1.1.1-1.1.2 集合的意义 集合的表示（第2课时）（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

1.1.1-1.1.2 集合的意义 集合的表示（第2课时） 题型1： 概念综合辨析 1．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【解析】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 2．下列说法正确的是（    ） A．，，，是两个集合 B．中有两个元素 C．是有限集 D．是空集 【答案】C 【分析】根据集合的定义判断． 【解析】在中，由集合中元素的无序性， 得到，，，是同一个集合，故错误； 在中，中有一个元素，故错误； 在中，，2，3，，是有限集，故正确； 在中，，，不是空集，故错误. 故选：. 【点睛】本题考查集合的概念，掌握集合的概念，集合元素的性质：确定性、互异性、无序性是解题关键． 题型2：空集性质的应用 3．若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【解析】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 4．已知，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据集合的定义求解即可. 【解析】由题意可知，一元二次方程无解，所以，故 故答案为： 题型3：相等集合 5．下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样. 【解析】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 6．下列各组中的两个集合相等的有 （1）P={x|x=2n，n∈Z}，Q={x|x=2(n+1)，n∈Z} （2）P={x|x=2n-1，n∈N+}，Q={x|x=2n+1，n∈N+}； （3）P={x|x2-x=0}，Q={x|x=，n∈Z}. （4）P={x|y=x+1}，Q={(x，y)|y=x+1} 【答案】（1）（3） 【分析】根据集合的元素逐一分析，由此判断出正确结论. 【解析】（1）中集合P，Q都表示所有偶数组成的集合，有P=Q； （2）中P是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，Q是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q，所以P≠Q. （3）中P={0，1}，当n为奇数时，x==0，当n为偶数时，x==1，所以Q={0，1}，P=Q. （4）中集合的研究对象不相同，所以P≠Q. 故答案为：（1）（3）. 题型4：根据相等集合求参数 7．若集合，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等进行讨论，求得，进而求得. 【解析】依题意，， 则或， 由解得或. 由解得. 当时，不满足集合元素的互异性. 当时，两个集合为，符合题意，此时. 当，两个集合为，符合题意，此时. 综上所述，. 故答案为： 8．若m，，且满足集合，则 ． 【答案】 【分析】分两种情况，得到方程组，舍去不合要求的解，得到答案. 【解析】， 故①或②， 由①解得，不满足，舍去， 由②解得，故. 故答案为： 9．已知，则实数m等于（    ） A．2 B．－1 C．2或－1 D．4 【答案】C 【分析】根据两集合相等列出方程，解方程，检验后得到答案. 【解析】由已知得，，解得或－1，经检验符合题意． 故选：C. 10．已知集合，，若，则等于 A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据两个集合相等的知识列方程，结合集合元素的互异性求得的值. 【解析】由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合. 故选：C 【点睛】本小题主要考查集合相等的知识，考查集合元素的互异性，属于基础题. 11．已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解. 【解析】∵集合，分母， ∴，，且，解得， ∴. 故选：B. 12．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（    ） A．{1} B．{1，2} C．{2，5} D．{1，5} 【答案】D 【分析】根据集合的相等的意义得到x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解,由此求得p,q的值，进而求得集合B. 【解析】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知， x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解, ∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0. 计算得出p＝－3，q＝4. 则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3； 即(x－1)2－4(x－1)＝0； 则x－1＝0或x－1＝4， 计算得出x＝1或x＝5. 所以集合B＝{1，5}． 故选：. 题型5：根据元素的互异性求参数 13．若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【答案】且且 【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可. 【解析】解：由元素的互异性，可知， 解得:且且. 故答案为：且且 14．数集中的x不能取的数值的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合中的元素具有互异性的性质列出关于x的不等式，解之即可得到x不能取的数值的集合． 【解析】由解得；由解得． ∴x不能取的值的集合为． 故选：C． 题型6：根据元素与集合的关系求参数 15．设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案. 【解析】设集合，若， ，或， 当时，，此时； 当时，，此时； 所以或. 故选：C 16．已知集合，若，则实数 . 【答案】0 【分析】讨论、求参数，结合集合的性质确定参数值. 【解析】若，则，而，不满足集合元素的互异性； 若，则，故，满足题设， 所以. 故答案为：0 17．已知集合，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可. 【解析】∵，∴或． 若，解得或． 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，集合，满足题意，故成立． 若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去． 综上所述，． 故选：D． 题型7：求集合中元素的个数 18．集合一条边长为，一个角为的等腰三角形，其中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 【答案】C 【分析】考虑已知角度为底角或顶角，已知边为腰或底，从而得到答案. 