专题01 全等三角形（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑《基础•中等•优质》题型过关专练（苏科版）

专题01全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等中的最值 【解惑】如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，在上取一点，使，连接，    ∵平分 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ∵， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（　　）    A．6 B．7 C．7.5 D．8.3 【答案】B 【分析】连接，由得，，根据知，当点在线段上时，的最小值是，问题得解． 【详解】解：连接， 平分交于点， ，， ， ， 且， 当点在线段上时，的最小值是， ， 的最小值为7． 故选：    【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，两点之间线段最短，其中准确作出点关于对称轴对称的对称点是解题的关键． 2．如图，已知点B是边上的动点（不与A、C重合），在的同侧作等边和等边，连接交于点H，交于G，交于F，连接，则当最小时， ． 【答案】 【分析】由题意可证得，在上截取可证，推出，当时，最小，据此即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ 即： ∵ ∴ ∴ 在上截取 ∴ ∴， ∴ 即： ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ 当时，最小 此时， ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，考查了学生的推理论证能力． 3．如图，一个等腰直角三角形零件放置在一凹槽内，顶点A．B．C分别落在凹槽内壁上，测得AD＝5cm，BE＝9cm，则该零件的面积为            　　　　 【答案】53cm2 【分析】首先证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得DC=BE=9cm，再利用勾股定理计算出AC长，然后利用三角形的面积公式计算出该零件的面积即可． 【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°， ∵∠ADC=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中，， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC=BE=9cm， ∴AC===（cm）， ∴BC=cm， ∴该零件的面积为：××=53（cm2）． 故答案为53cm2． 【点睛】本题考查全等三角形的应用, 等腰直角三角形以及勾股定理的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法. 类型二、全等中的“手拉手” 【解惑】如图，中，，，是的角平分线， ，则的最大值为（    ） A．30 B．10 C．20 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，中线的性质．明确面积最大时的情况是解题的关键． 如图，延长交于点，证明，则，，即为的中线，则，由，可得，当时，最大，即最大，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，    ∵是的角平分线， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴为的中线，则， ∵， ∴， ∴当时，最大，即最大， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，，直线l经过边的中点D，与交于点M，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足为E、F，则的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短问题，作辅助线构造全等三角形，将转化为是解题关键．过点作于点，证明，得到，再利用垂线段最短可知，，进而得到，则当点、、、共线时，有最大值，最大值为的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ，即， 当点、、、共线时，有最大值，最大值为的长， ， 的最大值为， 故选：B．    2．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用　，熟记模型的构成及结论是解题关键． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．等腰三角形中，，点D为底边上一点，作，使，连接，请解答下列问题． 【问题发现】（1）如图1，若，通过证明，可得出与的数量关系是_______；与的数量关系是_______． 【类比探究】（2）如图2，若，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若点A到的距离为2，请直接写出点A到直线的距离． 【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）2 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据证明，进而根据全等三角形的性质即可得证； （3）过点分别作的垂线，则，根据，得出，进而证明，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； （2）成立， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； （3）如图所示， 过点分别作的垂线， ∴， 依题意，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点A到直线的距离为． 类型三、全等中的一线三等角 【解惑】如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰直角三角形的性质可以得出，属于手拉手型全等，所以，最后根据时间路程速度即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：， ， ， 在与中， ， ， ， 则 壁虎以的速度B处往处爬， ． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定，已知两边，若要证明，只需添加夹角相等，由此可求解． 【详解】A．∵， 若，则， ∵， ∴， 故A正确； B．当时， ∵， ∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角， ∴不能判断， 故B不正确； C，当时， ∵， ∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角， ∴不能判断， 故C不正确； D．当与不可能相等， ∴不能判断， 故D不正确； 故选：A． 2．如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长到E，使，连接，先证明，得到，，再证明，得到，即可由，进而即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接，如图， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 3．如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图． （1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程． （2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）先证∠ABD=∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可； （2）先证出∠ABD ＝ ∠EAC，再证△ABD ≌ △CAE（AAS）即可． 