3.2.2 奇偶性-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

初高中衔接直通车·数学 10.若函数y-x∈(m:n]的最小值 12.已知函数)=2x-x∈(0,1门，求 为0，则实数m的取值范围是 ( f(x)的值域， A.(1,2) B.（-1,2) C.[1,2) D.[-1,2) 1.已知x∈[1,8]，则函数f()=x+的 最大值与最小值的和为 3.2.2奇偶性 基础知识整合c33 ◆◆◆ 1.函数的奇偶性 2.函数的奇偶性与单调性 奇偶性 定义 图象特点 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b] (a<b)上为增函数，则f(x)在[一b,一a] 设函数f(x)的定义域为1，如 关于 偶函数 果Vx∈1，都有-x∈I,且 上为 ,即在对称区间上单调 对称 ,那么函数f(x)是偶函数 性 (2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b] 设函数f(x)的定义域为I,如 关于 (a<b)上为增函数，则f(x)在[-b,一a] 奇函数 果Vx∈1，都有-x∈I,且 对称 上为 ,即在对称区间上单调 ,那么函数f(x)是奇函数 性 新知自主探究c还 探究点一 函数奇偶性的判断 ③函数的定义域为R,f(0)=0十1=1≠0，则 【典例1】(1)给定四个函数：①y 函数f(x)为非奇非偶函数；④函数的定义域 x+a:@y-(x>0,@y=r+1:④y 为(-∞，0)U(0,+∞)，f(-x)=+1 十1其中是奇函数的有 x+1=一f(),则函数f(x)是奇函数. 【答案】B A.1个 B.2个 (2)如果f(x)是定义在R上的奇函数， C.3个 D.4个 那么下列函数中，一定为偶函数的是() 【解析】①函数的定义域为R,∫(x)= A.y=x+f(x) B.y=xf(x) x3+x,f(-x)=-(.x3+)=-f(x),则 C.y=x2+f(x) D.y=x2f(x) 函数f(x)是奇函数：②函数的定义域关于原 【解析】因为f(x)是奇函数， 点不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数： 所以f(一x)=一f(x). 68 第二篇高中知识预习 对于A,g(-x)=一x十f(一x)=一x 【解析】因为f(x)是偶函数，且图象与 f(x)=一g(x),所以y=x十f(x)是奇函数. x轴有四个交，点，所以这四个交点每组两个 对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)= 关于y轴一定是对称的，故所有实根之和 g(x),所以y=xf(x)是偶函数. 为0. 对于C,g(-x)=(-x)+f(-x)= 【答案】D x2一f(x),所以y=x2十f(x)为非奇非偶函数. (2)如图，给出奇函数y=f(x)的局部图 对于D,g(一x)=(-x)2f(一x)= 象，则f(一2)+f(一1)的值为 一x2f(x)=-g(x),所以y=xf(x)是奇 函数 【答案】B 【方法总结】 判断函数奇偶性的两种方法 A.-2 B.2 (1)定义法 C.1 D.0 【解析】 跳定定义娥 定义域关 概不是奇函数 由题图知f)=2)=》, 于原点对称 也不是偶函数 又f(x)为奇函数，所以f(一2)+f(一1) 是 [计算几-) -f2)-f1)=- 31 22 =一2.故选A 确定x)与-刘的关系 【答案】A 结论 【方法总结】 (2)图象法 巧用奇偶性作函数图象的步骤 f(x) 关于原点对称 )为奇函数 (1)确定函数的奇偶性， 的图 关于y轴对称 (2)作出函数在[0，十∞)（或（一∞，0]） 八x)为偶函数 上对应的图象。 【注意】 对于分段函数奇偶性的判断， 应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的 (3)根据奇（偶）函数关于原点(y轴)对 函数解析式· 称得出在（一∞，0]（或[0，十∞）)上对应的函 数图象 [对点训练] 下列函数中，既是偶函数又在(0，十∞)上 [对点训练] 单调递增的是 ( 下图是偶函数y=f(x)的局部图象，根据 A.y=x3 B.y=|x|+1 图象所给信息，下列结论正确的是() C.y=-x2+1 D.y=-2 探究点二奇、偶函数的图象 【典例2】(1)已知函数y=f(x)是偶 0 函数，且图象与x轴有四个交点，则方程 A.f(-2)-f(6)=0 f(x)=0的所有实根之和是 () B.f(-2)-f(6)<0 A.4 B.2 C.f(-2)+f(6)<0 C.1 D.0 D.f(-2)-f(6)>0 69 初高中衔接直通车·数学 探究点三利用函数的奇偶性求参数 (2)解析式含参数：根据f(一x)=一f(x) 【典例3】(1)若函数f(x)=a.x2+ 或f(一x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数 bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1, 法求解. 2a],则a= ,b= [对点训练] (2)设函数+l十@为奇函数，则a 若函数f(x)=x2一|x十a为偶函数，则实 数a= 【解析】(1)，函数f(x)在[a一1,2a]上是 [归纳小结] 偶画教，a-1十2a=0,得a=号 1.一个条件：定义域关于原点对称是函数f(x) 又f(-)=fx),即3r2-bx+1+b= 是奇（偶）函数的一个必要不充分条件 2.两个性质：函数为奇函数台它的图象关 名r+b十1+b,对x∈[号，号引均成 于原点对称：函数为偶函数台它的图象 立，.b=0. 关于y轴对称。 (2)f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x), 3.证明一个函数是奇函数，必须对∫(x) 即-x十1)(-x十a)=_(x十1)(x+a) 的定义域内任意一个x,都有∫（一x)= 一f(x).而证明一个函数不是奇函数， 显然x≠0，整理得x2一(a十1)x十a 只要能举出一个反例就可以了. x2+(a十1)x+a,故u十1=0，得a=-1. 4.熟悉常见函数的奇偶性：一次函数y= 【答案】1D号0(2)-1 kx十b(k≠0)，当b=0时是奇函数：当b≠0 【方法总结】 时既不是奇函数也不是偶函数.y=(k≠0) 利用奇偶性求参数的两种类型 为奇函数.y=a.x2十bx十c(a≠0)，当b=0 (1)定义域含参数：奇（偶）函数f(x)的定 义域为[a,b们，根据定义域关于原点对称，利用 时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不 a十b=0求参数. 是偶函数. 学习效果检测©@题 ◆◆◆ A基础巩固练 2.已知f(x)是偶函数，且在区间(0，十∞)上 1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 是增函数，则f(一0.5)，f(一1)，f(0)的大 轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶 小关系是 函数的图象关于y轴对称；④没有一个函 A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) 数既是奇函数，又是偶函数.其中正确命题 B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) 的个数是 C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) A.1 B.2 C.3 D.4 D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) 70 第二篇高中知识预习 3.函数f(x)=+1(x≠0)是 10.设奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数， 且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)<0 A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 的解集为 B.奇函数，且在(0,1)上是减函数 A.(-1,0)U(1,+∞) C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 B.(-∞，-1)U(0,1) D.偶函数，且在(0,1)上是减函数 C.(-o∞，-1)U(1,+∞) 4.已知函数f(.x)为奇函数，且当x>0时， D.(-1,0)U(0,1) f)=+子则f-1D= 11.已知f(x)=4+bx-4,其中a,b为常 A.-2 B.0 数，若f(一2)=2，则f(2)= C.1 D.2 12.已知定义域为R的奇函数f(x)的最大值 5.