精品解析：河南省许昌市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ） A. 四个角都相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 4. 将一次函数向上平移2个单位长度得到的新函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的中位线；若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在体育课上，甲，乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 7. 如图，风筝牵引绳的长度所在范围是（ ） A. 至 B. 至 C. 至 D. 至 8. 用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为8，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 9. 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. 当没有粮食放置时，的阻值为 B. 粮食水分含量为时，的阻值为 C. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 D. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 10. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 请写出一个经过第一、三、四象限的一次函数的解析式______． 13. 如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则______． 14. 2024年4月23日是第29个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算．小芳这四项的得分依次为90，95，85，90，则她的最后得分是______分． 15. 如图，四边形是正方形，顶点在直线：上．将正方形沿轴正方向平移个单位长度，若正方形的在轴上方的其他顶点恰好落在直线上，则的值为______． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. “月背探秘，嫦娥归来”，嫦娥六号探测器于2024年6月4日完成世界首次月球背面采样和起飞．为庆祝这一壮举，某校举办了“航空航天知识”竞赛，满分0分，学生得分均为整十数，成绩达到分及以上的记为“合格”，达到分及以上的记为“优秀”．决赛中七、八年级各有名学生参加；具体得分情况如下所示． 【数据收集】 七年级：，，，，，，，，，； 八年级成绩条形统计图如下： 【数据整理、分析】 组别 平均数 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中， ， ， ． （2）小明对小刚说：“虽然这次比赛我俩都得了70分，但我在我们年级中的排名比你在你们年级的排名靠前．”观察上表可知，小明是 年级学生（填“七”或“八”）． （3）结合以上信息，你认为哪个年级成绩较好？请你给出两条支持自己观点的理由． 18. 观察下列等式： ①；②；③ （1）类比上述等式，写出第④个等式： （2）观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 19. 已知：如图，在矩形中，． （1）用直尺和圆规，在上取一点，使得；作的平分线，交的延长线于点，连接（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）．那么四边形是菱形，请给出证明． （2）连接，若，且菱形的周长为40，求矩形的面积． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． （1）求和的值． （2）若点在直线上，连接，求的面积． （3）结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 21. 为加强劳动教育，落实五育并举，某校准备在校内建立劳动实践基地，现计划购进甲、乙两种规格的果蔬栽培架共100个，已知甲种栽培架的单价为35元，乙种栽培架的单价为45元． （1）设购买这批栽培架所需费用为元，甲种栽培架购买个，求与之间的函数关系式． （2）若购进乙种栽培架的数量不少于甲种栽培架的，请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？ 22. 【课本呈现】下图是人教版八年级下册数学课本53页部分内容： 思考 如图18．2-3，矩形的对角线，相交于点．我们观察，在中是斜边上的中线，与有什么关系？ 根据矩形的性质，我们得到结论：． （1）由此我们得到直角三角形的一个性质，请用文字语言阐述为： 【结论再探】 （2）数学兴趣小组的小亮在证明该结论时，有不同的证明思路．以下是他不完整的证明过程，请补充完整． 已知：如图1，中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长到点，使，连接． 又为的中点， （依据是 ）． ， 垂直平分． ． ． 【结论应用】 （3）如图2，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，其到四边形四个顶点的距离均为，求的值． 附加题（每小题10分，共20分） 23. 如图1，A，B，C三地在同一条公路上，地在A，C两地之间．甲同学从地出发跑向地，同时乙同学从地出发跑向地，到达地时恰好与甲同学相遇，乙停留后，按原路原速返回地．两人匀速行进，甲比乙晚到达地．两人距地的路程与时间之间的函数关系如图2所示． 请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出点坐标 （2）求乙同学从地返回地的过程中，与之间的函数关系式． （3）经过多少秒、甲、乙两同学相距？（直接写出答案即可） 24. 【例题探索】如图1，在正方形中，点为上的任意一点，于点，，交于．由三角形全等，易证：，，之间的数量关系为 ； 【类比探究】如图2．