【详解】证明：（1）∵AB⊥AC,BD⊥DE,CE⊥DE, ∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°, ∴∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°, ∴∠ABD=∠EAC, 在△ABD和 △CAE中， ， ∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）， ∴ BD ＝ AE ，AD ＝ CE， ∴ DE ＝ AE ＋ DA ； （2）成立， 理由如下：∵  ∠BAC ＋ ∠BAD ＋ ∠EAC ＝ 180° ，   ∠ADB＋ ∠BAD ＋ ∠ABD  ＝ 180°， ∠BAC ＝ ∠BDA， ∴∠ABD ＝ ∠EAC ， 在△ABD和 △CAE中， ， ∴ △ABD ≌ △CAE（AAS）， ∴ BD ＝ AE，AD ＝ CE， ∴ DE ＝ AE ＋ DA ＝ BD ＋ CE． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 类型四、全等中的倍长中线法 【解惑】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 【融会贯通】 1．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于， ， ， 又，， ． ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键． 2．如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 【答案】7或15 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论，或，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：为边上的高， ， ，， ， ， 当时，， ， 或， 或， 即当或秒时，能使与以点、． 故答案为：或． 3．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 【答案】（1）；（2）②③；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：②③； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4）如图3，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型五、全等中的截长补短法 【解惑】如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 【融会贯通】 1．已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线．    (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：、分别为的角平分线， ，， ， ； （2）解：在上截取，连接．    、分别为的角平分线 ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 2．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 【答案】见解析 【分析】遇到这种CD＝AB＋AD线段和差问题一般都是截长补短； 方法1：补短AB，构造BE＝AB＋AD，证明CD=BE即可； 方法2：补短AD，构造DF＝AB＋AD，证明CD=DF即可； 方法3：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，构造等腰直角三角形ABF，证明AF=EC即可； 方法4：截长，在CD上截取DE使得DE＝AD，在CB延长上取点H使得AH＝AC,证明AB=EC即可； 【详解】方法1：补短，构造全等 证明：延长BA至点E，使得AD＝AE，连接CE ∵AD⊥CD ∴∠D＝90° ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠EAC＝∠B＋∠ACB＝45°＋30°＝75° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC 在△ADC和△AEC中 ∵AD＝AE ∠EAC＝∠DAC AC＝AC ∴△ADC≌△AEC(SAS) ∴EC＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠ECA=∠ACD＝15° ∴∠ECB＝∠B＝45° ∴EC＝BE ∴EC＝BE＝CD ∴CD＝AB＋AE＝AB＋AD 方法2：补短，构造全等 证明：延长DA至点F，使得AF＝AB ∵∠B＝45°，∠ACB＝30° ∴∠BAC＝180－∠B－∠ACB＝180°－45°－30°＝105° ∵CD是∠ACB的角平分线 ∴∠ACD＝15° ∵AD⊥CD， ∴∠D=90°， ∴∠EAC＝∠D＋∠ACD＝90°＋15°＝105° ∴∠EAC＝∠BAC 在△ABC和△AEC中 AB＝AE ∠EAC＝∠BAC AC＝AC ∴△ABC≌△AEC（SAS） ∴∠E＝∠B＝45°, ∴∠ECD＝90°-∠E=∠B＝45° ∴CD＝DE＝AD＋AE＝AD＋AB 方法3：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 过点A作AF⊥AB交BC于点F ∵∠B=45°， ∴∠AFB＝∠B＝45°，∠AFC＝135° ∴AB＝AF，∠AEC＝∠AFC ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠EAC＝∠ACF 在△AEC和△CFA中 ∠EAC＝∠ACF AC＝AC ∠AEC＝∠AFC ∴△AEC ≌ △CFA(ASA) ∴CE＝AF＝AB ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 方法4：截长，构造全等 证明： 在CD上截取DE使得DE＝AD ∵AD⊥CD ∴∠AED＝45°，∠AEC＝135° 在CB延长上取点H，使得AH＝AC ∵∠ABC＝45° ∴∠ABH＝135° ∴∠ABH＝∠AEC ∵AH＝AC ∴∠H＝∠ACB＝30° ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝15° ∴∠DAC＝90°－∠ACD＝90°－15°＝75° ∴∠EAC＝∠DAC－∠DAE＝75°－45°＝30° ∴∠H＝∠EAC 在△ABH和△CEA中 ∠H＝∠EAC AH＝AC ∠ABH＝∠AEC ∴△ABH ≌ △CEA(ASA) ∴AB＝CE ∴CD＝DE＋CE＝AD＋AB 3．（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明ABE≌ADG，再证明AEF≌AGF，可得出结论，他的结论应是　 　； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，且满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．    【答案】（1）BE＋FD＝EF；（2）BE＋FD＝EF仍然成立，理由见解析；（3）∠EAF＝180°－∠DAB，理由见解析． 【分析】（1）根据SAS可判定ABE≌ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SAS判定AEF≌AGF，可得出EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF，据此得出结论； （2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先根据SAS判定ABE≌ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SAS判定AEF≌AGF，可得出EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，先根据SAS判定ADG≌ABE，再根据SAS判定AEF≌AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE＋∠FAG＋∠GAE＝360°，推导得到2∠FAE＋∠DAB＝360°，即可得出结论． 【详解】解：（1）BE＋FD＝EF．