3.3 幂函数-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

初高中衔接直通车·数学 3.3幂函数 基础知识整合G⑦o ◆◆◆ 1.幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数 2.常见幂函数的图象与性质 幂函数 y=r y=x2 y=ri y=rt y=r-l y 图象 0 x 0 0 定义域 R R R [0,十∞) (-∞，0)U(0,+∞) 值域 [0,+o∞) [0,+o∞) (-0∞，0)U(0,+∞) 奇偶性 奇函数 在[0，十∞)上为增 在[0，十∞)上为 在(0，十∞)上为 单调性 在R上为增函数 函数，在(-∞，0] 在R上为增函数 增函数 在（一∞，0）上为 上为 定点 新知自主探究G金D ◆◆◆ 探究点一幂函数的概念 m2-2m-2=1, 所以1 2m2+m<0, 所以m=一1. 【典例1】(1)在函数y=x2,y=2x2, y=(x十1)2，y=3x中，幂函数的个数为( 【答案】(1)B(2)-1 A.0 B.1 【方法总结】1.只有形如y=x(其中 α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函 C.2 D.3 数，否则就不是幂函数. (2)幂函数f(x)=(m2-2m-2).xm+m 2.判断一个函数是否为暴函数的依据是 在(0，十∞)上减函数，则m= 该函数是否为y=x(a为常数)的形式，函数 【解析】(1)根据幂函数定义可知，只有 的解析式为一个幂的形式，且(1)指数为常 y=x2是暴函数 数：(2)底数为自变量；(3)底数系数为1.形 如y=(3x)°，y=2x,y=x+5,…形式的函 (2)因为幂函数f(x)=(m2一2m-2)· 数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函 xm+m在(0，十o0)上是减函数， 数，则该函数也必具有这一形式 72 第二篇高中知识预习 [对点训练] (2)因为函数在(0，+∞)上单调递减，所 以3m-9<0,解得m<3,又m∈N",所以 已知f(x)=(m2+2m).x”+m-1,m为何值 m=1,2. 时，f(x)是(1)正比例函数？(2)反比例函 因为函数的图象关于y轴对称，所以 数？(3)二次函数？(4)幂函数？ 3一9为偶数，故m=1,则原不等式可化为 (a+3)<(5-2a). 因为y=x在(-o∞，0)，(0，十∞)上单 调递减，所以a+3>5-2a>0,或5-2a< a+3<0,或a+3<0<5-2a,解得号<a< 2,或a<-3. 探究点二幂函数的图象和性质 【典例2】(1)如图 C 【答案】（①B(2)号<a<号或<-3 所示，图中的曲线是幂函 【方法总结】幂函数的性质 数y=x"在第一象限的图 (1)在区间(0，十∞)上都有定义，并且图 象，已知n取士2，士号四 象都通过点(1,1). (2)若α>0，则幂函数的图象通过原点， 个值，则对应于C,C2,C3,C的n依次为 并且在区间[0，十o∞)上是增函数.当0<a<1 时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右： A-272 当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开 口向上. a2-2 (3)若a<0,则暴函数在区间(0，十∞) c-22号 上是减函数，在第一象限内为双曲线形，当x 从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地 n2g-2号 逼近y轴；当x趋于十∞时，图象在x轴上 方无限地逼近x轴. (2)已知幂函数y=x3m-9(m∈N')的图 象关于y轴对称，且在(0，十∞)上单调递减， [对点训练] 则满足(a十3)号<(5一2a)号的a的取值范 围为 幂函数y=x-mt(m∈Z)的图象如图所 【解析】(1)根据幂函数y=x”的性 示，则m的值为 ( 质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y=x”递增速度越快，故C,的 ”=2,C的=2，当<0时，m越大， 曲线越徒峭，所以南线C的n=一，曲 A.