2024年北京高考数学真题变式题11-15

1．抛物线的焦点坐标为 ． 2．已知抛物线，则抛物线焦点坐标为 . 3．若抛物线的焦点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 4．已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且AB的中点到x轴的距离为6，则的最大值为 ． 5．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 6．函数在上的值域为 . 7．在平面直角坐标系中，设角的始边与轴的非负半轴重合，角终边与单位圆相交于点，将角终边顺时针旋转后与角终边重合，那么 ． 8．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，则 ． 9．若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 10．已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ． 11．已知斜率存在的直线与双曲线相交且仅有一个交点，则直线的方程可以为 ． 12．已知双曲线，直线，若直线与双曲线的右支有两个交点，求的取值范围 ． 13．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 14．如图，高度均为3的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水，此时水面高度均为，若，记圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，则 .    15．国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，将底面半径都为b，高都为的半椭球（左侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明总成立．据此，图中圆柱体（右侧图）的底面半径b为2，高a为3，则该半椭球体（左侧图）的体积为 ．      16．如图,一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块,容器内盛有a升水．若将容器平放在地面上（如图1）,则水面正好过圆锥的顶点P;若将容器倒置（如图2）,水面也恰好过点P．下列说法中,正确的是 ．（写出所有满足条件的说法序号） ①圆锥的高等于圆柱的高的一半; ②将容器的一条母线贴地,水面也恰过点P; ③将容器任意摆放,当水面静止时都过点P． 17．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 18．已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则 ． 19．已知数列的各项均为整数，，，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则集合中所有元素之和为 . 20．已知等差数列的公差不为零，等比数列的公比是小于1的正有理数．若，，且是正整数，则的值可以是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 2． 【分析】根据抛物线方程确定开口方向和的值即可写出焦点坐标. 【详解】根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且，即， 焦点坐标为. 故答案为：. 3． 【分析】先求得抛物线的焦点为，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】由抛物线可化为，可得其焦点为， 因为抛物线的焦点到直线的距离为，可得， 解得或（舍去），故实数的值为． 故答案为：. 4．20 【分析】根据抛物线的定义，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可． 【详解】由题意知，抛物线C的准线方程为． 设AB的中点为M，分别过点A，B，M作准线的垂线，垂足分别为C，D，N．    因为M到轴的距离为6，所以． 由抛物线的定义知， 所以． 因为，当点F在线段AB上时等号成立， 所以，即的最大值为20． 故答案为：20． 5．## 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 6． 【分析】根据题意，结合余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由余弦函数的性质，可得在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，， 又因为，所以函数的值域为. 故答案为：. 7．##-0.6 【分析】先根据三角函数的定义算出，然后根据的关系结合诱导公式计算. 【详解】根据三角函数的定义，，由题意，，于是. 故答案为： 8． 【分析】先利用三角函数的定义求得和，再根据诱导公式化简求解即可. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点， 所以，， 所以， 故答案为： 9．（或，答案不唯一） 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 10． 【分析】联立直线与双曲线的方程，利用判别式及韦达定理求解作答. 【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点， 则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等， 于是，解得， 所以t的取值范围是. 故答案为：    11．（答案不唯一） 【分析】由直线与双曲线相交，且有且仅有1个交点可得直线与渐近线平行，得解. 【详解】因为斜率存在的直线与双曲线相交且仅有一个交点，双曲线的渐近线方程为， 故不妨设直线的方程为，易知当时，满足题意． 故答案为：（答案不唯一）. 12．或 【分析】联立双曲线和直线方程，然后列不等式求解即可. 【详解】解：依题意，联立方程，消去，得， 设直线与双曲线的右支的两个交点为，，    则，解得或， 所以或. 故答案为：或. 13． 23 57.5## 【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度. 【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则， 故，. 故答案为：. 14．## 【分析】利用圆锥的轴截面求出圆锥内水的体积的表达式，再求出圆柱内水的体积表达式，二者相等，化简即可得答案. 【详解】如图，作出圆锥的轴截面，设为水面，O为圆锥底面中心，为水面中心，    则，则∽，故， 故圆锥内水的体积为， 圆柱内水的体积为， 由，得，故， 故答案为： 15． 【分析】利用圆柱、圆锥的体积公式，即可得出结论． 【详解】根据题意，因为总成立， 所以半椭球体的体积为， 由题意知：，， 所以半椭球体的体积为：． 故答案为：． 16．② 【分析】先利用倒置后水的体积不变,建立三棱锥的高和圆柱高之间的关系,即可得①的正误,求出圆柱内部体积,和水的体积比较可知②的正误,由于该容器上下不对称,所以过点P的平面不可能总平分圆柱内部空间,可得③的正误. 【详解】解:记圆柱底面积为, 记圆锥的高为,圆锥顶点到圆柱上底面的距离为, 设圆柱的高为,则, 由题知,, 且, 所以, 即, 故, 故①错误; 圆柱内部空间体积为, 而水的体积为, 故水的体积正好是圆柱内部空间体积的一半, 因此将圆柱母线贴地,水面过点P, 故②正确; 因为过点P的平面不可能总平分圆柱内部空间, 故③错误. 故答案为: ② 17．①③④ 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 18．8 【分析】首先根据题意得到，在利用等比数列的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 即，因为，所以，则. . 故答案为：8 19．1023 【分析】根据题意分别求出前11项公差，11项后的公比为，然后可求得，从而可求解. 【详解】设由前12项构成的等差数列的公差为，从第11项起构成的等比数列的公比为， 由，解得或，又数列的各项均为整数，故， 所以，所以， 故 ，所以， 故集合中所有元素之和为. 故答案为：. 20．##0.5 【分析】首先由等差数列，等比数列得出，而要使为正整数，则要想办法消掉14，即可想到，这样问题就由为正整数转化为为正整数，即可得出满足范围的的取值，而又是有理数，则通过解关于的一元二次方程，去找出满足题意的的取值，即可得到的取值. 【详解】由题意知：是首项为，公差为，且的等差数列， 是首项为，公比为，且的等比数列， ∴， 要使为正整数，即为正整数， ∵，，∴， 设，，即，即， 又∵，∴为正整数， 则满足范围的的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又， 即， 又由题意知：，且为有理数， ∴，∴只有当时，满足题意， 此时：. 故答案为：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$