精品解析：河南省安阳市文峰区第八中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年第二学期期末学业质量监测试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在本试卷上的答案无效． 一、单选题(每题3分，共30分) 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. “二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系．下图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，给出下列结论：①从立春到大寒，白昼时长先增大再减小；②夏至时白昼时长最大；③春分和秋分，昼夜时长大致相等，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ② D. ③ 3. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四名同学参加科技知识竞赛，他们平时测验成绩的平均分相同，方差分别是，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A. ，， B. C. D. 8. 如图，直线（，是常数，且）与直线相交于点，且点的纵坐标为1，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 9. 下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（　　） A. B. C. 5 D. 7 二、填空题(每题3分，共15分) 11. 已知函数有意义，则自变量x的取值范围是______． 12. 如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若 ， 则菱形的周长为______． 13. 如图，已知钓鱼杆长为5米，露在水面上的鱼线长为3米，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为4米，则的长为______米． 14. 正方形，正方形，正方形，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中．若点，，，…和，，，…，分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是______． 15. 如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为________． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. 计算： （1）； （2）． 17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．某初中为了调查学校学生（总数1000人）双休日课外阅读情况，随机调查了一部分学生，调查得到的数据分别制成频数直方图（如图1）和扇形统计图（如图2）． （1）请补全上述统计图（直接填在图中）； （2）试确定这个样本的中位数和众数； （3）请估计该学校 1000 名学生双休日课外阅读时间不少于 4 小时的人数． 18. 如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交的延长线于点，连接，．求证：四边形是菱形． 19. 如图，直线的函数表达式为，且分别交轴、轴于点，；直线的函数表达式为，经过点，分别交轴、直线于点，，且点坐标为． （1）则_____，______； （2）直接写出不等式解集； （3）点是轴上一动点，是否存在点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 如图，正方形中，点在边上．过点作，交的延长线于点，作的平分线，交边于点． （1）根据题意，补全图形（画图工具不限）； （2）求证：； （3）若，，求的长． 21. 某社区准备新建50个停车位，以解决社区内停车难的问题．已知信息如下表： 新建地上停车位（个） 新建地下停车位（个） 共需资金（万元） 1 1 0.5 3 2 1.1 （1）该社区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？ （2）若该社区以预计投资金额不超过11万元且地上停车位不超过33个，求共有几种建造方案？ （3）已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元．在（2）的条件下，新建停车位全部租出，求月租金收入最高是哪种方案？ 22. 探究函数的图象与性质.请将探究过程补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是______； （2）下表是与几组对应值： … 0 1 2 3 … … 4 3 2 0 1 2 4 … ______，______； （3）在如图网格中，建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）函数的图象可以看作是由函数的图象向______（填“左”或“右”）平移______个单位长度，再向______（填“上”或“下”）平移个______单位长度而得到； （5）以下关于函数的结论，正确的是______.（只填序号） ①函数有最小值为0； ②当时，随的增大而减小； ③图象关于过点且垂直于轴的直线对称． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的顶点 A，C分别在x轴、y轴上，已知B点坐标为，且 a，b满足，将矩形沿着折叠，点O的对应点E恰好落在边上． （1）直接写出点B的坐标和的长：B（____，____），_________； （2）①求四边形面积； ②若点M沿线段从E向A以每秒1个单位长度的速度运动至A，设运动时间为 t秒，当为等腰三角形时，t的值是________ ； ③直线与平行，当它与矩形有公共点时，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第二学期期末学业质量监测试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在本试卷上的答案无效． 一、单选题(每题3分，共30分) 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可． 【详解】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. “二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系．下图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，给出下列结论：①从立春到大寒，白昼时长先增大再减小；②夏至时白昼时长最大；③春分和秋分，昼夜时长大致相等，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ② D. ③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息．根据函数图像逐一分析判断即可． 【详解】解：由图可知， ①从立春到大寒，白昼时长先增大再减小再增大；②夏至时白昼时长最大；③春分和秋分，昼夜时长大致相等， 即可得②③正确， 故选：B． 3. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【详解】、由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 故选：． 4. 甲、乙、丙、丁四名同学参加科技知识竞赛，他们平时测验成绩的平均分相同，方差分别是，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据方差判断稳定性．根据方差越小，成绩越稳定，由此可解． 【详解】解：∵， ∴， ∴成绩最稳定的同学是丙， 故选：． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式运算，根据二次根式的性质及运算法则分别运算即可判断求解，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项正确，符合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 故选：． 6. 