-1<m<4 B.0或2 线C4的n=-2. C.1或3 D.0,1,2或3 73 初高中衔接直通车·数学 探究点三 幂函数单调性的应用 比较，直到比较出所有数的大小，若中介值法 【典例3】 1)设a=(2)》6=(得) 不行则要采用估值法，判断各数的范围，进而 比较出各数的大小 c=(2),则a,b,c的大小关系是 A.a>b>c B.c>a>b [对点训练] C.a<b<c D.b>c>a 幂函数f(x)=x,满足x>1时f(x)>1, 【解析】构造幂函数y=x,x>0,由该 函数在定义域内单调递增，知1>a>b:又 则α满足条件 c=2>1,知a<c.故c>a>b. A.a>1 B.0<a<1 【答案】B C.a>0 D.a>0且a≠1 (2)已知幂函数f(x)=x,若f(a十1)< [归纳小结] f(10-2a),则a的取值范围是 【解折]：)==>0，易 1.幂函数y=x°的底数是自变量，指数是 常数 知f(x)在(0，十∞)上为减函数，又f(a+1)< 2.幂函数在第一象限内指数变化规律 f(10-2a), 在第一象限内直线x=1的右侧，图象从 a+1>0, a>-1, 上到下，相应的指数由大变小；在直线x= .10-2a>0, 解得{a<5, 1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大 a+1>10-2a, a>3. 变小 .3<a<5. 3.简单幂函数的性质 【答案】(3,5) 【方法总结】 (1)所有幂函数在(0，十∞)上都有定义，并且 比较幂值大小的方法 当自变量为1时，函数值为1，即f1)=1. (1)若指数相同，则利用幂函数的单调性 (2)如果a>0,幂函数在[0，十∞)上有意 比较大小 义，且是增函数. (2)若指数不同，可采用中介值法或估值 (3)如果a<0,幂函数在x=0处无意义， 法，如先与0比较大小，若都大于0，再与1 在(0，十∞)上是减函数. 学习效果检测G还可 ◆ A基础巩固练 3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0，十∞) 1.下列函数是幂函数的是 上是减函数，且f(一x)=f(x),则m可 A.y=5 B.y= 能为 C.y=5x D.y=(.x十1)3 A.0 B.1 C.2 D.3 2.有下列幂函数：①y=x1;②y=x;③y= 4.函数y=x的图象是 x;①y=x2:⑤y=x3.其中在定义域内为 增函数的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 第二篇高中知识预习 5.已知m=(a2+3)-1,n=31,则 ( 10.函数y=(m一1)x-"为幂函数，则该函 A.m2n 数为 (填序号). B.m≤n ①奇函数；②偶函数；③增函数；④减 C.m=n 函数 D.m与的大小不确定 11.若(3-2m)>(m+1),则实数m的取 6.下列命题，不正确的是 ( 值范围为 A.幂函数y=x1是奇函数 B.幂函数y=x2是偶函数 12.1)求函数y一干的单调区间和函数图 C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数 象的对称中心； D.y=x既不是奇函数，又不是偶函数 （2》求函数)一牛号。>>0)的单调区间 7.幂函数f(x)的图象过点(3，√3)，则f(x) 和函数图象的对称中心：若此函数是由某 的解析式是 个幂函数平移得到，求a,b满足的条件. 8.设x∈(0,1)时，y=xP(p∈R)的图象 在直线y=x的上方，则p的取值范围是 (提示：将函数的表达式化为部分分式，即 化为y=m十的形式) B能力提升练 9.如图所示，曲线C与 C2分别是函数y=x" 和y=x”在第一象限 内的图象，则下列结论 正确的是 A.n<m<0 B.m<n<0 C.n>m>0 D.m>n>0 3.4 函数的应用 新知自主探究G33② ◆◆◆ 探究点一一次函数模型 【解析】由题意知，普通自行车存放x 【典例1】某自行车存车处在某一天总 辆次时，电动自行车存放(4000一x)辆次，则 共存放车辆4000辆次，存车费为电动自行车 y=(4000-x)×0.3+0.2x=-0.1x+ 0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆.若该天普 1200,0≤x≤4000. 【答案】C 通自行车存放x辆次，存车费总收人为y 【方法总结】 元，则y与x的函数关系式为 ( 一次函数模型的特点和求解方法 A.y=0.2x(0≤x≤4000) (1)一次函数模型的突出特点是其图象 B.y=0.5.x(0≤x≤4000) 是一条直线 C.y=-0.1x+1200(0≤x4000) (2)解一次函数模型时，注意待定系数法 D.y=0.1.x+1200(0≤x≤4000) 的应用，主要步骤是设元、列式、求解 75参考答案 [学习效果检测] g(-2)=f(-2)+4=6,则g(2)=-g(-2)=-6,又 1.A画数)一之是锅面载，但不与y轴相交，故①储 g(2)=f(2)+4,所以f(2)=-10. 