在正方形中，点为延长线上的任意一点，交延长线于点，交于点．试探索，，之间的数量关系，并给出证明． 【问题解决】在正方形中，点为延长线上的一点，于点，连接． （1）请在备用图中按要求完成画图． （2）若，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式； 中被开方数是负数，此式无意义，不是二次根式； 是二次根式． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 关于矩形的性质，以下说法不正确的是（ ） A. 四个角都相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：矩形是轴对称图形，四个角都是直角，对角线相等，故A，B，D都对，不符合题意， 矩形不一定具有对角线互相垂直这个性质，故C错误，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 4. 将一次函数向上平移2个单位长度得到的新函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据直线向上平移个单位所得直线解析式为求解． 【详解】解：一次函数向上平移2个单位长度得到的新函数关系式为， 故选B． 5. 如图，是的中位线；若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，先推导可知，从而得解．掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】∵是的中位线， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 6. 在体育课上，甲，乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。 【详解】由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差． 故选D． 7. 如图，风筝牵引绳的长度所在范围是（ ） A. 至 B. 至 C. 至 D. 至 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由图可知：，，， ， 在中， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形判定及性质，解题的关键是利用勾股定理求出． 8. 用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为8，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质和等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 则正方形的边长为8， 故选：C． 9. 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. 当没有粮食放置时，的阻值为 B. 粮食水分含量为时，的阻值为 C. 的阻值随着粮食水分含量的增大而减小 D. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据图象对每一个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意； B、由函数图象可知，当粮食水分含量为时，的阻值小于，故本选项符合题意； C、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意； D、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意． 故选：B． 10. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形． 【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c， 由勾股定理，得， A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：； B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：； C、∵3+4≠5，则不符合题意； D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：； ∵， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 请写出一个经过第一、三、四象限的一次函数的解析式______． 【答案】（答案不唯一，，） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式．熟练掌握当时一次函数经过第一、三、四象限． 根据当时一次函数经过第一、三、四象限求解作答即可． 【详解】解：∵一次函数经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等求出的度数，再根据平角等于，列式计算即可得解． 【详解】解：∵平行四边形中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 14. 2024年4月23日是第29个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占、“语言表达”占、“形象风度”占、“整体效果”占进行计算．小芳这四项的得分依次为90，95，85，90，则她的最后得分是______分． 【答案】91 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数的应用，用四项的得分乘以其对应的权重并求和即可得到答案． 【详解】解：分， ∴她的最后得分是91分， 故答案为：91． 15. 如图，四边形是正方形，顶点在直线：上．将正方形沿轴正方向平移个单位长度，若正方形的在轴上方的其他顶点恰好落在直线上，则的值为______． 【答案】1或4 【解析】 【分析】过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点D作于点F，通过证明，，得出点C和点B的坐标，再求出直线的解析式为，设点C平移后的点为，点B平移后的点为，根据平移的性质可知，点C和点纵坐标相等，点B和点纵坐标相等，求出点和的坐标，即可解答． 