理由如下： ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝180°－∠ADC＝90°， 又∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ADG， 在ABE与ADG中， ∴ABE≌ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°， ∴∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝60°， ∴∠DAG＋∠DAF＝60°， 即∠GAF＝60°， ∴∠GAF＝∠EAF， 在AEF与AGF中， ∴AEF≌AGF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵GF＝DG＋DF， ∴EF＝BE＋DF， 故答案为：BE＋FD＝EF； （2）BE＋FD＝EF仍然成立，理由如下： 如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B＋∠ADF＝180°，∠ADG＋∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 又∵AB＝AD， ∴在ABE与ADG中， ∴ABE≌ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAG＋∠DAF＝∠BAD， 即∠GAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠EAF， 在AEF与AGF中， ∴AEF≌AGF（SAS）， ∴EF＝GF， ∵GF＝DG＋DF， ∴EF＝BE＋DF； （3）∠EAF＝180°－∠DAB． 证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE， 又∵AB＝AD， ∴在ABE与ADG中， ∴ADG≌ABE（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， ∵EF＝BE＋FD， ∴EF＝DG＋FD， ∴EF＝GF， 在AEF与AGF中， ∴AEF≌AGF（SSS）， ∴∠FAE＝∠FAG， ∵∠FAE＋∠FAG＋∠GAE＝360°， ∴2∠FAE＋（∠GAB＋∠BAE）＝360°， ∴2∠FAE＋（∠GAB＋∠DAG）＝360°， 即2∠FAE＋∠DAB＝360°， ∴∠EAF＝180°－∠DAB．          【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 类型六、全等中的动点(二) 【解惑】【基础巩固】如图1，已知垂足分别为点A，B．若， ，探究与的关系，并说明理由． 【尝试应用】如图2，垂足分别为点A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由． 【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，求出相应的x的值． 【答案】基础巩固：，理由见解析；尝试运用：；拓展提高当与全等时的x值为2或 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明，解决此题的是注意分类讨论． 基础巩固：根据证明，进而解答即可； 尝试应用：根据证明，进而解答即可； 拓展提高：根据全等三角形的性质得出方程解答即可，注意分类． 【详解】解：基础巩固：． 理由：， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； 尝试运用： ． 当时，， ， ， ， 由基础巩固中的结论可知：； 拓展提高 ①若设运动时间为时， 则， 可得：，， ； ②若设运动时间为时，， 则，可得：，， ，， 综上所述，当与全等时的x值为2或． 【融会贯通】 1．如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．    (1)猜想线段与的位置关系，并证明； (2)若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． ①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①存在t的值，理由见解析，；②t的值为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，即可求解； （2）①由全等三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由全等三角形的判定列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，为高， ， 又， ， ，， ， ； （2）解：①存在的值，使得的面积为27，理由如下： ，， ， ， ，，    由（1）可知，， ， 在线段上， ， 解得：； ②， ， 、当点在线段延长线上时，如图3，   ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 、当点在线段上时，如图4，   ， ， ， 当时，， 此时，， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或． 2．如图，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒6个单位长度的速度向终点A运动，，两点同时出发．分别过，两点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)当，两点相遇时，求的值； (2)在整个运动过程中，求，的长；（用含的代数式表示） (3)当与全等时，求的值． 【答案】(1)当，两点相遇时，的值为 (2)当时，；当时，．当时，；当时， (3)当与全等时，的值为或或 【分析】本题考查了动点问题及全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用， （1）根据题意列方程并解方程解决即可； （2）根据题意，分情况列代数式表示即可； （3）分情况根据两三角形全等分别列方程并解方程即可解决； 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． ∴当，两点相遇时，的值为． （2）由题意可知，点运动的路线长为， 当时，． 当时，． 由题意可知，点运动的路线长为， 当时，． 当时，． （3）当点运动到点时，；当点运动到点时，． 当点在上，点在上时， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 当时，． ∴， 解得． 当点在上，点在上时，当点，重合时，． ∴． 即， 解得． 当点在上时，点到终点与点A重合，． ∴． 即， 解得． 综上，当与全等时，的值为或或． 3．如图，在四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动．设运动时间为． (1)如图①，连接、．当时，求t的值； (2)如图②，当点P开始运动时，点Q同时从点C出发，以的速度沿向点B匀速运动．当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求a和t的值； (3)如图③，点Q从点C出发，以的速度沿向点B匀速运动，点M同时从点D出发以的速度沿DA向点A运动，当Q、M两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连接，交于点E．连接，当时，，请求出此时a的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）由“”可证，可得，根据线段的和差求出，据此可求解； （2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解； （3）由 ，可求的值，由面积和差关系可求，可求的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ； （2）若， ∴， ∵ ， ， ∵， ∴， ∴； 若， ∴, ∴, ， ∵， ， ∴； 综上所述:，或 ； （3）如图③, 连接，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 类型七、全等中的半角模型 【解惑】【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【答案】【基本模型】；【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：． 【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）； （3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则， ，，，， 又， ， ， 又， ， 、、三点共线， 在和中，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。 【融会贯通】 1．