故答案为一10. 画数y=】是奇函数，但不过原点，故②错： 答案：一10 12.解：(1)f(x)在(-1.0)上单调递增， 函数∫(x)=0既是奇函数又是偶函数，故④错. 证明：H1x2∈（一1,0)，且x1<x2,则一x1>一x2 2.C因为函数f(x)为偶函数，所以f(一0.5)=f(0.5), 且-x1,-x2∈(0,1)， f(-1)=f(1).因为f(.x)在区间(0，+∞)上是增函数， 函数f(x)在(0,1)上单调递增， 所以f(0)<f(0.5)<f(1),即f(0)<f(-0.5) ∴.f(-x1)>f(-x2), <f(-1). :f(x)为奇函数， 品B由一)=-十-)，所以西数)为 ∴.f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f（xg). ∴.-f(x)>-f(x2),即f(x1)<f(x2), 奇函数，结合对勾函数图象可知函数在(0,1)上是减 ∴.f(x)在(0,1)上单调递增. 函数. (2)f(x)的最小值为-2. 4.Af(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2. 理由如下：由题意可知，∫(x)的最大值在x=1处取 5.A由f(x)是偶函数，可得f(一x)=f(x), 得，即f(1)=2, 由g(x)是奇函数，可得g(一x)=一g(x), .当x>0时，0<f(x)≤2. 故g(x)川为偶函数，所以f(x)十|g(x)|为偶函数. 设x<0,则-x>0,∴.0<f(-x)≤2， 6.A因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， :f(x)为奇函数，∴f(-x)=一f(x), f(x)=x2-4.x,所以当x<0时，f(x)=一x(x十4)，当 ∴.0<-f(x)≤2，即-2≤f(x)<0, x>0时，xf(x)>0>f(x)>0→x2-4.x>0>x>4, ∴f(x)的最小值为一2，且在x=一1时取得. 当x<0时，xf（x)>0→f(x)<0→-x(x十4)<0→x (3)函数y=f(x-1)十1图象的对称中心为(1,1). <-4, 理由：由于f(x)为奇函数，所以图象关于(0,0)对称， 所以不等式xf(x)>0的解集为（一∞，一4）U(4.十∞). 则f(x-1)关于(1,0)对称，进而可得y=f(x一1)十1 7.解析：由于f(x)是奇函数，所以图象关于原点成中心对 图象关于(1,1)对称，故y=f(x一1)十1图象的对称 称，画出∫(x)在定义战范国内的图象如图所示，易得 中心为(1,1). f(x)<0的解集是(-2,0)U(2,5]. 3.3幂函数 [基础知识整合] 1.y=xxa2.奇函数偶函数奇函数 非奇非偶函数诚函数减函数减函数(1,1) [新知自主探究] 答案：(-2,0)U(2,5] 典例1对点训练 8.解析：因为奇函数的定义城为[3a一4，a], 解：(1)若f(x)为正比例函数， 所以3a一4十a=0,得4a=4,a=1, 则f(x)=x3+2b.x十1-b, 则m十m-1=1 →m=1. m2+2m≠0， 又f(0)=0,得f(0)=1-b=0,则b=1, (2)若f(x)为反比例函数， 即f(x)=x1+2x,则f(a)=f(1)=1+2=3. 答案：3 则m士m-1一1m=- m2十2m≠0， 9.D由题意可得|a≤2..-2≤a≤2. 10.B因为f(x)为奇函数， （3)若fx)为二次函数，剥m十m-1=2, m2+2m≠0， 所以f(x)-f(-x)=2f(x)<0,即f(x)<0: 又f(1)=0,则f(一1)=0，f(x)大致图象如下， m=1±I3 2 (4)若f(x)为暴函数，则m2十2m=1, 2 所以m=一1士2 典例2对点训练 -2有02x D暴虽数不过原点，且在第一象限内单调递减，则m 一3m一4<0.解得一1<m<4,又m∈Z.则m=0.1,2, -2 3.又该函数关于y轴对称，则函数为偶函数.当m=0 所以当f(.x)<0时，x∈(-∞，-1)U(0,1). 或3时，y=x+；当m=1或2时，y=x6,均满足 故选B. 题意 典例3对点训练 11.