3.1.2 函数的表示法-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

第二篇 高中知识预习 3.1.2 函数的表示法 基础知识整合 1.函数的三种表示方法 分段函数在书写时要用大括号,把各段函 注意三种表示方法的优缺点 数合并写成一个函数的形式,并写出各段 表示法 定义 的定义域. 用 表示两个变量之间的对 (1)一般地,分段函数就是在函数定义域 解析法 应关系 内,对于自变量x的不同取值范围,有着 用 表示两个变量之间的对应 不同的 图象法 的函数. 关系 (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分 列出 来表示两个变量之间的 列表法 别是各段函数的定义域、值域的 ,各 对应关系 段函数的定义域的交集是 2.分段函数 (3)作分段函数图象时,应分别作出每一段 分段函数的定义域、值域分别是各段函数 的图象. 的定义域、值域的并集 新知自王探-究 探究点一 函数的三种表示方法 【解析】 当0<x<5时,f(x)>x的整 【典例1】(1)某学生离家去学校,一开 数解为(1,2,3. 始跑步前进,跑累了再走余下的路程,下列图 当5 x10时,f(x)x的整数解为/5) 中纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的 当10 x15时,f(x)x的整数解为 时间,则较符合该学生走法的是 ) 当15x<20时,f(x) x的整数解 为. 综上所述,f(x)二x的整数解的集合 是(1,2,3,5. B C A D 【答案】(1,2,3,5) 【解析】由题意可知,一开始速度较快, (3)已知两个函数f(x)和g(x)的定义 后来速度变慢,所以开始曲线比较陵峭,后来 域和值域都是集合(1,2,3,其函数对应关系 曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以 如下表: 开始时距离最大,最后距离为0. 2 1 3 【答案】D fr) 2 3 1. (2)下表表示函数y三f(x),则f(x)>a 2 的整数解的集合是 2 3 ) g(x) 2 3 0<r5 5<<10 10<1515 r<20 1 1。 y-/(c) 8 10 则方程g(f(x))一x的解集为 57 初高中衔接直通车·数学 【解析】 当x=1时,f(1)-2,g(f(1))= 探究点二 求函数的解析式 2,不符合题意; 【典例2】(1)已知函数f(2x+1)= 当x-2时,f(2)-3,g(f(2))-1,不符 C 6x十5,则f(x)的解析式是 ) 合题意; A.f(x)-3x+2 B.f(x)-3x十1 当x-3时,f(3)-1,g(f(3))-3,符合 C. f(x)-3x-1 D. f(x)-3x+4 题意, 【解析】解法一令2x十1-z,则x-(-1. 综上,方程g(f(x))一x的解集为(3》. 【答案】(3 所以f(t)-6×-1+5-3t+2, 2 【方法总结】 所以f(x)-3x十2. (1)函数三种表示方法的选择 解法二 因为f(2x十1)-3(2x+1)+2 解析法、图象法和列表法分别从三个不 所以f(x)-3x十2. 同的角度刻画了自变量与函数值的对应关 【答案】A 系,采用解析法的前提是变量间的对应关系 (2)设函数f(1二)-x:,则f(c)的表达 明确,采用图象法的前提是函数的变化规律 清晰,采用列表法的前提是定义域内自变量 式为 ( ~ 的个数较少, A./(x)-1+x B.f(c)1+ 1- (2)应用函数三种表示方法应注意以下三点 -1 ①解析法必须注明函数的定义域; C.(2)一 D./f(x)-2.x ②列表法必须能清楚表明自变量与函数 值的对应关系; ③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线” 解得-1二#代#/(1二)-# [对点训练] 可得/(t)-1-t. 1.某航空公司规定,乘客所携带行李的质量 1 (kg)与其运费(元)由下图所示的函数图 所以/(c)-1- 1+& 象确定,那么乘客免费可携带行李的最大 【答案】C 质量为 ( ) x运费/元 【方法总结】 求函数解析式的常用方法 630- (1)待定系数法;若已知函数的类型, -2 304050质量/kg 可用待定系数法求解,即由函数类型设出 A.15kg B. 17 kg 函数解析式,再根据条件列方程(组),通 D. 20kg C.19 kg 过解方程(组)求出待定系数,进而求出 函数解析式. 