【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    【答案】【尝试探究】，证明见解析；【模型建立】成立，证明见解析；【拓展应用】16 【详解】解：【尝试探究】． 证明：如图，把绕点顺时针旋转90°至，可使与重合，    ∵， ∴，点、、共线， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴， ∴； 【模型建立】成立，如图，    证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，，， 同理得：点，，在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（2）中的结论还成立，； 【拓展应用】∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴， 将绕点旋转，得到，    ∵，， ∴和重合，，，， ∴， ∴三点共线， 同法（2），可得：， ∴， ∴的周长． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是通过旋转构造全等三角形．本题主要考查半角模型，平时多归纳，多积累，可以帮助我们快速解题． 2．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系． (1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论． (2)如图（2），四边形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋FD，并说明理由． (3)如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F．且AE⊥AD，米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长． 【答案】(1)见解析 (2)∠BAD＝2∠EAF，理由见解析 (3)这条道路EF的长为米． 【分析】（1）先证明，得到AE=AG， ∠BAE＝∠GAD， 从而证明∠GAF=∠EAF，可证得出EF＝GF＝GD＋DF即可； （2）仿照（1）的方法延长CB至M，使BM＝DF，则可通过的相同的方法证明△ABM≌△ADF、△EAF≌△EAM，即可证出； （3）把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，先通过证明△BAE是等边三角形得出BE＝AB，再利用（2）的结论得到，将BE、DF的值代入即可求出． 【详解】（1）解：延长FD到点G使DG＝BE，连接AG， 如图（1）中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°， 在△ABE和△ADG中，， ∴， ∴∠BAE＝∠GAD，AE＝AG， ∴∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝90°−45°＝45°， ∴∠GAF=∠EAF=45°， 在△AEF和△AGF中，， ∴， ∴EF＝GF＝GD＋DF＝BE＋DF； （2）解：∠BAD＝2∠EAF， 理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABM＝180°， ∴∠D＝∠ABM， 在△ABM和△ADF中，， ∴△ABM≌△ADF， ∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM， ∵∠BAD＝2∠EAF， ∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAM＋∠BAE＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠EAM， 在△EAF和△EAM中，， ∴△EAF≌△EAM， ∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋DF， 即EF＝BE＋DF； （3）解：如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF． ∵∠BAD＝150°，AE⊥AD， ∴∠BAE＝150°-90°=60°， 又∵∠B＝60°， ∴△BAE是等边三角形， ∴BE＝AB＝80， ∵∠ADC=120°， ∴∠ADC+∠B=120°+60°=180°， 由（2）得，（米）， 即这条道路EF的长为米． 【点睛】本题考查了全等三角形，对于大角中等于其中包含的小角的2倍的问题，可利用题中旋转的方法补全三角形，再通过证明三角形全等的方法求解相关线段． 3．阅读材料，解决问题： 折叠、旋转是我们常见的两种图形变换方式．如图1，在 中，，，点，在边上，，若，，求的长． 小艳发现，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接（如图．使条件集中在中，可求得（即的长，具体作法为：作，且，连接、，可证，再结合已知中，可证，得，接着在 中利用勾股定理即可求得的长，即的长． (1)请你回答：与全等的条件是_____（填“”、“”、“”、“”或“”中的一个），的长为________； (2)如图3，正方形中，点为延长线上一点，将沿翻折至位置，延长交直线于点． ①求证：； ②连接交于点，连接（如图，请你直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)①见详解；②． 【分析】（1）根据绕点按逆时针方向旋转得到可得，，结合可得，根据边角边定理即可得到证明，在中利用勾股定理即可得到答案； （2）①连接，根据定理即可得到，即可得到证明； ②连接，过作交延长线于一点，根据折叠得到，，由①可得，，即可得到，从而得到，根据正方形性质可得，，结合可得，即可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：绕点按逆时针方向旋转得到， ，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， 在 中，， ， ， 故答案为：，； （2）①连接， 沿翻折至位置，四边形是正方形， ，， 在与中， ， ∴ ； ②连接，过作交延长线于一点， 沿翻折至位置， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线． 类型八、全等中的无刻度尺作图 【解惑】如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求作图．    (1)在图1中，画出所有与全等（不包含）的； (2)在图2中，过顶点A画一条直线平分的面积（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质，中线的性质．熟练掌握全等三角形对应边相等，中线等分三角形的面积是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等作图，如图1； （2）如图2，点向右1个格点为，点向左1个格点为，连接，交于，则为中点，连接，为中边上的中线，则平分的面积，即为所求． 【详解】（1）解：如图1，，，即为所求；    （2）解：如图2，直线即为所求；    【融会贯通】 1．如图，已知且点在同一直线上，请你仅用无刻度的真尺按以下要求作图． 在图1中，作出一个与相等的角(除外)． 若，在图2中，作出的边上的高． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析． 【分析】（1）如图1（见解析），先根据三角形全等的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得； （2）如图2（见解析），先根据三角形全等的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，由此即可得． 【详解】（1）如图1，连接CF，则即为所作，理由如下： 连接CD， ， ， ， ， 在和中，， ， ，即， 即为所作； （2）如图2，延长AC、EF交于点G，则即为所作，理由如下： ， ， ， ， ， ， ，即为的边上的高， 即为所作． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 2．如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图． （1）在图1中，作AD的中点P； （2）在图2中，作AB的中点Q． 【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析. 