专题1.1 集合的概念与表示（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

专题1.1 集合的概念与表示 知识点一 集合与元素 1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. 2.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 知识点二 集合中元素的特征 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． (3)无序性：集合中的元素可以任意排列．如果两个集合A，B,组成它们的元素完全相同，称这两个集合相等，记作A=B. 知识点三 集合的分类 （1）含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. （2）空集：不含任何元素的集合. 【特别提醒】空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集！ 知识点四 几种特殊的数集 N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 知识点五 集合的表示方法 1.自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合． 2.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 3.描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示成.这种表示集合的方法称为描述法. 4.图示法（维恩图）：用平面上一条封闭曲线的内部表示集合，表示集合关系的示意图称作维恩图. 题型一 集合的概念 解题技巧提炼 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合． 1．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 元素和集合的关系 解题技巧提炼 1．对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握． 2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征． 3.判断集合中元素的个数，要注意重复的只算一次. 4.判断两个集合是否相同，只要它们的元素完全相同即可，不考虑顺序三个相同. 2.（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 3．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·四川·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（22-23高一上·宁夏银川·期中）下列说法中正确的是（    ） A． B．集合中没有元素 C．集合中有两个元素 D．与是不同的集合 7．（2013·全国·高考真题）设集合，，，则M中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型三 用列举法表示集合 解题技巧提炼 1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集． 2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然． 8．（22-23高三·全国·课后作业）已知集合，用列举法表示M＝ ． 9．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 10．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）集合，用列举法表示集合 . 题型四 用描述法表示集合 解题技巧提炼 1．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示． 2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R. 3.集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键． 11．（23-24高一上·新疆·期中）用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 12．（2022高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 题型五 根据元素与集合的关系求参数 解题技巧提炼 与集合元素有关问题解题思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件． （3）根据限制条件列式求参数或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性. 13．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（多选）（22-23高一·全国·课堂例题）若，则实数m的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 16．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 17．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 题型六 根据集合中元素的个数求参数 解题技巧提炼 涉及集合中元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性． 18.（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 19．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 20.（2022高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 题型七 常用数集的应用 解题技巧提炼 熟记常用数集的记号所对应的含义. 21．（22-23高一上·四川遂宁·期末）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 23．（2018·全国·高考真题）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 24．（22-23高一上·上海徐汇·期末）用列举法表示 ． 25．（20-21高一·全国·课后作业）用列举法表示 ． 题型八 集合的新定义问题 解题技巧提炼 仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法． 26．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 27．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A． B． C．8 D．16 28．（22-23高一上·河南·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有.若且，则用列举法表示的 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合的概念与表示 知识点一 集合与元素 1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合. 2.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a∉A a不属于集合A 知识点二 集合中元素的特征 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． (3)无序性：集合中的元素可以任意排列．如果两个集合A，B,组成它们的元素完全相同，称这两个集合相等，记作A=B. 知识点三 集合的分类 （1）含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集. （2）空集：不含任何元素的集合. 【特别提醒】空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集！ 知识点四 几种特殊的数集 N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 知识点五 集合的表示方法 1.自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合． 2.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 3.描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示成.这种表示集合的方法称为描述法. 4.图示法（维恩图）：用平面上一条封闭曲线的内部表示集合，表示集合关系的示意图称作维恩图. 题型一 集合的概念 解题技巧提炼 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合． 1．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 题型二 元素和集合的关系 解题技巧提炼 1．对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握． 2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征． 3.判断集合中元素的个数，要注意重复的只算一次. 4.判断两个集合是否相同，只要它们的元素完全相同即可，不考虑顺序三个相同. 2.