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数 为2，在(0,1)上单调递增，在[1，+∞)上 和奇函数，则下列结论恒成立的是() 单调递减，且当x>0时f(x)>0, A.f(x)+g(x)|是偶函数 (1)求函数f(x)在（一1,0）上的单调性并 B.f(x)一|g(x)|是奇函数 证明； C.|f(x)|+g(x)是偶函数 (2)求函数f(x)的最小值，并说明理由； D.1f(x)川一g(x)是奇函数 (3)直接写出函数y=f(x一1)十1图象 6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0 的对称中心坐标. 时，f(x)=x2-4x,则不等式xf(.x)>0的解 集为 () A.(-∞，-4)U(4,+∞) B.(-4,0)U(4,+∞) C.(-∞，-4)U(0,4) D.(-4,4) 7.设奇函数f(x)的定义域 为[-5,5].若当x∈ [0,5]时，f(x)的图象如 2 图所示，则不等式f(x)<0的解是 8.函数f(x)=a.x3十2b.x十a一b是奇函数， 且其定义域为[3a-4,a],则f(a)= B能力提升练 9.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且 f(x)在[0，十o∞)上是减函数，若f(a)≥ f(一2)，则实数a的取值范围是() A.a≤-2 B.a≥2 C.a≤-2或a≥2 D.-2≤a≤2 71初高中衔接直通车·数学 第2课时 函数的最大值、最小值 #{$2x+a-# [基础知识整合] 8.解析:f(x)= 1.(1)f(x)<M f(xo)-M (2)最高点 2.(1)f(x)>M f(xo)=M (2)最低点 [新知自主探究 典例1 对点训练 C 由题图知,函数在[一4.-3]上单调递减,在[一3,1]上 单调递增,当x-一3时,f(x)取最小值0 f(-4)-14. 答案:-6 14 典例2 对点训练 B 原画数在[2,3]上单调遂减,所以最小值为3-l 9.D 若不等式-x+a+1>0对一切x(0.]成立, 典例3 对点训练 C 因为函数f(x)在(一o,一2上是减函数,在[-2 &当x(一1,十co)时,函数y是单调递减函数,又当 b_n_-2,所以m= 十)上是增函数,所以x一一 x-2时,v-0,根据题意,当x(n,”]时,y的最小值 2a4 为0.'n-2'实数m的取值范围是-1 n 2 -8,故f(x)-2r2+8x+3. 11.解析:由对勾函数的性质可知/(x)=x十在[1,3]上 所以/(1)-13. [学习效果检测] 单调递减,在(3,8]上单调递增, r+1,-1<x2. 所以/(x)mn=/(3)-6. 1.Dy-lx+11- 1-(c+1)-2<x<-1. 88 y=x+1(-1 2)的最大值为3,y=-(x+1)(-2 所以/(x)mx-10. <-1)的最大值为1,所以函数y=x+1l在[-2,2]上 所以f(x)x+f(x)n=10+6=16. 的最大值为3. 故答案为16. 2.B 因为y--r2+2x-2=-(x-1)②-1,开口向下, 答案:16 对称轴是x-1,故函数在[-1,1]上单调递增,在[1,3] 12.解:任取0 xx1,则 上单调递减,故最大值为一1,最小值为一5,它们的和为 一6. 一(x1-=)2). 3.A 因为函数/(c)的对称轴为x-. 8 .0<r<1. 所以f(c)在 '.xr0.xx>o.f(x)f(x). 80-n} 所以<-2,所以m<-16./(x)m= '.f(x)在(0,1上单调递增,无最小值. 16, 当x-1时取得最大值1. 所以 _80-25- 所以f(x)的值域为(-oo,1]. <-11. 16 16 3.2.2 奇偶性 4.B 注意到分段函数的值域是每支函数值域的并集,显 [基础知识整合] 然①④值域为R,②的值域为(0,1],③的值域为[-11, 1.f(一x)-f(x) y轴 f(一x)-一f(x) 原点 十). 2.(1)增函数 一致(相同)(2)减函数 相反 5.B 由于函数y=f(x)的值域为[1,3], [新知自主探究] 则1<f+2)<3,-6<-2f(x+2)<-2 典例1 对点训练 所以-5<1-2/(x+2)-1. B 根据函数的奇偶性知A,D是奇函数,B,C是偶函 数,当x>0时,y-lxl+1-x+1,所以在(0,十o0)上 6.ABC 因为对称轴为x- 单调递增,y=一x^{②}十1在(0,十)上单调递减。 典例2 对点训练 B 由图象可知,f(2)<f(6),又因为f(x)为偶函数,所以 f$-2)-f(2),所以f(-2)-f(6)0 典例3 对点训练 7.