【分析】（1）先连接矩形的对角线交于点O，再连接MO并延长，交AD于P，则点P即为AD的中点； （2）先运用（1）中的方法，画出AD的中点P，再连接BP，交AC于点K，则点E，再连接DK并延长，交AB于点Q，则点Q即为AB的中点． 【详解】(1)如图点P即为所求； (2)如图点Q即为所求； 【点睛】本题考查的是作图的应用，掌握矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键． 3．如图，在一个的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中的就是一个格点三角形．请用无刻度直尺在网格中作图（保留作图痕迹）； (1)①作边上的高； ②在边上找一点，连，使和的面积相等； ③作格点（点不与点重合），使和的面积相等； (2)图中与全等的格点三角形（不包括），可作出__________个（只填结果，不作图）． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析 (2) 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的性质，三角形的高的定义，三角形的中线的性质，平移的性质； （1）①根据全等三角形的性质，找到的格点，连接交于点，则即为所求； ②找到的中点，连接，即为所求； ③将点向上平移4个单位，再向左平移1个单位，得到点，则，连接，则即为所求； （2）根据网格的特点找到个三角形，进而根据轴对称的性质可得个与之全等的三角形，即可求解． 【详解】（1）①如图所示，找到的格点，连接交于点，则即为所求； ②如图所示，找到的中点，连接，即为所求； ③如图所示，将点向上平移4个单位向左平移1个单位，得到点，则，连接，则即为所求； （2）①将上下左右平移可得个与之全等的三角形， ②由（2）可得，同理通过平移可得个与全等的三角形， 综上所述有个三角形， 根据网格的特点，是的网格，共有4条对称轴， ∴与全等的格点三角形（不包括），可作出个 故答案为：． 类型九、全等中的新定义 【解惑】定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形． 【初步认识】 （1）如图，四边形是等角四边形，，，则_____； 【继续探索】 （2）如图，四边形是等角四边形，平分，平分，求证：； （1）如图，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形，且． （要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】（1）135；（2）证明见解析；（3）见解析 【分析】（1）由题意得出，再由计算即可得出答案； （2）设，由角平分线的定义得出，，求出，在计算出，得出，即可得证； （3）根据等角四边形的定义作图即可． 【详解】（1）解：∵四边形是等角四边形，，， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是等角四边形， ∴， 设， ∵在四边形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，作，作射线，作，，、交于点，点即为所求， ， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是等角四边形， ∴点即为所求． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、作图—设计与应用作图、三角形内角和定理、平行线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【融会贯通】 1．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识， （1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）． 理由：∵和是“同源三角形”， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45； （3）由（1）可知， ∴，． ，的中点分别为， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 2．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； (2)如图，在中，点、分别在、上，与相交于点，若． ①请你写出图中一个与相等的角； ②证明四边形是等对边四边形． 【答案】(1)平行四边形（矩形或菱形或正方形或等腰梯形） (2)①（或）；②见解析 【分析】（1）根据等对边四边形的图形的定义，平行四边形，等腰梯形进行解答便可． （2）①与A相等的角是（或）； ②作于G点，作交CD延长线于F点，易证，进而证明，所以，四边形是等对边四边形． 【详解】（1）平行四边形（矩形或菱形或正方形或等腰梯形） （2）①（或） 证明：∵，， ∴；（同理可证） ②证明：如图，作于G点，作交CD延长线于F点． ∵，BC为公共边， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形BCED是等对边四边形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，新定义，解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题． 3．定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”.如图1在中，若，则是“和谐三角形”.    （1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是______命题（填“真”或“假”）. （2）若中，，，，，且，若是“和谐三角形”，求. （3）如图2，在等边三角形的边，上各取一点，，且，，相交于点，是的高，若是“和谐三角形”，且.    ①求证：. ②连结，若，那么线段，，能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由. 【答案】（1）真；（2）.（3）能，证明见解析 【分析】（1）利用“和谐三角形”的定义验证即可； （2）若是“和谐三角形”，分，，三种情况，分别进行讨论即可； （3）①先利用是“和谐三角形”和第（2）问的结论得出，然后再利用等边三角形的性质证明，则结论可证； ②先证明，得出，设出，，然后分别表示出，然后用“和谐三角形”定义验证即可. 【详解】（1）设等边三角形三边分别为a,b,c ∵三角形为等边三角形 ∴a=b=c ∵ ∴等边三角形是“和谐三角形” 故答案为“真” （2）∵，，，， ∴. ①若，则.（舍去） ②若，则， ∴，得. 由勾股定理得 ∴. ③若，则， ∴，得. 由勾股定理得 ∴ ∵ ∴（舍去） 综上可知，是“和谐三角形”时. （3）①∵在等边三角形中， ∴，. 又∵是的高，是“和谐三角形”， ∴. ∴. ∴. 又∵. ∴. ∴. ∴. ②    ∵， ∴. ∴ ∴. 由，知， 设，，则. ∴ ， ∴， ∴， ∴线段，，能组成一个和谐三角形. 【点睛】本题为材料理解题，主要考查了全等三角形的判定及性质，能够理解“和谐三角形”的定义是解题的关键. 类型十、婆罗摩笈多 【解惑】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 【融会贯通】 1．【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使．连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图2，若，，试求出的中线的长的取值范围． 【理解与感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，与均为等腰直角三角形，．试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    【答案】（1）见解析；（2）；（3），．见解析 【分析】（1）根据即可求证； （2）设，延长至点，使，连接．证，在中利用三角形的三边关系即可求解； （3）延长至点，使得，连接，延长交于点．证、即可求解． 【详解】解：（1）是的中线， ． 在和中， ． （2）如图：设，延长至点，使，连接．    是的中线， ． 在和中， ， ， ，． 在中，， 即， ， 即． （3），． 证明：如图，延长至点，使得，连接，延长交于点．    是的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ∴， ． ， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ， ． ， ． ， ． 综上，可得，． 