2024年北京高考数学真题变式题6-10

1．设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．某城市一年中12个月的月平均气温（单位）与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月平均气温最高值为28，最低值为18，则（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 3．若函数两零点间的最小距离为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．记函数的最小正周期为T．若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 6．已知正数a，b，c满足，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若，，，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知实数满足： ，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（    ）. A．1 B．2 C． D． 10．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，，，，，，则点P到平面ABCD的距离为（    ） A． B． C．2 D． 11．等边的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，将沿DE折起，使点A到达点的位置.若平面平面BCED，则线段的长为（    ）. A． B． C． D． 12．已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，是的垂心.若，，则（    ） A． B．2 C． D． 13．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 14．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 15．若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 16．设，，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 17．已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 18．若满足约束条件，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．已知实数x，y满足线性约束条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．已知函数为定义在R上的减函数，函数的图像关于点对称，满足不等式，则当时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 2．A 【分析】根据正弦函数的最值列式可得结果. 【详解】依题意可得，解得. 故选：A 3．A 【分析】先求出周期，即可求出. 【详解】因为函数两零点间的最小距离为， 所以，所以，所以，解得：. 故选：A 4．C 【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得. 【详解】根据最小正周期，可得，解得； 又，即是函数的一条对称轴， 所以，解得. 又，当时，. 故选：C 5．D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 6．D 【分析】利用指数和对数的运算规则和指数函数、对数函数与幂函数的性质，比较大小. 【详解】 ， ,故A错误； ，，故BC错误，D正确． 故选：D. 7．A 【详解】因为，则，故，故；又，故.综上，. 【题型】指数与对数互化 【难度】B 【核心素养】数学运算 8．A 【分析】首先可得，再设，即可得到，再结合指数函数的性质得到，同理得到、，再根据函数的单调性得到，即可判断. 【详解】因为，即，所以， 设， ， 设是单调递增函数，所以，所以，即， 又是单调递减函数，且，所以， 设 设是单调递增函数，所以，所以，即 又是单调递减函数，且，， 所以， 同理，由得， 又是单调递减函数，且，， 所以， 由， 所以且是单调递减函数，所以. 综上可得 故选：A 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是合理的构造函数，结合指数函数的性质判断. 9．D 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 当相对的棱长相等时，不妨设，， 因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在. 故选：D. 10．B 【分析】根据题意由勾股定理可得，可证平面PAB，即平面平面ABCD，根据面面垂直的性质作平面ABCD，结合图形运算求解． 【详解】在中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得． 因为PC＝2，BC＝1，， 所以，即． 因为∠ABC＝90°，所以， 又，所以平面PAB． 因为平面ABCD，所以平面平面ABCD． 在平面PAB内，过点P作，交BA的延长线于点E，如图所示， 因为平面平面ABCD＝AB，， 所以平面ABCD． 因为在中，PA＝1，∠PAE＝60°， 所以，所以点P到平面ABCD的距离为． 故选：B． 11．C 【分析】由面面垂直可得线面垂直，利用勾股定理求解. 【详解】如图，易知是边长为1的等边三角形，过作DE的垂线，垂足为H，    由平面平面BCED，交线为，, 则平面BCED，且H为线段DE的中点，， 连接BH，则，取BC的中点F，则，且， 所以， 所以. 故选：C 12．B 【分析】先证明两个线面垂直“平面”和“平面”，进而得到，得到等式，并将其转化为关系式，求解即可. 【详解】连接，并延长交于点，连接， 连接， 由于三条侧棱、、两两互相垂直，易得平面， 又因为平面，平面，所以，， 因为是的垂心，所以， 因为，，且平面，平面，， 所以平面，且平面， 所以，同理可得， 因为，，且平面，平面，， 所以平面，平面， 所以， 因为， 所以，， 即， 所以， 由平面，易得， 所以， 所以. 故选：B. 13．B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 14．B 【分析】先求得，然后根据对数函数、基本不等式等知识确定正确答案. 【详解】依题意，，， ， 则，A选项错误. ，B选项正确. ，即，D选项错误. ，C选项错误. 故选：B 15．D 【分析】若，则易得，则可以根据指数的性质：及，对四个答案逐一进行分析，易得答案. 【详解】由，得， ，，AC正确； 又，， 又，所以，B正确； ，，D错误. 故选：D 16．A 【分析】构造函数，分离常数法判断函数单调性，根据单调性即可判断选项A、B；由，，即可判断选项C；结合基本不等式即可判断选项D. 【详解】构造函数，则， 因为函数在R上为单调递增函数， 所以在R上为单调递减函数， 所以，所以，，故选项A正确，选项B错误； 因为，，所以，故选项C错误； 因为，当且仅当时取等号，由题意可知，故，故选项D错误. 故选：A 17．C 【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可. 【详解】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值； 阴影部分面积. 故选：C. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 18．D 【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得. 【详解】实数满足，作出可行域如图： 由可得， 即的几何意义为的截距的， 则该直线截距取最大值时，有最小值， 此时直线过点， 联立，解得，即， 则. 故选：D. 19．C 【分析】作出可行域，再把看作为动点与定点的两点的斜率,利用数形结合思想可得到答案. 【详解】画出约束条件表示的可行域如图，设可行域内点，    记点，把看作为动点与定点的两点的斜率， 由方程组，解得：，即点， 同理解得点， 所以，， 由图结合正切函数的单调性可知：， 故选：C． 20．D 【分析】根据函数的图象关于点对称，可知函数是奇函数，再利用在上的减函数，转化为具体的不等式，故可解. 【详解】 由已知函数的图象关于点对称， 把向左移一个单位就得到，对称中心也向左移一个单位变成， 所以有对称中心，为定义在R上的奇函数， 由，得， 因为是在上的减函数， ，即， 又， 平面区域如图所示． 由图求得，．令，则与阴影区域有交点即可，的几何意义为直线与阴影部分有交点时的截距，所以的最小值为过A点时，此时截距最小，代入A点求得， 当直线截距最大时与圆相切，，此时或(舍)， 则的取值范围为． 故选：D. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$