3.4 函数的应用-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

第二篇高中知识预习 5.已知m=(a2+3)-1,n=31,则 ( 10.函数y=(m一1)x-"为幂函数，则该函 A.m2n 数为 (填序号). B.m≤n ①奇函数；②偶函数；③增函数；④减 C.m=n 函数 D.m与的大小不确定 11.若(3-2m)>(m+1),则实数m的取 6.下列命题，不正确的是 ( 值范围为 A.幂函数y=x1是奇函数 B.幂函数y=x2是偶函数 12.1)求函数y一干的单调区间和函数图 C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数 象的对称中心； D.y=x既不是奇函数，又不是偶函数 （2》求函数)一牛号。>>0)的单调区间 7.幂函数f(x)的图象过点(3，√3)，则f(x) 和函数图象的对称中心：若此函数是由某 的解析式是 个幂函数平移得到，求a,b满足的条件. 8.设x∈(0,1)时，y=xP(p∈R)的图象 在直线y=x的上方，则p的取值范围是 (提示：将函数的表达式化为部分分式，即 化为y=m十的形式) B能力提升练 9.如图所示，曲线C与 C2分别是函数y=x" 和y=x”在第一象限 内的图象，则下列结论 正确的是 A.n<m<0 B.m<n<0 C.n>m>0 D.m>n>0 3.4 函数的应用 新知自主探究G33② ◆◆◆ 探究点一一次函数模型 【解析】由题意知，普通自行车存放x 【典例1】某自行车存车处在某一天总 辆次时，电动自行车存放(4000一x)辆次，则 共存放车辆4000辆次，存车费为电动自行车 y=(4000-x)×0.3+0.2x=-0.1x+ 0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆.若该天普 1200,0≤x≤4000. 【答案】C 通自行车存放x辆次，存车费总收人为y 【方法总结】 元，则y与x的函数关系式为 ( 一次函数模型的特点和求解方法 A.y=0.2x(0≤x≤4000) (1)一次函数模型的突出特点是其图象 B.y=0.5.x(0≤x≤4000) 是一条直线 C.y=-0.1x+1200(0≤x4000) (2)解一次函数模型时，注意待定系数法 D.y=0.1.x+1200(0≤x≤4000) 的应用，主要步骤是设元、列式、求解 75 初高中衔接直通车·数学 【提醒】解一次函数模型题的关键是准 探究点三分段函数模型 确读懂题意，从中提炼出一次函数模型以及 【典例3】某车站有快、慢两种列车， 一些关键点，并用待定系数法确定一次函数 始发站距终点站7.2km,慢车到达终点 解析式 站需16min,快车比慢车晚发车3min,且 [对点训练] 匀速行驶10min后到达终点站，则快车 一段导线，在0℃时的电阻为2Ω，温度每增 所行驶路程y关于慢车行驶时间x的函 加1℃，电阻增加0.0082，那么电阻R(2)表 数关系式为 示为温度（℃）的函数关系式为 【解析】当0≤x≤3时，快车还未发车， A.R=0.008 B.R=2+0.008t 故y=0; C.R=2.008t D.R=2t+0.008 当3<x≤13时，快奉的追度为铝= 探究点二二次函数模型 0.72(km.'min),故y=0.72(x-3): 【典例2】某沙漠地区的某时段气温与 时间的函数关系是f(t)=一t2十241一101 当13<x≤16时，快车到达终点站，y始 终不变，故y=7.2. (4≤≤18)，则该沙漠地区在该时候的最大 0,0≤x≤3， 温差是 ( A.54 B.58 综上可得y=0.72(x-3),3<x≤13， 7.2,13<x≤16. C.64 D.68 f0,0≤x≤3， 【解析】f(1)=-2+241-101,对 【答案】 称轴为t=12,所以f(t)在[4,12]上单调 y=0.72(x-3),3<x≤13， 7.2,13<x≤16 递增，在[12,18]上单调递减，所以 【方法总结】分段函数主要是每一段自 f（t)mx=f(12)=43,f(t)mm=f(4)= 变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当 一21，所以在该时段的最大温差是43一 作几个问题，将各段的变化规律分别找出来， (-21)=64. 再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特 【答案】C 别是端点值， 【方法总结】二次函数模型是实际应用 题中常见的类型，也是高考考查的重点题型. [对点训练] 特别是在解决实际问题中的最大、最小值问 甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲 题时，可用配方法、函数的单调性等方法 到公园的距离与乙到公园的距离都是 [对点训练] 2km.