2.观察下表: (2)换元法(有时可用“配凑法”):已知函 -1 2 -3 。 数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用 f(x) 5 -1 -3 1 3 5 换元法(或“配凑法”),即令g(x)一t,反解出 g(x) b. 2 , -2 x.然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出 则f(g(3)一f(-1))= f(x). 58 第二篇 高中知识预习 (3)消元法(或解方程组法):在已知式子 【方法总结】 中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个 1.求分段函数函数值的方法 变量有着某种关系,这时就要依据两个变量 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间 的关系,建立一个新的关于这两个变量的式 (2)然后代入该段的解析式求值,当出现 子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消 f(f(x。))的形式时,应从内到外依次求值, 去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方 2. 已知分段函数的函数值求对应的自变 法叫做消元法(或解方程组法). 量的值,可利用分段函数解析式求得自变量 [对点训练] 的值,但应注意检验函数解析式的适用范围, 也可先判断每一段上的函数值的范围,确定 ) 解析式再求解, A.2十2 B.2-2 [对点训练] C.(x十1)* D.(x-1)* ##0(1) 1.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所 2.已知函数f(x)一 示,不含端点),则/())一 ) #()+()+.+/(1)的值为 探究点三 分段函数求值问题 (x十3,x>10. 【典例3】 (1)f(x)一 f(f(x+5)),10, ( ) 则/(5)的值是 (x十1,x<1. 2.已知函数/(x)二 B.21 A.24 若 r+ax,x二1, C.18 D.16 f(f(0))一4a,则实数a= [x-2. # (2)已知f(x)=x十1,-2<x<4,若 A.2 3x,x二4. C. D.9 f(a)<一3,则a的取值范围为 ( ) B.[-3,十) A.(-3,十) [归纳小结] C.(-,-3) D.(-,-3] 1.函数三种表示法的优缺点 【解析】(1)f(5)=f(f(10)),f(10)一 不够形象,宜观,而且. f(f(15))-f(18)-21,'.f(5)-f(21)=24.故 选A. #法 形真观地表示面红,## 只能迁似求出自交量 点 数的变化墙况 (2)当a<-2时,a<-3..a<-3; , 而且有误差较大 当-2 a<4时,a+1<-3,a -4,此 仅能表示自变量取较 #。 时不等式无解; 当a二4时,3a -3,a -1此时不等 2.分段函数是一个函数,而不是几个函数,只 式无解,故选C. 是对于x的不同取值区间,有着不同的对 (2)C 【答案】(1)A 应关系. 59 初高中衔接直通车·数学 学习效黑临测 A基础巩固练 6.(多选题)如果二次函数的图象关于直线 1. 甲、乙两人在一次赛跑 x一1对称,且过点(0,0),则此二次函数的 解析式可以是 ( 中,从同一地点出发,路 ) 程S与时间的函数关 A.f(x)=c2-1 2 系如图所示,则下列说法 B.f(x)--(x-1)+1 - 正确的是 C.f(x)-(x-1)*+1 ( D.f(x)=(x-1)*-1 A. 甲比乙先出发 7.某班连续进行了5次数学测验,其中王芳 B.乙比甲跑的路程多 同学的成绩如表所示,则在这个函数中,定 C.甲、乙两人的速度相同 义域是 ,值域是 D. 甲比乙先到达终点 次序 2 1 2 4 2.已知f(x)是反比例函数,且f(一3)= 5 ( 一1,则f(x)的解析式为 成绩 145 140 136 0141 145 (2x2-3,0<x<2, 8.