【解析】当顶角为时， 若边长为的边为腰，有1个等腰三角形，若边长为的边为底，有1个等腰三角形； 当底角为时， 若边长为的边为腰，有1个等腰三角形，若边长为的边为底，有1个等腰三角形； 经检验，这四个等腰三角形没有全等的情况，故集合A共有4个元素. 故选：C. 19．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【解析】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 20．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用集合的描述法计算即可. 【解析】由题意可知只有，符合题意.即. 故选：A 21．已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】列举出满足集合描述的元素，即可得答案. 【解析】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A. ∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四个元素. 故选：D 22．设集合，那么集合满足条件“”的元素个数为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】由题意对谁取0分类讨论即可求解. 【解析】若，则，即有序数对有4种取法， 同理若，则，即有序数对有4种取法， 若，则，即有序数对有4种取法， 综上所述，集合满足条件“”的元素个数为. 故选：D. 23．设集，，若集合且，则集合中元素个数为（    ） A．3个 B．6个 C．9个 D．8个 【答案】D 【分析】根据集合的描述求出满足要求的的个数，从而得解. 【解析】因为，，对于的每一个值，都有3个值与之对应， 而中含有3个元素，因此共有个不同的， 又不合题意，舍去， 因此，集合中元素个数共有个. 故选：D. 题型8：根据集合中元素的个数求参数 24．由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案. 【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2， 因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3， 故，即，即a可取2， 即A，B，C错误，D正确， 故选：D 25．已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（    ） A．1 B． C．或1 D．或或1 【答案】C 【分析】根据集合为单元素集，可得方程只有一个实根，对分类讨论即可求解. 【解析】若集合为单元素集，则方程只有一个实根. 当,可得，满足题意； 当时，,解得. 故的取值是0或1. 故选:C. 26．已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 【答案】C 【分析】集合有一个元素，即方程有一解，分， 两种情况讨论，即可得解. 【解析】集合有一个元素，即方程有一解， 当时，，符合题意， 当时，有一解， 则，解得：， 综上可得：或， 故选：C. 27．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出集合A，进一步得到m的范围. 【解析】由题意可知，可得. 故选：D 28．若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ． 【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可） 【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解. 【解析】依题意可得，解得， 则． 所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10， 所以，解得． 故答案为：7（答案不唯一）. 29．已知集合是单元素集，用列举法表示的取值集合 . 【答案】 【分析】由题意，方程有唯一解，由于分母，所以先讨论与时分式可约分的情况，此时只有唯一解，符合题意；再讨论时，将方程转化为有唯一解，即求解值. 【解析】由题意，集合是单元素集， 即方程有唯一解， ， 当时，原式等于，符合题意； 当时，原式等于，符合题意； 当时，方程转化为有唯一解， ，得， 所以的取值集合为. 故答案为： 一、填空题 1．若集合，实数的值为 【答案】 【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案． 【解析】令,,，,,， ,,，，， 若，则，则,,，,,，满足要求； 若，则，而中元素，矛盾； 若，则，则,,，,,，满足要求； 故实数的值为. 故答案为： 2．设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【解析】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 3．集合，，若，则 ． 【答案】或/或 【分析】由元素互异性可得，即且，可得，再由可得，，在讨论、时，根据元素的确定性列方程组可得的值即可求解. 【解析】因为，所以即， 所以且，可得， 因为，所以，， 当时，，， 当时，可得：， 当时，，可得：， 所以或， 故答案为：或. 4．已知集合A＝｛（x，y）｜｝，B＝｛（x，y）｜｝，设集合M＝｛（x1＋x2，y1＋y2）｜｝，则集合M中元素的个数为 ． 【答案】59 【解析】试题分析：由题意知，，B中有个元素，当时，B中的元素都在M中；当时，M中元素各增加7个；当时，M中元素各增加5个，所以M中元素共有个． 考点：集合中的元素个数问题． 【思路点睛】先分析出集合A和B中的元素，从A中的元素逐个分析，当时，B中的元素都在M中，当时，M中元素在原来基础上多横坐标为3和-3的7个，当时，M中元素在原来基础上多纵坐标为4和-4的5个，再算总数． 5．集合任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为 ． 【答案】7 【分析】假设且集合有4个正项，结合已知条件得到矛盾，即可确定集合中正项的个数，同理推出负项个数，即可确定的最大值. 【解析】不妨假设若集合中的正数个数大于等于，故为正项， 则和均大于于是有从而矛盾！ 所以集合中至多有3个正数，同理集合中最多有个负数，取满足题意， 所以的最大值为． 故答案为：7 6．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【解析】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 二、单选题 7．已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【解析】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 8．