如图，在平行四边形中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，由四边形是平行四边形，得，，从而有，根据等边对等角得，最后由平行线的性质和三角形外角的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和三角形内角和定理，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键， A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可， B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状， C、根据三角形的内角和为度，即可计算出的值， D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状． 【详解】A、当，，， ，故是直角三角形； B、当时，设，，， 则，故是直角三角形， C、当时， ∵， ∴，则，故是直角三角形， D、当时， ∵， 则最大角为，故不是直角三角形， 故选：D． 8. 如图，直线（，是常数，且）与直线相交于点，且点的纵坐标为1，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，把代入得点的坐标为，再将方程组变形为，得出方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，即可得解． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴点的坐标为， ∴关于的二元一次方程组即的解是， 故选：C． 9. 下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象不可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以得到的正负和、的正负，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】A、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项A不可能，符合题意； B、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项B可能，不符合题意； C、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项C可能，不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项D可能，不符合题意； 故选：A． 10. 如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（　　） A. B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． ∴要求的最小值就是要求的最小值． ∵点P从B点沿着往D点移动， ∴当时，取最小值． 在中， ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴的长度最小为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用． 二、填空题(每题3分，共15分) 11. 已知函数有意义，则自变量x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知以上知识点是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解答即可． 【详解】函数有意义， ， 解得：， 故答案为： ． 12. 如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若 ， 则菱形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 首先根据菱形的性质可得，结合为边的中点，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵为边的中点，， ∴在中，， ∴菱形的周长． 故答案为：． 13. 如图，已知钓鱼杆的长为5米，露在水面上的鱼线长为3米，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为4米，则的长为______米． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理分别求出和，再根据即可得出答案，根据勾股定理求出和是解题的关键． 【详解】在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 正方形，正方形，正方形，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中．若点，，，…和，，，…，分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，根据直线解析式先求出，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为，得出规律，即可求出第n个正方形的边长，从而求得点的坐标，即可求得点的纵坐标． 【详解】解：∵直线，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得：，…， ∴； ，即， ∴， 点的坐标为， ∴点的纵坐标为 故答案为：． 15. 如图，等腰中，底边，点为的中点．将线段绕点旋转得对应线段，连接．旋转过程中，当时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作，根据题意得出，分类讨论，当在内部时，根据三角形中位线性质，即可得出，当在之外，由含度角的直角三角形的性质，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ∵等腰中， ∴，则， ∴， ∴ ， 点为的中点， ． 当时，分类讨论如下： 当在内部时，如图，点与边中点重合， 由中位线定理可知，此时； 当在之外，如图2， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， 又， ，在中，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，分类讨论，分别画出图形是解题的关键． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行乘除运算，最后分母有理化； （2）利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．某初中为了调查学校学生（总数1000人）双休日课外阅读情况，随机调查了一部分学生，调查得到数据分别制成频数直方图（如图1）和扇形统计图（如图2）． （1）请补全上述统计图（直接填在图中）； （2）试确定这个样本的中位数和众数； （3）请估计该学校 1000 名学生双休日课外阅读时间不少于 4 小时的人数． 【答案】（1）见解析 （2）中位数是3小时，众数是4小时 （3）400人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，求中位数和众数，样本估计总体，正确理解条形统计图与扇形统计图的信息关联是解题的关键． （1）根据条形统计图与扇形统计图的信息关联，可计算总人数及课外阅读3小时的人数，即可补全条形统计图； （2）根据中位数和众数的定义，即可求得答案； （3）用样本中双休日课外阅读时间不少于 4 小时的人数所占的百分比去估计总体，即得答案． 【小问1详解】 解：总人数：(人)， 阅读3小时以上人数：(人)， 阅读0小时以上人数的百分比为, 阅读4小时以上人数的百分比为； 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：将50个数据从小到大排列，第25和26个数据均为3，故中位数是小时； 因为阅读4小时的人数最多，所以众数是4小时； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该学校1000名学生双休日课外阅读时间不少于4小时的人数为400人． 18. 如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交的延长线于点，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定条件是解题关键．首先证明四边形是平行四边形，再结合三角形中位线的性质证明，进一步证明，然后根据“对角线相互垂直的平行四边形为菱形”，即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵、分别是、的中点，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是菱形． 19. 