【点睛】本题考查了全等三角形的常见模型―倍长中线模型，熟记模型的构成条件、求证过程及结论是解题关键． 2．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是____． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由且即可求解； （2）证可推出即可求解； （3）延长到Q使得，连接，延长交于点，证、即可求解． 【详解】（1）解：∵且 ∴ 故答案为： （2）解：，理由如下： ∵是边上的中线 ∴ ∴ （3）解：，理由如下： 延长到Q使得，连接，延长交于点    ∵是边上的中线 ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的常见模型：倍长中线模型．熟记相关几何模型和结论是解题的关键． 3．规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点P，连接，请证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据，，即可证明； （2）延长至E，使，先证，推出，，进而推出，再证，即可推出，由此可证． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形． （2）证明：延长至E，使， P为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 【一览众山小】 1．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 2．在中，，中线，则边的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至点E，使，证明，推出，利用三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至点E，使． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中， ，即． 故选：C． 3．在中，，点D是上，点E在上，，，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：过点作，连接，先证明，得到，求出的长，再证明，得到，进而求出的长即可． 【详解】解：过点作，连接，则： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 4．如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键. 【详解】假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则，， ∴， ∴； 若， 则 ，， ∴， ∴， 当时，即点在上， 若， 则，， ∴ ∴， 若， 则，， ∴， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述, 点的运动速度为：或或， 故选：． 5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CGAB，交HM的延长线于点G，若AC＝5，AB＝4，则四边形ACGH周长的最小值是（   ） A．18 B．9 C．13 D．14 【答案】D 【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH=CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，根据平行线间的距离即可求解． 【详解】解：∵CGAB， ∴∠B=∠MCG， ∵M是BC的中点， ∴BM=CM， 在△BMH和△CMG中， ， ∴△BMH≌△CMG（ASA）， ∴HM=GM，BH=CG， ∵AB=4，AC=5， ∴四边形ACGH的周长=AC+CG+AH+GH=AB+AC+GH=9+GH， ∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值， ∵∠A=，MH⊥AB， ∴GHAC， ∴GH=AC=5， ∴四边形ACGH的周长最小值为9+5=14， 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线间的距离相等，确定GH的值是解题的关键． 6．如图所示，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形外角的性质；用可判定，由三角形全等的性质得，由三角形外角的性质得，结合邻补角即可求解；掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：在和中 ， （）， ， ∵， ； ∴， 故答案：． 7．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，求边上的中线的取值范围 第一小组得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把，，转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________； 【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________； ①；②；③；④ 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，求的面积．    【答案】（1）；（2）②③；（3） 【分析】（1）延长到，使得，证明得出，结合三角形三边关系即可得出答案； （2）延长至，使，连接，证明，得出，，再证明，得出，，即可得出答案； （3）延长至，使，连接，，得出，，，证明，得出，，，从而得出，求出，再根据计算即可得出答案． 【详解】（1）解：延长到，使得，    ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，延长至，使，连接，      ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴正确选项的序号是②③， 故答案为：②③； （3）如图，延长至，使，连接，      ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 8．（1）【问题提出】如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）【变式探究】如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H．经测量，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，证明，即可得到结论． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得 ． 在和中， ∴， ∴ ． 9．【新知情境】如图1，在中，，点分别在上．若边上存在一点，满足，则称点是的“一线三等角点”．    【理解新知】 （1）如图2，在中，，是边上的高，是中边上的高．求证：点是的“一线三等角点”； （2）如图1，在“新知情境”的条件和结论下，求证：； 【操作探究】 （3）如图3，在中，，点分别在上．点在内，且．    ①由于点不在上，所以点不是的一个“一线三等角点”．小明想沿着方向，将平移到上，使得点的对应点为点，平移后的的边与的交点为点．请用无刻度的直尺和圆规作出；（不写作法，保留清晰的作图痕迹，标明字母） ②如图4，若，与的角平分线所在直线交于点．直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；② 【分析】（1）根据高线的定义可得，，证明即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理和平角的概念可得，，等量代换可得结论； （3）①延长交于，然后作等于，与的交点为即可；②如图④，连接并延长至F，根据三角形外角的性质求出，再根据对顶角相等和角平分线的定义证明，，进而求出，然后根据四边形的内角和定理列式整理即可． 【详解】解：（1）∵是边上的高，是中边上的高， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点是的“一线三等角点” （2）∵在中，， 又∵，， ∴； （3）①如图所示：    ②如图④，连接并延长至F，      ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵与的角平分线分别是，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形高线的定义，三角形内角和定理，尺规作一个角等于已知角，角平分线的定义，三角形外角的性质，四边形的内角和定理等知识，正确理解新定义，准确识别各角之间的关系是解题的关键． 