非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（    ） ①﹣1∉A；②∈A；③若x、y∈A，则xy∈A；④若x、y∈A，则x﹣y∉A． A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】对于①：假设，令，由已知推出矛盾，可判断①； 对于②：由题意知，，再得，，从而判断②； 对于③：由，得，，结合性质可判断③； 对于④：，由，，可判断④. 【解析】解：对于①：假设，则令，则，， 令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故①对； 对于②：由题意知，，则，，故②正确； 对于③：，，故③正确； 对于④：，若，则，故④错误， 所以一定成立的是①②③， 故选：C. 9．设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】依题意从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和必为的倍数，从而得到这个和为、、、，即可得到，即可求出这四个数. 【解析】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数， 又，，， 所以这个和为、、、， 则， 所以，，， 即这个数分别为、、、， 故这个数中最小的数为. 故选：C 三、解答题 10．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）根据题意，由，得，进而，得证； （2）反证法证明. 【解析】（1） 若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2） 若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 11．已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 【答案】(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由见解析 (2)在集合B中，理由见解析 (3)属于集合，理由见解析 【分析】（1）根据集合A中元素的特征判断求解； （2）根据集合中元素的特征判断求解； （3）设，，进而根据集合中元素的特征判断求解. 【解析】（1）∵，∴3在集合A中， 令，则，故5不在集合A中. （2），且，故在集合B中. （3）设，， 则， 所以属于集合. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1-1.1.2 集合的意义 集合的表示（第2课时） 题型1： 概念综合辨析 1．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 2．下列说法正确的是（    ） A．，，，是两个集合 B．中有两个元素 C．是有限集 D．是空集 题型2：空集性质的应用 3．若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 4．已知，则实数的取值范围是 题型3：相等集合 5．下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．下列各组中的两个集合相等的有 （1）P={x|x=2n，n∈Z}，Q={x|x=2(n+1)，n∈Z} （2）P={x|x=2n-1，n∈N+}，Q={x|x=2n+1，n∈N+}； （3）P={x|x2-x=0}，Q={x|x=，n∈Z}. （4）P={x|y=x+1}，Q={(x，y)|y=x+1} 题型4：根据相等集合求参数 7．若集合，则 . 8．若m，，且满足集合，则 ． 9．已知，则实数m等于（    ） A．2 B．－1 C．2或－1 D．4 10．已知集合，，若，则等于 A．或3 B．0或 C．3 D． 11．已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 12．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（    ） A．{1} B．{1，2} C．{2，5} D．{1，5} 题型5：根据元素的互异性求参数 13．若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 14．数集中的x不能取的数值的集合是（    ） A． B． C． D． 题型6：根据元素与集合的关系求参数 15．设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 16．已知集合，若，则实数 . 17．已知集合，，则（ ） A． B．或 C． D． 题型7：求集合中元素的个数 18．集合一条边长为，一个角为的等腰三角形，其中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 19．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 21．已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．设集合，那么集合满足条件“”的元素个数为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 23．设集，，若集合且，则集合中元素个数为（    ） A．3个 B．6个 C．9个 D．8个 题型8：根据集合中元素的个数求参数 24．由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 25．已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（    ） A．1 B． C．或1 D．或或1 26．已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 27．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ． 29．已知集合是单元素集，用列举法表示的取值集合 . 一、填空题 1．若集合，实数的值为 2．设集合，，已知且，则的取值集合为 . 3．集合，，若，则 ． 4．已知集合A＝｛（x，y）｜｝，B＝｛（x，y）｜｝，设集合M＝｛（x1＋x2，y1＋y2）｜｝，则集合M中元素的个数为 ． 5．集合任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为 ． 6．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 二、单选题 7．已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 8．非空集合A具有下列性质：（1）若x、y∈A，则∈A；（2）若x、y∈A，则x+y∈A，下列判断一定成立的是（    ） ①﹣1∉A； ②∈A； ③若x、y∈A，则xy∈A； ④若x、y∈A，则x﹣y∉A． A． ①③ B．①② B． C．①②③ D．①②③④ 9．设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 三、解答题 10．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 11．已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$