下图表示甲从家出发到乙同学家经 某类产品按工艺共分10个档次，最低档次 过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其 产品每件利润为8元.每提高一个档次，每 中甲在公园休息的时间是10min,那么y= f(x)的表达式为 件利润增加2元.用同样工时，可以生产最 y/km 低档次产品60件，每提高一个档次将少生 产3件产品，则每天获得利润最大时生产 产品的档次是 A.7 B.8 1020304050607min C.9 D.10 76 第二篇高中知识预习 学习效黑检测c工D A基础巩固练 1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每 月的销售量成一次函数关系，其图象如图 所示，由图中给出的信息可知，营销人员没 A B C D 有销售量时的收入是 4.某地固定电话的市话收费规定：前三分钟 0.20元（不满三分钟按三分钟计算），以后 y收人元 1300 每加一分钟增收0.10元（不满一分钟按 800 分钟计算)，那么某人打市话550s,应支付 电话费 ( 0 1 2销售量万件 A.1.00元 B.0.90元 A.310元 B.300元 C.1.20元 D.0.80元 C.290元 D.280元 5.某厂有许多形状为直 ￥8 2.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时 角梯形的铁皮边角 间t的关系图象如图，则1=2时，汽车已 料，为了降低消耗，现 20 行驶的路程为 要从这些边角料上截 取矩形铁片（如图所 /(km/h) 24 125 示).当截取的矩形面 100 积最大时，矩形两边的长x,y分别应为 0 ( 00.511.522.533.544.55h A.x=15,y=12 B.x=12,y=15 A.100 km B.125 km C.x=14,y=10 D.x=10,y=14 C.150 km D.225 km 6.(多选题)某公司在甲、乙两地同时销售 3.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长， 一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 在P处有一棵树与两墙的距离分别是am L1=一x2十21x和L2=2x(其中销售 量单位：辆).若该公司在两地共销售 (0<a<12),4m,不考虑树的粗细.现在 15辆车，要使获得的利润最大，则在甲 想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩 地销售的车辆数为 形的花圃ABCD.设此矩形花圃的最大面 A.8 B.9 积为S,若需要将这棵树围在花圃内（含边 C.10 D.11 界)，则函数S=f(a)(单位：m)的图象大 7.根据统计，一名工人组装第x件某产 致是 品所用的时间（单位：分钟）为f(x)= ,x<A, (A,c为常数)已知工人组装 A≥A 第4件产品用时30min,组装第A件产品 77 初高中衔接直通车·数学 用时15min,那么c= ,A= 8.图中折线是某电信局规定打长途电话所 需要支付的电话费y(元)与通话时间t 46 (分钟)之间的函数关系图象，根据图象 12.为了更好地提倡节约用水，对水资源使用 填空：通话2分钟，需支付电话费 进行合理配置，对居民自来水用水收费采 元：通话5分钟，需支付电话费 用阶梯收费.某市经物价部门批准，对居 元；如果t≥3分钟，电话费y 民生活用水收费如下：第一档，每户每月 (元)与通话时间1（分钟）之间的函数关 用水不超过20立方米，则水价为每立方 系式是 米3元：第二档，若每户每月用水超过 4y元 20立方米，但不超过30立方米，则超过 6 部分水价为每立方米4元：第三档，若每 户每月用水超过30立方米，则超过部分 水价为每立方米7元，同时征收其全月水 费20%的用水调节税.设某户某月用水 35 H份钟 x立方米，水费为y元 B能力提升练 (1)试求y关于x的函数： 9.一个人以6m‘s的速度去追停在交通灯前 (2)若该用户当月水费为80元，试求该月 的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红 的用水量： 变绿，汽车以1m/s的加速度匀加速开 (3)设某月甲用户用水a立方米，乙用户 走，那么 () 用水b立方米，若a,b之间符合函数关 A.此人可在7s内追上汽车 系：b=一a2+47a一530.则当两户用水合 B.此人可在10s内追上汽车 计达到最大时，一共需要支付水费多 C.此人追不上汽车，其间距最少为5m 少元？ D.此人追不上汽车，其间距最少为7m l0.规定从甲地到乙地通话tmin的电话费 由f(t)=1.6×(0.5×[t]+1)(元)决定， 其中t>0,[t]是大于或等于t的最小整 数，如[2]=2，[2.7]=3，[2.1]=3，则从 甲地到乙地通话时间为4.5min的电话 费为 ( A.4.8元 B.5.2元 C.5.6元 D.6元 11.