（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 【答案】C 【分析】根据元素与集合的定义逐一判断即可. 【详解】A：0是集合的一个元素，因此本选项不正确； B：因为文明市民的标准不确定，所以组成不了集合，因此本选项不正确； C：由，显然给一个自然数的值，都有唯一的一个实数与之对应， 而自然数集是无限集，因此集合是无限集，因此本选项正确； D：， 方程 3．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 4．（23-24高一上·四川·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】集合为一个点集，根据元素与集合的关系得到答案. 【详解】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即. 故选:C. 5．（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）“mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的互异性分析求解. 【详解】因为“mooncake”中的字母有m，o，n，c，a，k，e， 其构成的集合为，有7个元素. 故选：C. 6．（22-23高一上·宁夏银川·期中）下列说法中正确的是（    ） A． B．集合中没有元素 C．集合中有两个元素 D．与是不同的集合 【答案】C 【分析】根据集合的定义判断. 【详解】，A错误；集合含有元素0；集合中只有两个元素；集合与集合都只用有两个元素1和2，是相同集合，因此只有C正确． 故选：C． 7．（2013·全国·高考真题）设集合，，，则M中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意知，， 则x的可能取值为5,6,7,8. 因此集合M共有4个元素，故选B. 题型三 用列举法表示集合 解题技巧提炼 1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集． 2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然． 8．（22-23高三·全国·课后作业）已知集合，用列举法表示M＝ ． 【答案】 【分析】由直接求解. 【详解】根据题意，应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，. 又，所以的值分别为：4，3，2. 故集合. 故答案为： 9．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 【答案】 【分析】根据集合的元素特征直接列举出即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 10．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）集合，用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据集合元素的性质即可求得答案. 【详解】由，可得，， 由，可得，则，则， 故答案为： 题型四 用描述法表示集合 解题技巧提炼 1．用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示． 2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R. 3.集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键． 11．（23-24高一上·新疆·期中）用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据描述法的书写格式作答即可. 【详解】（1）解不等式得， 所以，原不等式的解集用描述法表示为. （2）所有的偶数组成的集合为. 12．（2022高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. 【详解】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 题型五 根据元素与集合的关系求参数 解题技巧提炼 与集合元素有关问题解题思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件． （3）根据限制条件列式求参数或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性. 13．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题意. 故选：D 14．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）集合 ，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的从属关系列出限制条件可得答案. 【详解】因为且，所以且，解得. 故选：B. 15．（多选）（22-23高一·全国·课堂例题）若，则实数m的可能取值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】ABD 【分析】根据元素和集合的关系、集合元素的互异性求得正确答案. 【详解】三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论． 当时，，此时，，故符合题意； 当时，，此时（注意检验），不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，经检验符合题意． 综上可知，或． 故选：ABD 16．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 【答案】2 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 17．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)不能取0和4； (2)． 【分析】（1）根据集合元素的互异性，列式算出答案； （2）若4为集合A的元素，结合（1）的结论可知，从而算出实数m的值． 【详解】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 题型六 根据集合中元素的个数求参数 解题技巧提炼 涉及集合中元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性． 18.（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【分析】根据，分类讨论结合元素的互异性求解即可. 【详解】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1. 故选：C 19．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合只有一个解，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 20.（2022高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 题型七 常用数集的应用 解题技巧提炼 熟记常用数集的记号所对应的含义. 21．（22-23高一上·四川遂宁·期末）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接求出集合中的元素即可. 【详解】. 故选：C. 22．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，分别代入即可求得结果. 【详解】，故有个元素， 故选：D． 23．（2018·全国·高考真题）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个， 故选：A. 24．（22-23高一上·上海徐汇·期末）用列举法表示 ． 【答案】 【分析】根据元素的特征用列举法表示即可. 【详解】解：. 故答案为： 25．（20-21高一·全国·课后作业）用列举法表示 ． 【答案】 【分析】根据且求出的值，即可求出，从而列举即可. 【详解】解：因为且，所以或或或， 解得或或或， 所以对应的分别为、、、， 即； 故答案为： 题型八 集合的新定义问题 解题技巧提炼 仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法． 26．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【详解】若不是孤立元，. 设另一元素为， 假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个. 故选：D 27．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（　　） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据集合的定义先求出集合，然后再把集合中所有元素相乘即可求解. 【详解】由题意，， 由集合的定义可知，集合中有以下元素：①，②，③，④， 根据集合中元素满足互异性去重得， 所以中所有元素之积为. 故选：C. 28．（22-23高一上·河南·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有.若且，则用列举法表示的 . 【答案】 【分析】由题意可得，，或，，或，，然后根据新运算求解即可. 【详解】当时，； 当时，； 当，时，， 所以. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$