【详解】解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点D作于点F， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点C平移后的点为，点B平移后的点为， ①当在l上时，， 解得：， ∴， ∴， ②当在l上时，， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数，全等三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，掌握正方形的性质，平移的性质，以及用待定系数法求解一次函数解析式的方法和步骤． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. “月背探秘，嫦娥归来”，嫦娥六号探测器于2024年6月4日完成世界首次月球背面采样和起飞．为庆祝这一壮举，某校举办了“航空航天知识”竞赛，满分0分，学生得分均为整十数，成绩达到分及以上的记为“合格”，达到分及以上的记为“优秀”．决赛中七、八年级各有名学生参加；具体得分情况如下所示． 【数据收集】 七年级：，，，，，，，，，； 八年级成绩条形统计图如下： 【数据整理、分析】 组别 平均数 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中， ， ， ． （2）小明对小刚说：“虽然这次比赛我俩都得了70分，但我在我们年级中的排名比你在你们年级的排名靠前．”观察上表可知，小明是 年级学生（填“七”或“八”）． （3）结合以上信息，你认为哪个年级成绩较好？请你给出两条支持自己观点的理由． 【答案】（1），， （2）七 （3） 八年级成绩较好，理由如下， 两个年级的平均分相等，八年级成绩的中位数、众数大于七年级成绩的中位数、众数， ∴八年级成绩较好． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，中位数、平均数、众数的定义； （1）根据中位数的定义求出，根据八年级成绩条形统计图得出，根据七年级成绩达到分及以上的人数与总人数，求得，即可求解． （2）根据七年级、八年级的中位数，再结合小明同学的成绩即可得出答案； （3）从中位数和众数两个方面解答即可．，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有10名同学，中位数是第5、6个数的平均数， ∴中位数 根据八年级成绩条形统计图可得，众数， 七年级的优秀率 故答案为：，，． 【小问2详解】 ∵七年级的中位数是，八年级的中位数是， ∴小明是七年级的学生； 故答案为：七； 【小问3详解】 略 18. 观察下列等式： ①；②；③ （1）类比上述等式，写出第④个等式： （2）观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明． 【答案】（1） （2）， 证明：左式， 右式， 左式右式，等式成立． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，第④个等式为； （2）由题意知，第个等式为，证明左式右式即可． 【小问1详解】 解：由题意知，第④个等式为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 19. 已知：如图，在矩形中，． （1）用直尺和圆规，在上取一点，使得；作的平分线，交的延长线于点，连接（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）．那么四边形是菱形，请给出证明． （2）连接，若，且菱形的周长为40，求矩形的面积． 【答案】（1） 作图如下； 截出， 作出平分线， 证明：平分， ， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． （2）矩形面积 【解析】 【分析】（1）根据题意结合尺规作相等线段和角平分线的方法作图即可；根据矩形的性质和平行线的性质得出， 结合角平分线的定义可得， 则， 然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论． （2）根据菱形周长为40，得出，即可得，作，根据等边三角形的性质得出，勾股定理得出，即可求出矩形面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 菱形周长为40， ， ， ， 如图，作， 则， ， 矩形面积． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． （1）求和的值． （2）若点在直线上，连接，求的面积． （3）结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的交点问题，求一次函数解析式，根据直线的交点求出不等式的解集，解题的关键是数形结合，求出两条直线的交点坐标． （1）把代入解析式，求出m的值，把点A的坐标求出k的值即可； （2）先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可； （3）先求出直线与直线的交点坐标为，然后根据函数图象求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：将代入，得：， ， 将代入，得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 直线的解析式为：， 当时，，则， 当时，，则直线与轴交点为， 【小问3详解】 解：联立， 解得：， ∴直线与直线的交点坐标为， 根据函数图象可知，当时，直线在直线的下方，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为：． 21. 