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车 投人运营.据市场分析，每辆客车营运的 利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数 关系（如图），则客车有营运利润的时间不 超过 年 78初高中衔接直通车·数学 [学习效果检测] [60-3(k-1)]=-6k2+108k+378(1≤k≤10)，配方 1.B函数y=5是指数函数，不是暴函数：虽数y=5.x是 可得y=一6(k一9)2十864，所以当k=9时，获得利 正比例函数，不是暴函数：函数y=(π十1)3的底数不是自 润最大 变量x,不是幂函数：函数y=x是幂函数 典例3对点训练 2.B由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数 解析：由图象知是一个分段函 3.Bf(.x)在(0，十o∞)上是减虽数， 数，且各段均是直线，可用待 所以3m-5<0(m∈N),则n=0或m=1. 定系数法求得 当m=0时，f(x)=x-5是奇函数，不合题意 如图，设OA的表达式为y= 当m=1时，f(x)=x2是偶函数，满足题意，因此m=1. 01020304150 k1x,因为A(30,2),所以2= 4.Ay=为偶函数，国象关于y轴对称，又号>1，在 301,片以1=言所以y=言0≤30 第一象限内，图象为下凸递增的 5.B设f(x)=x-1,因为a2十3≥3>0，且f(x)=x1在 设BC的表达式为y=k2x十b, (0,十∞)上为减函数，所以f(a2十3)≤f(3).即m≤n. 因为B(40,2),C(50,3). 6C回为x1=,占=-士所以A正确：(-x2 2=40:士h:解得起=0h=一2 所以 1 x一x 3=50k2+b. x2,所以B正确；一x=x不恒成立，所以C不正确；y= 1 x的定义域为[0，十∞)，不关于原点对称，所以D 所以y=10-2(40≤r≤60). 正确. 5r,0≤x≤30， 7.解析：设f(x)=x,则有30=3=3>a= 综上可得，y=2,30<x<40, 答案：f(x)=xr 01-2,40≤r≤60. 1 8.解析：结合暴函数的图象性质可知p<1. 答案：p<1 9。A由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0,n< 15,0≤x≤30， 0.由曲线C1,C2的图象可知n<m. 答案：y= 2,30<x<40, 10.解析：由y=(-1)xm-m为幂函数，得m一1=1，即m= 01-2,40≤x≤60 1 2,则该函数为y=x2,故该函数为偶函数，在（一∞，0）上 [学习效果检测] 是减函数，在(0，十∞)上是增画数. 1.B设函数解析式为y=kx十b(k≠0)， 答案：② 函数图象过点(1,800)，(2,1300) 11.解析：考查暴函数y=x子，因为y=x宁在定义战[0， +∞)上是增函数， 则十0-80，解得=50. 2k+b=1300, b=300, 13-2n≥0， 所以m十1≥0， 解得-1长m<号 所以y=500.x十300，当x=0时，y=300. 3-2>m十1 所以营销人员没有销售量时的收入是300元。 2.Ct-2时，汽车行驶的路程为 故m的取值范国为[-1，号) ￥=50×0.5+75×1+100×0.5=25+75+50=150(km). 答案：[-1，号) 3.C设AD长为x,则CD长为16-x. 又因为要将P,点国在矩形ABCD内， 12.解：Dy==1-异在(0，-0和 所以a≤x≤12， 则矩形ABCD的面积为x(16一x). (一1，十o∞)上均单调递增，对称中心为（一1,1）. 当0<a≤8时，当且仅当x=8时，S=64: (2y=8=1+合u-6>0,在(-0，-6)和 当8<a12时，S=a(16-a), (一b,+∞)上均单调递减，对称中心为（一b,1) 所以S=/64,0<a≤8， 若此函数是由某个暴函数平移，可得a一b=1. a(16-a),8<a<12, 所以a,b满足的条件为a一b=1. 分段画出函数图象可得其形状与选项C接近」 3.4函数的应用 4.By=0.2十0.1×([x]-3)([x]是不小于x的最小整 [新知自主探究] 载>0，令x-認故[=10， 典例1对点训练 B由题意知电阻R与温度1构成一次函数关系，即 则y=0.9. R=2+0.0081. 5.A本题考查二次品数的应用，结合图形，可得 典例2对点训练 C由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润是 斋-246之2得=24-5 生产件数与每件的利润的乘积，为y=[8十2(k一1)门· 矩形面积S=对=(24-）=-1g+24x 5 104 参考答案 所以当x= 24 =15时.S最大， 章未检测（三） 2×(-】 1.C要使函数有意义，需满足 此时y=24-号×15=12. 1+x≥0·即x≥-1且x≠0. x≠0， 6.BC设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15-x) 2.D3>1,.f(3)=32+3=12. 辆，公司获利为L=-x2十21x+2(15-x)=-x2+19x 3.B由图可知，g(2)=1, 由表格可知f(g(2)=f(1)=2,故选B. +30=-(-9）'+30+1g。 4 4BA、C,D选项中的三个函数在（一∞，0）上都是减函 所以当x=9或x=10时，L最大为120万元. 数，只有B正确. 5.C由f(x)=x2-4x=(x-2)2-4, 7.解析：由题意知，组装第A件产品所需时间为=15， A 当x=2时，f(x)取到最小值一4， 当x=5时，fx)取得最大值5，故值域为[-4,51. 故组装第4件产品所需时间为二=30，解得c=60.将c 6.D由题图知，小李从点A到点B的过程中，y的值先 4 增后减， =60代入C=15,得A=16. 从点B到点C的过程中，y的值先减后增， A 从，点C到点D的过程中，y的值先增后减，从点D到点 答案：6016 A的过程中，y的值先减后增， 8.解析：由图知通话2分钟，需支付电话费3.6元：通话5 所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即y 分钟需支付电话费6元： 的值)的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意， 当1≥3时，设y=k1十b, 故选D, 3.6=3张+，解得k=1.2.b=0 则有6=5k+b: 7.Af(x)=(6-x-x2)=(6--x2), 由6-x-x2≥0，得-3≤x≤2， 所以y=1.21(1≥3). 答案：3.66y=1.21(1≥3) 又6-子=-(+安)广+孕所以画数)的单 9.D设汽车经过18行驶的路程为sm,则=2，车与 调递诚区间 [2]故选A 人的同距d=(6+25)-60=号-6+25=号1-6 8.A由甲、乙两图可知，进水速度为1，出水速度为2，结 合图丙中直线的钟率，只进水不出水时，蓄水量增加速 十7.当t=6时，d取得最小值7. 度是2，故①正确：不进水只出水时，蓄水量减少递度是 10.C由[4.5]=5，得f(1)=1.6×(0.5×[]+1)=1.6 2,故②不正确；两个进水口进水且出水口出水时，蓄水 ×(0.5×5+1)=5.6.故选C. 量减少速度也是0，故③不正确. 11.解析：设二次函数y=a(x一6)2十11，又图象过，点(4,7)，所 9.BCD函数f(x)=(.x-1)0+√r+1的定义域为[一1， 以a=-1,即y=-(x-6)2+11.令y>≥0，解得6-√1I≤ 1DU(1,十∞)，A不正确； 函数y=f(.x),x∈[-1,1]的图象与y轴有且只有一个 ≤6十√I,所以有营运利润的时间为2√T年.又6< 交点，根据函敏的定义可知B正确： 2门<7，所以有营运利涧的时间不超过7年. k>1台“函数f(x)=(k一1)x+k(k∈R)为增函数”，因 答案：7 此“>1”是“函数f(x)=(k一1)x+k(k∈R)为增函数” 12.解：(1)因为某户孩月用水x立方米， 的充要条件，C正确： 按收费标准可知，当0<x≤20时，y=3.x: 奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(-0)=一f(0), 当20<x≤30时，y=20×3+4(.x-20)=4x-20: 因此f(0)=0,D正确.故选BD. 当x>30时，y=[20×3+4×(30-20)+7(x-30)]× 10.BC对于Ay=x是奇函数，故不符合题意： 1.2=8.4x-132. 对于B,y=|x|十1是偶函数，在(0，十∞)上单调递 3.x,0<x20, 增，符合题意： 所以y=4x-20.20<x≤30. 对于C,y=x子是偶函数，在(0，十○)上单调递增，符合 8.4x-132,x>30. 题意： (2)由题可得，当该用户水货为80元时，处于第二档， 对于D,y=一】是奇函数，不特合题意 所以4x-20=80,解得x=25. 11.ABD根据题意，依次分析选项： 所以该月的用水量为25立方米 对于A,西数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(一x) (3)因为b=一a2+47a-530,所以a+b=-a2+48a =-f(x),当x=0时，有f(0)=一f(0),变形可得 530=-(a-24)2+46≤46. f(0)=0,A正确： 当a=24时，(a+b)mx=46,此时b=22. 对于B,若∫(x)在[0，+o∞)上有最小值1，即x≥0 所以此时两户一共需要支付的水费是y=4×24一20 时，f(x)≥-1，则有-x≤0，f(-x)=-f(x)≤1，即 +4×22-20=144元. f(x)在(-∞，0们上有最大值1，B正确： 105