解析：设g(x)=∫(x)+4=a+bx,g(-x)=- x C当x>1时f(x)>1,即f(x)>f(1),f(x)=xa为 bx=-g(x),g(x)是奇函数， 增函数，则a>0. 103 初高中衔接直通车·数学 [学习效果检测] [60-3(k-1)]=-6k2+108k+378(1≤k≤10)，配方 1.B函数y=5是指数函数，不是暴函数：虽数y=5.x是 可得y=一6(k一9)2十864，所以当k=9时，获得利 正比例函数，不是暴函数：函数y=(π十1)3的底数不是自 润最大 变量x,不是幂函数：函数y=x是幂函数 典例3对点训练 2.B由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数 解析：由图象知是一个分段函 3.Bf(.x)在(0，十o∞)上是减虽数， 数，且各段均是直线，可用待 所以3m-5<0(m∈N),则n=0或m=1. 定系数法求得 当m=0时，f(x)=x-5是奇函数，不合题意 如图，设OA的表达式为y= 当m=1时，f(x)=x2是偶函数，满足题意，因此m=1. 01020304150 k1x,因为A(30,2),所以2= 4.Ay=为偶函数，国象关于y轴对称，又号>1，在 301,片以1=言所以y=言0≤30 第一象限内，图象为下凸递增的 5.B设f(x)=x-1,因为a2十3≥3>0，且f(x)=x1在 设BC的表达式为y=k2x十b, (0,十∞)上为减函数，所以f(a2十3)≤f(3).即m≤n. 因为B(40,2),C(50,3). 6C回为x1=,占=-士所以A正确：(-x2 2=40:士h:解得起=0h=一2 所以 1 x一x 3=50k2+b. x2,所以B正确；一x=x不恒成立，所以C不正确；y= 1 x的定义域为[0，十∞)，不关于原点对称，所以D 所以y=10-2(40≤r≤60). 正确. 5r,0≤x≤30， 7.解析：设f(x)=x,则有30=3=3>a= 综上可得，y=2,30<x<40, 答案：f(x)=xr 01-2,40≤r≤60. 1 8.解析：结合暴函数的图象性质可知p<1. 答案：p<1 9。A由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0,n< 15,0≤x≤30， 0.由曲线C1,C2的图象可知n<m. 答案：y= 2,30<x<40, 10.解析：由y=(-1)xm-m为幂函数，得m一1=1，即m= 01-2,40≤x≤60 1 2,则该函数为y=x2,故该函数为偶函数，在（一∞，0）上 [学习效果检测] 是减函数，在(0，十∞)上是增画数. 1.B设函数解析式为y=kx十b(k≠0)， 答案：② 函数图象过点(1,800)，(2,1300) 11.解析：考查暴函数y=x子，因为y=x宁在定义战[0， +∞)上是增函数， 则十0-80，解得=50. 2k+b=1300, b=300, 13-2n≥0， 所以m十1≥0， 解得-1长m<号 所以y=500.x十300，当x=0时，y=300. 3-2>m十1 所以营销人员没有销售量时的收入是300元。 2.Ct-2时，汽车行驶的路程为 故m的取值范国为[-1，号) ￥=50×0.5+75×1+100×0.5=25+75+50=150(km). 答案：[-1，号) 3.C设AD长为x,则CD长为16-x. 又因为要将P,点国在矩形ABCD内， 12.解：Dy==1-异在(0，-0和 所以a≤x≤12， 则矩形ABCD的面积为x(16一x). (一1，十o∞)上均单调递增，对称中心为（一1,1）. 当0<a≤8时，当且仅当x=8时，S=64: (2y=8=1+合u-6>0,在(-0，-6)和 当8<a12时，S=a(16-a), (一b,+∞)上均单调递减，对称中心为（一b,1) 所以S=/64,0<a≤8， 若此函数是由某个暴函数平移，可得a一b=1. a(16-a),8<a<12, 所以a,b满足的条件为a一b=1. 分段画出函数图象可得其形状与选项C接近」 3.4函数的应用 4.By=0.2十0.1×([x]-3)([x]是不小于x的最小整 [新知自主探究] 载>0，令x-認故[=10， 典例1对点训练 B由题意知电阻R与温度1构成一次函数关系，即 则y=0.9. R=2+0.0081. 5.A本题考查二次品数的应用，结合图形，可得 典例2对点训练 C由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润是 斋-246之2得=24-5 生产件数与每件的利润的乘积，为y=[8十2(k一1)门· 矩形面积S=对=(24-）=-1g+24x 5 104