10．在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边（非公共边）所对的相等的角称为“黄金角”．    (1)如图，，则与______“共边黄金三角形”．（填“是”或“不是”） (2)如图，与是“共边黄金三角形”，，则与的“黄金角”的度数为______． (3)如图，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 【答案】(1)是 (2) (3)理由见解析 【分析】本题考查了新定义、全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据共边黄金三角形的定义找到公共边，，即可得出． （2）根据共边黄金三角形的定义得出，再结合，则，即可作答． （3）先由角的平分线的定义得出，然后证明，得，再运用共边黄金三角形的定义，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵与具有公共边， 又，且， 与是共边黄金三角形， ∴故答案为：是． （2）解：∵与是“共边黄金三角形”， ， ∴， ∵， ∴； 则与的“黄金角”的度数为． （3）解：∵平分， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵则与是共边黄金三角形， ∴， ∴． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等中的最值 【解惑】如图，在 中，，，，，平分 ，交 于点，，是 ，上的动点，则 的最小值为（   ）    A． B．3 C．4 D． 【融会贯通】 1．如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（　　）    A．6 B．7 C．7.5 D．8.3 2．如图，已知点B是边上的动点（不与A、C重合），在的同侧作等边和等边，连接交于点H，交于G，交于F，连接，则当最小时， ． 3．如图，一个等腰直角三角形零件放置在一凹槽内，顶点A．B．C分别落在凹槽内壁上，测得AD＝5cm，BE＝9cm，则该零件的面积为            　　　　 类型二、全等中的“手拉手” 【解惑】如图，中，，，是的角平分线， ，则的最大值为（    ） A．30 B．10 C．20 D．40 【融会贯通】 1．如图，在中，，直线l经过边的中点D，与交于点M，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足为E、F，则的最大值为（    ）      A． B． C． D． 2．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 3．等腰三角形中，，点D为底边上一点，作，使，连接，请解答下列问题． 【问题发现】（1）如图1，若，通过证明，可得出与的数量关系是_______；与的数量关系是_______． 【类比探究】（2）如图2，若，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若点A到的距离为2，请直接写出点A到直线的距离． 类型三、全等中的一线三等角 【解惑】如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（　　） A． B． C． D． 2．如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ． 3．如图1，已知AB＝AC，AB⊥AC．直线m经过点A，过点B作BD⊥m于D， CE⊥m于E．我们把这种常见图形称为“K”字图． （1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE＝BD＋CE，现请你替悟空同学完成证明过程． （2）悟空同学进一步对类似图形进行探究，在图2中，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则结论DE＝BD＋CE，还成立吗？如果成立，请证明之． 类型四、全等中的倍长中线法 【解惑】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 2．如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 3．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，， 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接E是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是______． 类型五、全等中的截长补短法 【解惑】如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【融会贯通】 1．已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线．    (1)求的度数； (2)若，，求的长． 2．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 3．（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明ABE≌ADG，再证明AEF≌AGF，可得出结论，他的结论应是　 　； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，且满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．    类型六、全等中的动点(二) 【解惑】【基础巩固】如图1，已知垂足分别为点A，B．若， ，探究与的关系，并说明理由． 【尝试应用】如图2，垂足分别为点A，B，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上以同样的速度运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当时，判断此时线段和线段的关系，并说明理由． 【拓展提高】如图3，在【尝试应用】的基础上，把“”改为“”，若点Q的运动速度为，其它条件不变，当点P，Q运动到何处时有与全等，求出相应的x的值． 【融会贯通】 1．如图，在中，为高线，．点为上一点，，连接，交于点，若．    (1)猜想线段与的位置关系，并证明； (2)若动点从点出发沿射线以每秒6个单位长度的速度运动，运动的时间为秒． ①当点在线段上时，是否存在的值，使得的面积为27？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； ②动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．设运动时间为秒，点是直线上一点，且，当与全等时，请直接写出的值． 2．如图，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒6个单位长度的速度向终点A运动，，两点同时出发．分别过，两点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)当，两点相遇时，求的值； (2)在整个运动过程中，求，的长；（用含的代数式表示） (3)当与全等时，求的值． 3．如图，在四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动．设运动时间为． (1)如图①，连接、．当时，求t的值； (2)如图②，当点P开始运动时，点Q同时从点C出发，以的速度沿向点B匀速运动．当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求a和t的值； (3)如图③，点Q从点C出发，以的速度沿向点B匀速运动，点M同时从点D出发以的速度沿DA向点A运动，当Q、M两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连接，交于点E．连接，当时，，请求出此时a的值． 类型七、全等中的半角模型 【解惑】【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【融会贯通】 1．【尝试探究】如图1，已知在正方形中（四边相等，四个内角均为90°），点、分别在边、上运动，当时，探究、和的数量关系，并加以说明； 【模型建立】如图2，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图3，已知是边长为8的等边三角形（三边相等，三个内角均为60°），，，，以为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，直接写出的周长．    