如图，直线的函数表达式为，且分别交轴、轴于点，；直线的函数表达式为，经过点，分别交轴、直线于点，，且点坐标为． （1）则_____，______； （2）直接写出不等式的解集； （3）点是轴上一动点，是否存在点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据图象即可求解； （）作点关于轴对称点，连接，交轴于点，此时周长最小，求出点，然后再用待定系数法求出直线解析式为即可； 本题考查一次函数的图象及性质，轴对称最短路径问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得：， 解得：， 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵， ∴由函数图象可得不等式的解集为：； 【小问3详解】 存在，理由， 如图，作点关于轴对称点，连接，交轴于点，此时周长最小， ∵， ∴， 由（）得直线的函数表达式为， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点． 20. 如图，正方形中，点在边上．过点作，交的延长线于点，作的平分线，交边于点． （1）根据题意，补全图形（画图工具不限）； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）证明，可得结论； （3）根据勾股定理得到，由（2）得，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图即为所求作的图形： ； 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：中，，， ， 由（2）得， 平分， ， ∵， ， ， ， 由（2）得：， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，垂直的意义，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的意义，解本题的关键是构造全等三角形． 21. 某社区准备新建50个停车位，以解决社区内停车难的问题．已知信息如下表： 新建地上停车位（个） 新建地下停车位（个） 共需资金（万元） 1 1 0.5 3 2 1.1 （1）该社区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？ （2）若该社区以预计投资金额不超过11万元且地上停车位不超过33个，求共有几种建造方案？ （3）已知每个地上停车位月租金100元，每个地下停车位月租金300元．在（2）的条件下，新建停车位全部租出，求月租金收入最高是哪种方案？ 【答案】（1）新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元 （2）有4种建造方案 （3）建造地上停车位30个，地下停车位20个，租金收入最高 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质和二元一次方程组的应用等知识点， （1）设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，根据新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.1万元列出方程组，解方程组即可； （2）设新建m个地上停车位，根据投资金额超过10万元而不超过11万元列出不等式，解不等式得出m的取值范围，再根据m为正整数得出建造方案； （3）设月租金收入为w元，根据总租金＝两种停车位租金之和列出函数解析式，由函数的性质及m的取值求最大值即可； 关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． 【小问1详解】 设新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元， 由题意得：， 解得， 答：新建一个地上停车位需万元，新建一个地下停车位需万元； 【小问2详解】 设新建个地上停车位，则： ， 解得， ∵为整数，且地上停车位不超过33个 ∴①，， ②，， ③，， ④，， 答：有4种建造方案； 【小问3详解】 设月租金收入为元， 则， ， 随的增大而减小， ， 当时，有最大值，最大值为9000元， 答：建造地上停车位30个，地下停车位20个，租金收入最高． 22. 探究函数的图象与性质.请将探究过程补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是______； （2）下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … 4 3 2 0 1 2 4 … ______，______； （3）在如图网格中，建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （4）函数的图象可以看作是由函数的图象向______（填“左”或“右”）平移______个单位长度，再向______（填“上”或“下”）平移个______单位长度而得到； （5）以下关于函数的结论，正确的是______.（只填序号） ①函数有最小值为0； ②当时，随的增大而减小； ③图象关于过点且垂直于轴的直线对称． 【答案】（1）x为全体实数 （2）1，3 （3）见解析 （4）右，3；上，1 （5）①③ 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象： （1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围； （2）根据函数解析式可以得到m，n的值； （3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （4）根据平移的性质解答即可； （5）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【小问1详解】 解：在函数中，自变量x的取值范围是：x为全体实数， 故答案为：x为全体实数； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 故答案为：1；3； 【小问3详解】 解：画出函数的图象如图： ； 【小问4详解】 解：函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移3个单位长度，再向上平移个1单位长度而得到； 故答案为：右，3；上，1； 【小问5详解】 解：由函数图象可知， ①函数有最小值为0，正确； ②当时，y随x的增大而增大，故②错误； ③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称，正确； 故答案为：①③． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的顶点 A，C分别在x轴、y轴上，已知B点坐标为，且 a，b满足，将矩形沿着折叠，点O的对应点E恰好落在边上． （1）直接写出点B的坐标和的长：B（____，____），_________； （2）①求四边形的面积； ②若点M沿线段从E向A以每秒1个单位长度的速度运动至A，设运动时间为 t秒，当为等腰三角形时，t的值是________ ； ③直线与平行，当它与矩形有公共点时，求m的取值范围． 【答案】（1）5，3， （2）①；② 4或 ；③ 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求得a，b的值进而求得B点坐标，再通过勾股定理求出，从而求得的长度； （2）①由（1）知，利用勾股定理求出，由四边形的面积等于，即可求解；②三种情况：时是等腰三角形；时是等腰三角形；时是等腰三角形；③先求出的解析式，再通过平行求直线的k值，再通过点C、A坐标求出m取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得： 故B点坐标为： 中有：， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）知， 在中有： 由折叠的性质可得：，， ，即， ∴ ， 四边形的面积等于； ②如图，当时，是等腰三角形， 由（1）知：， ∴， 由翻折可知 ∴M在线段上，符合题意． ∴（秒）； 如图2，若M运动到的中点时， ∵， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴（秒） 如图，当时，点M在不在线段上， 此种情况不合题意，舍去． ∴或秒； ③设， 由①知， ∴ 又， 设解析式为．则， 解得， ∴ ∵与平行， ∴, 当过点时，， 当过点时， ∴当直线与平行，且与矩形有公共点时， ． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，一次函数k值和m值取值范围，掌握每个知识点才能正确解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$