为加强劳动教育，落实五育并举，某校准备在校内建立劳动实践基地，现计划购进甲、乙两种规格的果蔬栽培架共100个，已知甲种栽培架的单价为35元，乙种栽培架的单价为45元． （1）设购买这批栽培架所需费用为元，甲种栽培架购买个，求与之间的函数关系式． （2）若购进乙种栽培架的数量不少于甲种栽培架的，请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1） （2）购买甲60个，乙40个，最少费用为3900元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据所需费用等于两种栽培架的总价的和，列出函数解析式，即可求解； （2）根据题意，先求出a的取值范围，再结合一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 由（1）得：随的增大而减小， 当时，最小，最小值为（元） ∴方案为：购买甲60个，乙40个，最少费用为3900元． 22. 【课本呈现】下图是人教版八年级下册数学课本53页部分内容： 思考 如图18．2-3，矩形的对角线，相交于点．我们观察，在中是斜边上的中线，与有什么关系？ 根据矩形的性质，我们得到结论：． （1）由此我们得到直角三角形的一个性质，请用文字语言阐述为： 【结论再探】 （2）数学兴趣小组的小亮在证明该结论时，有不同的证明思路．以下是他不完整的证明过程，请补充完整． 已知：如图1，中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长到点，使，连接． 又为的中点， （依据是 ）． ， 垂直平分． ． ． 【结论应用】 （3）如图2，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，其到四边形四个顶点的距离均为，求的值． 【答案】（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）；三角形的中位线定理；（3） 【解析】 【分析】（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； （2）延长到点，使，连接．根据三角形中位线性质得到，根据线段垂直平分线性质得到，故得； （3）连接，，，，根据，点，其到四边形四个顶点的距离均为，知点P是的中点，设，则，由勾股定理可得，，得到，解得：，得到，故得． 【详解】（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； 故答案为：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； （2）证明：延长到点，使，连接． 又为的中点， （依据是三角形的中位线定理）． ， 垂直平分． ． ． 故答案为：；三角形的中位线定理；； （3）连接，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点A、P、C三点共线， 设，则， ∴由勾股定理可得：,， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 附加题（每小题10分，共20分） 23. 如图1，A，B，C三地在同一条公路上，地在A，C两地之间．甲同学从地出发跑向地，同时乙同学从地出发跑向地，到达地时恰好与甲同学相遇，乙停留后，按原路原速返回地．两人匀速行进，甲比乙晚到达地．两人距地的路程与时间之间的函数关系如图2所示． 请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出点坐标 （2）求乙同学从地返回地的过程中，与之间的函数关系式． （3）经过多少秒、甲、乙两同学相距？（直接写出答案即可） 【答案】（1） （2） （3）112，140，220，280 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象总获取有用的信息． （1）求出乙同学从C地到B地所用时间，即可求解； （2）求出再利用待定系数法解答，即可求解． （3）分四种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵甲同学比乙同学晚到达C地， ∴乙同学到C地时间为， 即， ∵乙同学从C地出发跑向B地，到达B地时恰与甲同学相遇，乙停留， ∴乙同学从C地到B地所用时间为，即M的横坐标为120， 由图可知，甲同学速度为， ∵ ∴点M的坐标为； 【小问2详解】 解：∵乙同学从C地出发跑向B地，到达B地时恰与甲同学相遇，乙停留，点M的坐标为 ， ∴， 设乙同学从B地返回C地的过程中，y与x之间的函数关系式为， 把，代入得： ，解得：， ∴乙同学从B地返回C地的过程中，y与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：乙的速度为， 若两人相遇前距，； 两人相遇后，乙停留，此时甲走， 此时，甲、乙两同学相距； 乙同学从B地返回C地时，乙同学离C地比甲同学少 ∴，解得； 乙同学到达C地后，，解得； 综上所述，经过112或140或220或280秒，甲、乙两同学相距． 24. 【例题探索】如图1，在正方形中，点为上的任意一点，于点，，交于．由三角形全等，易证：，，之间的数量关系为 ； 【类比探究】如图2．在正方形中，点为延长线上的任意一点，交延长线于点，交于点．试探索，，之间的数量关系，并给出证明． 【问题解决】在正方形中，点为延长线上的一点，于点，连接． （1）请在备用图中按要求完成画图． （2）若，直接写出的面积． 【答案】[例题探索]； [类比探究]，证明如下： ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即； [问题解决]（1）按要求作图如图1； （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． [例题探索]解证明，则，，即； [类比探究]证明，则，，即； [问题解决]（1）按要求作图即可； （2）如图2，作于，同理（1）可得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】[例题探索]解：； ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：； [类比探究]略 [问题解决]（1）略 （2）解：如图2，作于， 图2 同理（1）可得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $