精品解析：河南省安阳市殷都区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 注意事项： 1． 本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2． 请直接将答案写在答题卡上，写在试题卷上的答案无效． 3． 答题时，必须使用2B铅笔按要求规范填涂，用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写． 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 点在函数图象上，则a的取值是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 0 3. 下列各组数能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1， 2， B. 2， 3， 4 C. 1， 2， 3 D. 3， 4， 6 4. 在中，，则度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为（ ） A. 80分 B. 83分 C. 85分 D. 87分 6. 点 和都在一次函数的图象上， 则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 四条边相等 D. 四个角都是直角 8. 如图，在中，，以直角三角形两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则的长为（ ） A. 14 B. 4 C. 3 D. 2 9. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（　　） A. OE=DC B. OA=OC C. ∠BOE=∠OBA D. ∠OBE=∠OCE 10. 如图，在中，点D、点E分别是中点，点F是一点，，则长为______．（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 (每小题3分，共15分) 11. 请写出一个使二次根式 有意义的的值________(写出一个即可)． 12. 为弘扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校组织开展诗词朗诵比赛活动，九（2）班需要从甲、乙两位同学中选拔一位参加此次活动．下图是甲、乙两位同学的6次选拔成绩，已知两位同学的平均成绩相等，从他们的稳定性考虑，应该选择______同学参加比赛．（填“甲”或“乙”） 13. 用图象法解二元一次方程组 时，小英所画图象如图所示，则方程组的解为______． 14. 如图，四边形为菱形，已知，，则点的坐标为________． 15. 菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，－1），则EP十BP的最小值为__________． 三、解答题(本题共8个小题，满分75分) 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知一次函数的图象经过点，． （1）求k，b的值，并在坐标系中画出这个函数的图象； （2）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 18. 小明家，新华书店，学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图像提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的距离是 米； （2）小明在书店停留了 分钟； （3）本次上学途中，小明一共骑行了 米； （4）买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是多少？ 19. 下面是小林设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程． 已知：在中，. 求作：矩形ABCD. 作法：如图②， ①分别以点A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E、F； ②作直线EF，直线EF交AC于点O； ③作射线BO，在BO上截取OD，使得； ④连接AD，CD. 所以四边形ABCD就是所求的矩形． 根据小林设计的尺规作图过程. （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：________，， ∴四边形ABCD为平行四边形（________________）（填推理依据）. 又∵， ∴四边形ABCD为矩形（________________）（填推理依据）. 20. 某中学计划翻修学校体育馆，有一条从楼顶垂下的绳子，绳子顶端A固定在楼顶部，绳子自然垂下至楼底还余2米，当绳子的下端从点C拉开6米至点B时，发现绳子下端刚好接触地面．求体育馆楼高的值． 21. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从学校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行统计分析(满分100分， 成绩分数用x表示， 共分为三个等级∶ 合格， 良好， 优秀) ， 下面给出了部分信息∶ 七年级抽取的学生的竞赛成绩为∶ 72， 79， 82， 82， 82， 84， 87， 89， 91， 92； 八年级抽取的学生的竞赛成绩在“良好”等级的为∶ 80， 81， 84， 86， 87． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 83 b 八年级 84 a 90 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空∶ ， ； （2）该校七年级共有500名学生参加了此次竞赛，估计七年级有多少名学生的成绩在“优秀”等级？ （3）你认为此次竞赛哪个年级的学生成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可)． 22. 为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买A，B两种跳绳．经市场调查，A种跳绳每根15元，B种跳绳每根10元．若学校准备购买A，B两种跳绳共120条，且购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍． （1）设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间函数关系式； （2）在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 23. 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点落在矩形的边上(如图1) ，折痕为(点是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原． （1）当点与点重合时(如图2) ， ； （2）当点在上，点在上时(如图3) ． ①求证：四边形为菱形． ②当时，请直接写出菱形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 注意事项： 1． 本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2． 请直接将答案写在答题卡上，写在试题卷上的答案无效． 3． 答题时，必须使用2B铅笔按要求规范填涂，用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写． 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的概念把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的概念即可得出答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； C、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； D、和是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 点在函数的图象上，则a的取值是（ ） A. 1 B. 3 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接把点代入反比例函数求出a的值即可． 【详解】解：根据题意：， 故选：B． 3. 下列各组数能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1， 2， B. 2， 3， 4 C. 1， 2， 3 D. 3， 4， 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，组成三角形的条件，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴此组数据能组成直角三角形的三边长，故本选项正确； B、∵， ∴此组数据不能组成直角三角形的三边长，故本选项错误； C、∵， ∴此组数据不能组成三角形，更不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误； D、∵， ∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误． 故选：A． 4. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为（ ） A. 80分 B. 83分 C. 85分 D. 87分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式计算即可得出答案，熟练掌握加权平均数的公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得： 小明的最终成绩为（分）， 故选：B． 6. 点 和都在一次函数的图象上， 则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出，牢记“当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 【详解】∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵点，都在一次函数的图象上，且， ∴ ， 故选：A． 7. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 四条边相等 D. 四个角都是直角 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，正方形的性质，掌握几何图形的性质是解题的关键．根据矩形的性质，正方形的性质即可求解． 【详解】解：矩形的性质，两组对边平行且相等，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角；正方形的性质，四边都相等且两组对边相互平行，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角， ∴正方形的四条都相等，是矩形没有的， 故选：C． 8. 如图，在中，，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则的长为（ ） A. 14 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．直接根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ 故选：D． 9. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（　　） A. OE=DC B. OA=OC C. ∠BOE=∠OBA D. ∠OBE=∠OCE 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC， 又∵点E是BC的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE=DC，OE∥DC， ∴OE∥AB， ∴∠BOE=∠OBA， ∴选项A、B、C正确； ∵OB≠OC， ∴∠OBE≠∠OCE， ∴选项D错误； 故选D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，还考查了三角形中位线定理，解决问题的方法是采用排除法解答． 10. 如图，在中，点D、点E分别是的中点，点F是一点，，则长为______．（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线性质求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，然后根据计算即可得解． 【详解】解：∵点D，点E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解是解题的关键． 二、填空题 (每小题3分，共15分) 11. 请写出一个使二次根式 有意义的的值________(写出一个即可)． 【答案】3(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义条件，根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解此题的关键． 【详解】解：∵二次根式 有意义， ∴， ∴， ∴可以等于， 故答案为：3(答案不唯一)． 12. 为弘扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校组织开展诗词朗诵比赛活动，九（2）班需要从甲、乙两位同学中选拔一位参加此次活动．下图是甲、乙两位同学的6次选拔成绩，已知两位同学的平均成绩相等，从他们的稳定性考虑，应该选择______同学参加比赛．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，方差的意义及用方差判断数据的波动性．根据折线统计图可判断乙同学的成绩波动性较小，在平均数相同的情况下，由此即可作出判断． 【详解】根据折线统计图，可知乙同学的成绩波动较小，且甲、乙两位同学的平均成绩相等， ∴应该选择乙同学参加比赛． 故答案：乙 13. 用图象法解二元一次方程组 时，小英所画图象如图所示，则方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图象法解二元一次方程组．熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，是解决问题的关键． 根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，两个一次函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案． 【详解】∵直线与的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为：， 故答案为：． 14. 如图，四边形为菱形，已知，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、菱形的性质，由题意得出，，，由勾股定理得出，由菱形的性质得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ∵，， ∴，， 由题意得：， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，－1），则EP十BP的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得OC垂直平分BD，从而可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为DE，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】如图，连接BP、DP、EP、DE、BD，过点D作于点A， ， ， 四边形ABCD是菱形， 垂直平分BD，， 点P是对角线OC上的点， ， ， 由两点之间线段最短可知，的最小值为DE，即的最小值为DE， ， 是等边三角形， ， ，， ， 又， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出的最小值为DE是解题关键． 三、解答题(本题共8个小题，满分75分) 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）先计算二次根式的除法，根据平方差公式进行计算，然后计算加减即可求解． 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 原式 ． 17. 已知一次函数的图象经过点，． （1）求k，b的值，并在坐标系中画出这个函数的图象； （2）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、画一次函数的图像、一次函数与一元一次不等式的关系，正确求出k、b是解答的关键． （1）利用待定系数法求解k、b即可，进而得到函数解析式，然后在坐标系中画出函数图像即可； （2）根据图像，求得图像上位于y轴左侧部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像经过点，， ， 解得， ∴， ∵图像经过点， ∴函数图像如图所示： 【小问2详解】 解：由图象可知，当时x的取值范围． 18. 小明家，新华书店，学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图像提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的距离是 米； （2）小明在书店停留了 分钟； （3）本次上学途中，小明一共骑行了 米； （4）买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是多少？ 【答案】（1）1500 （2）4 （3）2700 （4）小明从新华书店到学校骑车速度是450米/分 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案； （4）根据函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据图象，学校的纵坐标为，小明家的纵坐标为， ∴小明家到学校的距离是米； 【小问2详解】 解：根据图象，小明在书店停留的时间为从分钟到分钟，， ∴小明在书店停留了分钟； 【小问3详解】 解：根据图象可得： 本次上学途中，小明一共骑行了米； 【小问4详解】 解：根据图象可得： 买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是米/分． 19. 下面是小林设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程． 已知：在中，. 求作：矩形ABCD. 作法：如图②， ①分别以点A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E、F； ②作直线EF，直线EF交AC于点O； ③作射线BO，在BO上截取OD，使得； ④连接AD，CD. 所以四边形ABCD就是所求的矩形． 根据小林设计的尺规作图过程. （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：________，， ∴四边形ABCD为平行四边形（________________）（填推理依据）. 又∵， ∴四边形ABCD为矩形（________________）（填推理依据）. 【答案】（1）见解析；（2）OC；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形 【解析】 【分析】（1）根据题意，根据作图的作法作出图形即可； （2）由对角线互相平分证明平行四边形，以及有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可证明结论成立. 【详解】解：（1）补全图形，如图所示； （2）证明：，， ∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）. 又∵， ∴四边形ABCD为矩形（有一个内角为90°的平行四边形为矩形）. 故答案为：OC；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形. 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，以及作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握矩形的判定定理和线段垂直平分线的作法.错因分析：①不能正确运用尺规完成作图；②没有掌握矩形的判定定理 20. 某中学计划翻修学校体育馆，有一条从楼顶垂下的绳子，绳子顶端A固定在楼顶部，绳子自然垂下至楼底还余2米，当绳子的下端从点C拉开6米至点B时，发现绳子下端刚好接触地面．求体育馆楼高的值． 【答案】体育馆楼高的值为8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设体育馆楼高为x米，则绳子长为米，在中，根据，即可求解，熟练掌握勾股定理的应用是解决此题的关键． 【详解】设体育馆楼高为x米，则绳子长为米， 在中， 解得∶， 答：体育馆楼高的值为8米． 21. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从学校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行统计分析(满分100分， 成绩分数用x表示， 共分为三个等级∶ 合格， 良好， 优秀) ， 下面给出了部分信息∶ 七年级抽取的学生的竞赛成绩为∶ 72， 79， 82， 82， 82， 84， 87， 89， 91， 92； 八年级抽取的学生的竞赛成绩在“良好”等级的为∶ 80， 81， 84， 86， 87． 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 83 b 八年级 84 a 90 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空∶ ， ； （2）该校七年级共有500名学生参加了此次竞赛，估计七年级有多少名学生的成绩在“优秀”等级？ （3）你认为此次竞赛哪个年级的学生成绩较好？请说明理由(写出一条理由即可)． 【答案】（1）85，82 （2）估计七年级有100名学生的成绩在“优秀”等级 （3）八年级学生成绩较好，见解析 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，样本估计总体，掌握以上知识是解题关键． （1）根据众数的定义可得b的值，先计算八年级竞赛成绩优秀的学生人数，再根据中位数的定义可得a的值； （2）计算七年级抽取的学生中成绩优秀的学生所占的百分比，再乘以总人数即可； （3）根据中位数、众数和方差等进行比较，即可解答． 【小问1详解】 解：七年级抽取的学生的竞赛成绩：72，79，82，82，82，84，87，89，91，92，出现次数最多的是82，出现了三次， ∴众数是82，． 八年级竞赛成绩优秀的学生人数为：（人），将数据从大到小排列，中位数是第5和第6个数据的平均数， ∴中位数 故答案为：85；82 【小问2详解】 （名） 答：估计七年级有100名学生的成绩在“优秀”等级 【小问3详解】 八年级学生成绩较好 理由如下：观察表格可知，八年级的中位数和众数均大于七年级，且八年级竞赛成绩的方差小于七年级，所以八年级的学生成绩较好． 22. 为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买A，B两种跳绳．经市场调查，A种跳绳每根15元，B种跳绳每根10元．若学校准备购买A，B两种跳绳共120条，且购买A种跳绳的数量不少于B种跳绳数量的2倍． （1）设购买A种跳绳为x根，实际付款总金额为y元，请求出y与x之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】（1） （2）当购买A种跳绳80根，B种跳绳40 根时，实际所花费用最省，最省的费用为1600元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用式和不等式的应用， 设购买A 种跳绳为x根， 则购买设购买 B种跳绳为根，根据总金额等于数量乘以单价即可列出总金额的函数关系式； 根据题意列出不等式求得购买A 种跳绳数量，结合总金额的函数的性质即可求得最省的购买方案． 【小问1详解】 解∶ 设购买A 种跳绳为x根， 则购买设购买 B种跳绳为根． ∴ ∴y与x之间的函数关系式为 【小问2详解】 ∵购买A种跳绳数量不少于 B种跳绳数量的2倍 ∴ 解得 ∵， ∴y随x的增大而增大 ∴当时， y取得最小值为 此时 ∴当购买A种跳绳80根，B种跳绳40 根时，实际所花费用最省，最省的费用为1600元． 23. 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点落在矩形的边上(如图1) ，折痕为(点是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原． （1）当点与点重合时(如图2) ， ； （2）当点在上，点在上时(如图3) ． ①求证：四边形为菱形． ②当时，请直接写出菱形的边长． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，由此即可得出答案； （2）①由折叠的性质可得，，，由矩形的性质得出，由平行线的性质得出，推出，由等角对等边得出，得到，即可得证；②设，则，在中，由勾股定理得，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①证明：由折叠的性质可得：，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②解：∵在矩形中，，，， ∴，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴菱形的边长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$