 故选：C 29．（2023·全国·模拟预测）设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 【答案】D 【分析】根据集合关系得到，且，再得到，且，，，，分类讨论得到的值. 【详解】因为，所以，且． 由题意得，，且，，，． 若，则，不满足，不符合题意； 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，，符合题意． 故选：D． 30．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【答案】 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$