2024年高考全国甲卷数学(文)真题变式题11-15

1．设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 2．下列说法正确的是（    ） A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α B．若直线a在平面α外，则a∥α C．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α D．若直线，b⊂α且a∥b，则a∥α 3．设，为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，，则；④若，，与相交且不垂直，则n与m不垂直，其中所有假命题的序号是（    ） A．①③ B．②③④ C．①④ D．②③ 4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，，，则． 其中真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 5．在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知内角的对边分别是，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，内角的对边分别为，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．函数在上的最大值是 ． 10．函数在区间上的最大值是 ． 11．函数的最大值为 ． 12．当时，取最小值，求的值 . 13．已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ． 14．第19届亚洲运动会于2023年9月23日10月8日在我国杭州成功举办，中国国家队以201金、111银、71铜的优异成绩位列奖牌榜榜首．此次亚运会的颁奖花束——“硕果累累”，由花材和花器两部分组成，如图1．其中花器的造型灵感来自中国南宋时期官窑花解，由国家级非物质文化遗产东阳木雕制作而成，可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体，如图2．已知大圆台的两底面半径和高分别为，小圆台的两底面半径和高分别为，则该几何体的体积为 ． 15．已知圆台上、下底面半径分别为1和2，一条母线长为，则该圆台的体积为 ． 16．已知圆台的母线长为，，分别是上、下底面内一点（包括边界）．若点与点之间的距离的最大值和最小值分别为5和3，则该圆台的体积为 ． 17．已知且，则 ． 18．若，则 . 19．若， ，则 ． 20．若，且，则实数 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 2．D 【详解】选项A中缺少l在平面α外这一条件；直线在平面α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故选项B错；选项C中缺少a不在平面α内这一条件；选项D满足线面平行的三个条件． 【考查意图】线面平行的判定． 3．C 【解析】①由线面关系判断；②由面面垂直的性质定理判断；③由线面垂直的判定定理判断；④举例判断. 【详解】①若，，则或，故错误； ②由面面垂直的性质定理知：若，，，，则，故正确； ③由线面垂直的判定定理知：若，，，则，又，则，故正确； ④如图：平面，平面，而，故错误； 故选：C 4．C 【分析】由线面平行的性质定理和线线垂直的性质，即可判断①；由线面的位置关系和线面平行的判定定理，即可判断②；由线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理，即可判断③；由面面平行的判定定理，即可判断④. 【详解】对于①，假设，因为，所以，又， 所以，而，所以，①正确； 对于②，若，则或，故②错误； 对于③，若， 则，又， 所以在平面内一定存在一条直线，使，而， 所以，则，③正确； 对于④，因为，所以在平面内一定存在一条直线，使， 又因为，所以， 同理可得在平面内一定存在一条直线，使得，从而有， 又，则与也会相交， 所以由面面平行的判定定理， 可以判断出④是正确的. 故真命题有3个. 故选：C 5．C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 6．A 【分析】利用正弦定理得到关于的关系式，再利用余弦定理表示出，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，又， 所以， 又，则. 故选：A. 7．B 【分析】先由正弦定理得到，把表示为，求出. 【详解】因为，由正弦定理得，， 因为，所以，得， 由可得，所以，得. 又，所以由正弦定理得，则，得. 故选：B. 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择． 8．C 【分析】先利用正弦定理化边为角，得出，再利用余弦定理求出角即可得解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以， 又，则， 由余弦定理得， 又，所以， 所以，所以. 故选：C. 9．2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 10． 【分析】由辅助角公式及角的范围即可求解. 【详解】,当时,,当时,有最大值,且最大值为. 故答案为: 11．13 【分析】利用辅助角公式化简,即可由正弦函数的性质求得最大值. 【详解】 ， 令， 所以可得 所以由正弦函数的性质可知的最大值为. 故答案为: 12．## 【分析】先利用辅助角公式对已知函数解析化简，再结合正弦函数的性质即可求解． 【详解】由， 其中，， 又当时，取最小值， 则，且， 所以 故答案为：． 13． 【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解. 【详解】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】根据圆台的体积公式求解即可. 【详解】根据圆台的体积公式， 可得（）， 故答案为： 15．## 【分析】根据上下底面半径和母线长求得圆台的高，然后再利用圆台的体积公式计算得到答案. 【详解】由题意知作出圆台示意图，如图，所以可得圆台的高， 所以圆台的体积． 故答案为：. 16． 【分析】根据已知，分析、两点距离何时最小、最大，可以求出圆台的高和上下底半径的关系，再根据圆台的体积公式求值. 【详解】显然当垂直于底面时，，之间的距离最小，所以圆台的高为3． 设上、下底面半径分别为，记点在下底面内的射影为，直线交圆于点， 如图，当点与重合时，之间的距离最大． 此时，且母线长为3， 所以 所以圆台体积．    故答案为： 17．64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 18．## 【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算可得. 【详解】解：因为，所以，即，即， 所以； 故答案为： 19．2 【分析】根据对数的换底公式以及对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】由可得， 由可得，即， 故， 故答案为：2 20．9 【分析】先指对互化可得，再结合换底公式以及对数的运算性质求解. 【详解】因为，可知， 又因为，即， 由换底公式得，则， 即，解得． 故答案为：9． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$