2．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系． (1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论． (2)如图（2），四边形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋FD，并说明理由． (3)如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F．且AE⊥AD，米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长． 3．阅读材料，解决问题： 折叠、旋转是我们常见的两种图形变换方式．如图1，在 中，，，点，在边上，，若，，求的长． 小艳发现，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接（如图．使条件集中在中，可求得（即的长，具体作法为：作，且，连接、，可证，再结合已知中，可证，得，接着在 中利用勾股定理即可求得的长，即的长． (1)请你回答：与全等的条件是_____（填“”、“”、“”、“”或“”中的一个），的长为________； (2)如图3，正方形中，点为延长线上一点，将沿翻折至位置，延长交直线于点． ①求证：； ②连接交于点，连接（如图，请你直接写出的值． 类型八、全等中的无刻度尺作图 【解惑】如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求作图．    (1)在图1中，画出所有与全等（不包含）的； (2)在图2中，过顶点A画一条直线平分的面积（不写作法，保留作图痕迹）． 【融会贯通】 1．如图，已知且点在同一直线上，请你仅用无刻度的真尺按以下要求作图． 在图1中，作出一个与相等的角(除外)． 若，在图2中，作出的边上的高． 2．如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图． （1）在图1中，作AD的中点P； （2）在图2中，作AB的中点Q． 3．如图，在一个的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中的就是一个格点三角形．请用无刻度直尺在网格中作图（保留作图痕迹）； (1)①作边上的高； ②在边上找一点，连，使和的面积相等； ③作格点（点不与点重合），使和的面积相等； (2)图中与全等的格点三角形（不包括），可作出__________个（只填结果，不作图）． 类型九、全等中的新定义 【解惑】定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形中，若，且，则称四边形为等角四边形，记作等角四边形． 【初步认识】 （1）如图，四边形是等角四边形，，，则_____； 【继续探索】 （2）如图，四边形是等角四边形，平分，平分，求证：； （1）如图，已知，点分别在边上．在的内部求作一点，使四边形是等角四边形，且． （要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 【融会贯通】 1．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 2．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； (2)如图，在中，点、分别在、上，与相交于点，若． ①请你写出图中一个与相等的角； ②证明四边形是等对边四边形． 3．定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”.如图1在中，若，则是“和谐三角形”.    （1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是______命题（填“真”或“假”）. （2）若中，，，，，且，若是“和谐三角形”，求. （3）如图2，在等边三角形的边，上各取一点，，且，，相交于点，是的高，若是“和谐三角形”，且.    ①求证：. ②连结，若，那么线段，，能否组成一个“和谐三角形”？若能，请给出证明：若不能，请说明理由. 类型十、婆罗摩笈多 【解惑】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【融会贯通】 1．【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使．连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图2，若，，试求出的中线的长的取值范围． 【理解与感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，与均为等腰直角三角形，．试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    2．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 在中，，，边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是____． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    3．规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点P，连接，请证明． 【一览众山小】 1．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，中线，则边的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 3．在中，，点D是上，点E在上，，，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D．3 4．如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CGAB，交HM的延长线于点G，若AC＝5，AB＝4，则四边形ACGH周长的最小值是（   ） A．18 B．9 C．13 D．14 6．如图所示，，则 ． 7．【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，求边上的中线的取值范围 第一小组得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把，，转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________； 【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________； ①；②；③；④ 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，求的面积．    8．（1）【问题提出】如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）【变式探究】如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H．经测量，，请直接写出的长． 9．【新知情境】如图1，在中，，点分别在上．若边上存在一点，满足，则称点是的“一线三等角点”．    【理解新知】 （1）如图2，在中，，是边上的高，是中边上的高．求证：点是的“一线三等角点”； （2）如图1，在“新知情境”的条件和结论下，求证：； 【操作探究】 （3）如图3，在中，，点分别在上．点在内，且．    ①由于点不在上，所以点不是的一个“一线三等角点”．小明想沿着方向，将平移到上，使得点的对应点为点，平移后的的边与的交点为点．请用无刻度的直尺和圆规作出；（不写作法，保留清晰的作图痕迹，标明字母） ②如图4，若，与的角平分线所在直线交于点．直接写出与之间的数量关系． 10．在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边（非公共边）所对的相等的角称为“黄金角”．    (1)如图，，则与______“共边黄金三角形”．（填“是”或“不是”） (2)如图，与是“共边黄金三角形”，，则与的“黄金角”的度数为______． (3)如图，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$