精品解析：湖南省郴州市第三中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2024年上期郴州市三中期中考试八年级 数学 总分：120分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 栖霞市文明城市建设中，大力开展“垃圾分类”知识宣传活动，活动中推出下列图标（不包含文字），则其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，2，5 D. 3，4，5 3. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平行四边形ABCD中，∠A＝120°，则∠B度数为（　　） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 5. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，DE是△ABC的中位线，AC=4，则DE=（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（　　）． A 两组对边分别平行 B. 一组对边平行，另一组对边相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等 7. 如图，是等边三角形，边长为2，根据作图的痕迹，则的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 9. 如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是平行四边形，O是对角线与交点，，若，，则的长是（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分共24分） 11. 中，，，则________． 12. 如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长___________． 13. 若一个多边形内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 14. 在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是_____． 15. 在中，，，垂直平分，垂足为点，交边于点，，则的长为___________cm． 16. 如图，已知长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为__________cm． 17. 如图，直线l上有三个正方形，A，B，C，若A，C的面积分别为36和64，则B的面积为_____． 18. 如图，在中，，，，点在边上，以为对角线的平行四边形中，是对角线的交点，的最小值是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分） 19. 已知：在的边，上分别取一个点E，F，使得，，连结，．求证：四边形是平行四边形． 20. 已知在平面直角坐标系的位置如图所示． （1）请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法）； （2）请直接写出，，三点的坐标． 21. 已知四边形ABCD为菱形，周长为32cm， ∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O． （1）求AC， BD的长 （2）求菱形ABCD的面积 22. 如图，在一条东四走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米． （1）是否为村庄C到河边最近的道路，请通过计算加以说明； （2）已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路比原路少多少千米． 23. 如图，已知，点分别在上，，． （1）求证：； （2）求证：． 24. 在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求证：平分． 25. 如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 26. 已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为t s． （1）求CD的长； （2）t为何值时，△ACP等腰三角形？ （3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN 的值最小？如果有,请直接写出最小值，如果没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上期郴州市三中期中考试八年级 数学 总分：120分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 栖霞市文明城市建设中，大力开展“垃圾分类”知识宣传活动，活动中推出下列图标（不包含文字），则其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行分析即可． 【详解】解：A、C、D都不是中心对称图形，B是中心对称图形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，2，5 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，三角形三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A．因为，所以不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B．因为，所以不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C．因为，所以不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D．因为，所以能构成直角三角形，，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标的特征，根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变求解即可． 【详解】点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为， 故选：D． 4. 已知平行四边形ABCD中，∠A＝120°，则∠B度数为（　　） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的邻角互补直接可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°， ∴∠B＝180°﹣∠A＝60°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解本题的关键． 5. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，DE是△ABC的中位线，AC=4，则DE=（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质直接得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∵DE=AC， ∵AC=4， ∴DE=2， 故选D． 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 6. 不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（　　）． A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行，另一组对边相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，即可求解． 【详解】∵①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ∴ A、D、C均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形． 故选B． 7. 如图，是等边三角形，边长为2，根据作图的痕迹，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图痕迹可以得到是的角平分线，根据等边三角形的性质，得到是含的直角三角形，进行计算即可． 【详解】解：由作图痕迹可知： 是的角平分线， ∵等边三角形，边长为2， ∴，， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形性质，以及勾股定理．根据作图痕迹，得到是的角平分线，是解题的关键． 8. 顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．作出图形，菱形中，E、F、G、H分别是的中点，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断． 【详解】解：如图：菱形中，E、F、G、H分别是的中点， ，，，， 故四边形是平行四边形， 又， ，， ∴四边形是矩形． 故选：B． 9. 如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有，，，又因为H为BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴，， ∴△BOC是直角三角形 ∴ ∴BC=5 ∵H为BC中点 ∴ 故最后答案为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键． 10. 如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得的长，然后由，，，根据勾股定理可求得的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分共24分） 11. 中，，，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 12. 如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长___________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用角平分线性质得出，然后利用全等定理求证，即可求出的长． 【详解】平分 ， 为公共边 故答案为：6． 【点睛】此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 13. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 【答案】七 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可． 【详解】设这个多边形是边形，根据题意得， ， 解得． 故答案为七． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，将点（3，﹣2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是_____． 【答案】（5，1） 【解析】 【分析】根据点坐标平移特征：左减右加，上加下减，即可得出平移之后的点坐标. 【详解】∵点（3，-2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴所得的点的坐标为：（5，1）， 故答案为（5，1）. 【点睛】本题考查了点的平移，熟知点的坐标的平移特征是解题的关键. 15. 在中，，，垂直平分，垂足为点，交边于点，，则的长为___________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，根据中垂线的性质，得到，推出，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 16. 如图，已知长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为__________cm． 【答案】4 【解析】 【分析】根据折叠可得BE=DE，设BE=xcm，则AE=（9-x）cm，在Rt△ABE中利用勾股定理可得32+（9-x）2=x2，解可得BE的长，进而得到AE的长 【详解】解：∵EF是四边形EFCD与EFGB的对称轴， ∴BE=DE，AE+BE=AE+DE=9（cm）， 又∵AB=3cm， 设BE=xcm，则AE=（9-x）cm， 在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2， ∴32+（9-x）2=x2， 解得x=5， 则BE=DE=5cm． AE=9-5=4（cm）， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是找准图形折叠后哪些角和哪些线段是对应相等的． 17. 如图，直线l上有三个正方形，A，B，C，若A，C的面积分别为36和64，则B的面积为_____． 【答案】100 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质可得，，再根据直角三角形的两锐角互余可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据勾股定理可得，由此即可得出答案． 【详解】如图，由题意得：， ，， ， 在和中，， ， ， 中，， 则正方形B的面积为100， 故答案为：100． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 18. 如图，在中，，，，点在边上，以为对角线的平行四边形中，是对角线的交点，的最小值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】过M点作MH⊥AC于H点，根据四边形为平行四边形得到，进而当DM⊥AC时DM有最小值为MH，此时MH为△ABC的中位线，根据中位线定理即可求解． 【详解】解：过M点作MH⊥AC于H点，如下图所示： ∵四边形为平行四边形，是四边形对角线的交点， ∴， 故要使得DN最小，只需要DM最小即可，则当MD⊥AC于H时，DM有最小值MH， ∵∠MHA=∠BCA=90°，M为AB中点， ∴MH为△ABC的中位线， ∴MH=BC=， ∴DN的最小值为2MH=2×=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、点到直线的距离垂线段最短、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质及三角形中位线定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分） 19. 已知：在的边，上分别取一个点E，F，使得，，连结，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，，结合题意可得，根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：在中，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 20. 已知在平面直角坐标系的位置如图所示． （1）请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法）； （2）请直接写出，，三点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），， 【解析】 【分析】（1）先分别确定点A、B、C关于y轴对称的对应点、、，再连接即可； （2）根据点、、的位置求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：由图可得，，，． 【点睛】本题考查作图−轴对称变换、坐标系中点的坐标、点的坐标的规律，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 21. 已知四边形ABCD为菱形，周长为32cm， ∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O． （1）求AC， BD的长 （2）求菱形ABCD的面积 【答案】（1）AC=8cm，BD=8cm； （2）菱形ABCD的面积为32． 【解析】 【分析】（1）由题意易得△ABC是等边三角形从而可得到AC的长，再根据菱形的性质及勾股定理即可求得OB的长，得出BD的长； （2）菱形的面积等于两条对角线长积的一半，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵菱形ABCD的周长为32cm，∠ABC=60°， ∴AB=BC=8cm，△ABC是等边三角形，AC、BD互相垂直平分， ∴AC=AB=8cm，OA=AC=4cm，OB=OD， ∴OB=（cm）， ∴BD=8cm； 【小问2详解】 解：菱形ABCD的面积=AC•BD=×8×8=32（）． 【点睛】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 22. 如图，在一条东四走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米． （1）是否为村庄C到河边最近的道路，请通过计算加以说明； （2）已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路比原路少多少千米． 【答案】（1）是，说明见解析 （2）千米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； （2）在中根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：是，说明如下： ∵在中，， 又， 是以为直角的直角三角形， ， ∵点到直线垂线段的长度最短， 是村庄C到河边的最近路． 【小问2详解】 由题意，得：（千米） 在中，由勾股定理得：（千米）， 比少千米． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． 23. 如图，已知，点分别在上，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据证明即可． （2）根据（1）得，然后证明即可． 【小问1详解】 解： 证明：在和中， ∴ ． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴ ， 在和中， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键． 24. 在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求证：平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，可得答案． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ， ， 即平分． 25. 如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接． （1）求证：； （2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析 （3）当时，四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，结合证明四边形是平行四边形即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，在中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 26. 已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为t s． （1）求CD的长； （2）t为何值时，△ACP是等腰三角形？ （3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN 的值最小？如果有,请直接写出最小值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) CD=4.8cm；(2) t为6，8.4，9，9.5时，△ACP为等腰三角形；（3）AM+MN的最小值=9.6． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，然后由三角形的面积公式得到等积式，即可得到结果； （2）①当点P在BC上时，求得t==6s，②当点P在AB上时，分三种情况：当AC=AP时，即10﹣（2t﹣6﹣8）=6，求得t=9，当AC=CP=6时，即[10﹣（2t﹣6﹣8）]=，求得t=8.4，当AP=CP=10﹣（2t﹣6﹣8）时，即10﹣（2t﹣6﹣8）=5，求得t=9.5； （3）如图作点A关于BC的对称点A′，过A′作A′N⊥AB于N，交BC于M，′则A′N就是AM+MN的最小值，根据三角形的中位线即可得到结论． 【详解】（1）∵AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°． ∵CD为AB边上的高，∴AC•BC=AB•CD，∴CD=4.8cm； （2）①当点P在BC上时． ∵∠ACB=90°，若△ACP为等腰三角形，只有AC=PC=6，∴t==6s； ②当点P在AB上时． ∵△ACP等腰三角形，∴分三种情况：当AC=AP时，即10﹣（2t﹣6﹣8）=6，解得：t=9，当AC=CP=6时，即[10﹣（2t﹣6﹣8）]=，解得：t=8.4，当AP=CP=10﹣（2t﹣6﹣8）时，即10﹣（2t﹣6﹣8）=5，解得：t=9.5． 综上所述：t为6，8.4，9，9.5时，△ACP为等腰三角形； （3）如图作点A关于BC的对称点A′，过A′作A′N⊥AB于N，交BC于M，则A′N就是AM+MN的最小值． ∵CD⊥AB，∴CD∥A′N． ∵AC=CA′，∴AD=DN，∴A′N=2CD=9.6，即AM+MN的最小值=9.6． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的逆定理，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$