解析:反比例函数y---在x[1,2]上单调递增,则 解析:因为f(x)的定义域为(一,十o),且f(x)为偶 函数,所以/-1)-f(1),即1- -1+al-1-l1+al, 当x-1时,yrin--1. 所以a-1=a+1l,所以a=0 答案:-1 答案:0 102 参考答案 [学习效果检测] g(-2)-f(-2)+4-6,则 (2)--g(-2)--6, g(2)-f(2)+4,所以f(2)--10 故答案为-10. 函数y--是奇画数,但不过原点,故②错; 答案:-10 12.解;(1)f(x)在(一1,0)上单调递增 函数f(x)一0既是奇函数又是偶函数,故④错 证明:Vx,x(-1,0),且x<x,则-x-x2' 2.C 因为函数f(x)为偶函数,所以f(一0.5)一f(0.5). 且-x.-x(0,1). f(一1)一f(1).因为f(x)在区间(0,十oo)上是增函数, ·函数f(x)在(0,1)上单调递增 所以f(0)<f(0.5)<f(1),即f(0)<f(-0.5) .f(-x)>f(-x2). <f(一1). ./(x)为奇函数, 'f(一x)=-f(x),f(-x)=-f(x). 一r .一f(x)一f(x。),即f(x)<f(x). 奇函数,结合对勾函数图象可知函数在(0,1)上是减 '.f(x)在(0,1)上单调递增 函数。 (2)f(x)的最小值为一2. 4.A f(-1)--f(1)=-(1十1)=-2. 理由如下:由题意可知,/(x)的最大值在x一1处取 5.A 由f(x)是偶函数,可得f(一x)一f(x). 得,即f(1)-2, 由g(x)是奇函数,可得g(一x)一一g(x). .当x>0时,0f(x)2. 故|g(x)|为偶函数,所以f(x)十lg(x)|为偶函数. 设x<0,则一x0..0f-x)<2. 6.A 因为f(工)是定义在R上的奇函数,当x>0时 “f(x)为奇函数,..f(一x)一一f(x), f(x)=x2-4xr,所以当x 0时,f(x)--x(x+4),当 .0<-f(x)<2,即-2<f(x)<0. x0时,xf(x)>0→f(x)>0→x{-4x>0→>4. '.f(x)的最小值为一2,且在x--1时取得. 当x<0时,xf(x)>0→f(x)<0→-x(x+4)<0→r (3)函数y-f(x一1)十1图象的对称中心为(1,1). <-4. 理由:由于f(x)为奇函数,所以图象关于(0,0)对称, 所以不等式xf(x)>0的解集为(-,-4)(4,十). 则f(x-1)关于(1,0)对称,进而可得y=f(x-1)+1 7.解析:由于f(x)是奇函数,所以图象关于原点成中心对 图象关于(1,1)对称,故y-f(x一1)十1图象的对称 称,画出/(工)在定义域范围内的图象如图所示,易得 中心为(1,1) f(x)0的解集是(-2,0)U(2,5]. 3.3 寡函数 [基础知识整合] y-fx) 1.y-x*ra 2.奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 减函数 减函数 减函数(1,1) [新知自主探究 答案:(-2,0)U(2,5] 典例1 对点训练 8.解析:因为奇函数的定义域为[3a一4,a]. 解:(1)若f(r)为正比例函数, {12 一1=1,>m1. 所以3a-4+a-0,得4a-4,a-1 则 则 f(x)=r+2bx+1-b. n2+2m去0. 又f(0)-0,得f(0)-1-b-0,则b-1, (2)若((x)为反比例函数, 即f(x)-x+2x,则f(a)-f(1)-1+2-3 答案:3 则 ln2+2n≠0, 9.D 由题意可得lal<2..-2<a2. (n^{+n-1-2, 10.B 因为f(x)为奇函数, (3)若f(x)为二次函数,则 m?十2n0. 所以f(x)-f(-x)=2f(x)<0,即f(x)<0; 又f(1)-0,则f(-1)=0,f(x)大致图象如下 m--1+13 (4)若f(x)为幕函数,则m②十2m-1. 所以n--1士/2. 典例2 对点训练 D 寡函数不过原点,且在第一象限内单调递减,则m^②} -3m-4<0.解得-1<m 4,又m.则m-0,1,2 3.又该函数关于y轴对称,则函数为偶函数,当n-0 所以当f(x) 0时,x(一,-1)U(0,1). 或3时,y=x;当m=l或2时,y-x-,均满足 故选B. 题意。 典例3 对点训练 11.解析:设g(x)-f(x)+4-+bx,g(-x)=- C 当x>1时f(x)>1,即f(x)>f(1),f(x)=x“为 br=一g(x),g(x)是奇函数, 增函数,则。0 103