已知函数f(x)一 3x.x>2, C. f(x)-3x D. f(x)--3x 若f(x)-5,则x= B能力提升练 。 f(2)-3,则f(-2)= 。 ) B.-7 A.7 2 C.5 D.-5 4.函数y-x的图象是 ###1## 2 C D 10.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关 2 D C 于腰长;的函数,则它的解析式为( ) 5.(多选题)已知函数f(x)的图象由如图所 A.y-20-2x ) ( 示的两条曲线组成,则 B.-20-2x(0 x10) 3) C.-20-2x(5<x10) D.-20-2x(5 <10) 11.已知函数f(x)的图象如图,则f(x)的解 析式为 A./(f(-3))-1 B.f(-1)-3.5 C.函数的定义域是(-oo,0]U[2,3] D.函数的值域是[1,5] 第二篇 高中知识预习 12.已知f(x)=x{}-bx十c 且f(1)=0,f$2)= (2)求(# )的解析式及其定义域 -3. x十1 (1)求f(x)的解析式; 3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性 基础知识整台 1.函数的单调性 续表 如果Vx,x。D,当x 一般地,设函数f(x)的定义域为I.区间DI x。时,都有 ,那么 减 1 就说f(x)在区间D上单调 fx)f) 如果Vx,xD,当x 递减.特别地,当/(x)在它 数 0 21 x。时,都有 ,那 的定义域上单调递减时,我 ☆ 们就称它是 么就称函数/(x)在区间 2用斑 D上单调递增,特别地, 2.函数的单调区间 0&1 当f(x)在它的定义域上 如果函数三f(x)在区间D上 或 单调递增时,我们称它是 ,那么就说函数三f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数 y-/(x)的 新知自王-探究-G。 探究点一 函数单调性的判定与证明 【解析】选项A,C,D中的函数在 【典例1】 (1)下列函数中,在区间 (0,2)上是减函数,只有函数y一r{}十2在 ) (0,2)上为增函数的是 (0,2)上是增函数 A.y-5-x 【答案】B B-x2+2 (2)下列四个函数在(一o,0)上为增函 C.1 D.y-|xl 数的是 & ( ) 61初高中衔接直通车·数学 10.ABD在A中，f(2x)=|2x=2x|,2f(x)=2|x,满 典例3对点训练 足f(2.x)=2f(x):在B中，f(2x)=2x-|2x=2(x |x)=2f(x),满足f(2x)=2f(.x):在C中，f(2x)=2x 1.B由图象知f(x)= x+1,-1<x<0, x-1,0<x<1, +1,2f(.x)=2(x+1)=2x+2,不满足f(2x)=2f(x): 在D中，f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x),满足f(2x)= 所以（哈）=号-1=-号， 2f(x).故选ABD. 11.解析：g(,x)的定义城B=(xx<a十1}，由于A∩B 所以（信）)=(-号)=-号+1=子 ⑦，画数轴： 2.C由题意，f(0)=0+1=1, 所以ff(0)=f1)=1+a=4a,所以a=3 a+】 [学习效果检测] 易得a十1≤4，即a≤3. 1,D由图可知甲与乙跑共同的位移S时，甲用的时间较少 答案：(-0∞，3] 12.解：(1)f3)=3-32 3 13 2.B设f)=兰由-3)=-1，得3-1 1+32 /4)=3-4 1+42171 3-(合) 所以k=3,所以fx)=3 13 +() 3A国为f2)=3,所以2a+台+5=3 3-) 所以2a+名-2， f(g(4)= 1+() -171 f-2)=-2a+2+5=-(2a+2)+5=7. xx≥0， (2)因为f(x) 3-x2 1+r2,则 4.By=|x= 1-x,x<0. f(g(x))=j 3( 5.AD选项A,由图象可得f(-3)=2,所以f(f(-3) 3.x2-1 =f(2)=1,A正确：选项B,图象法只能近似地求出函 1+( x2+1 数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(一1)的确 定值，B错误；选项C,由图象可得函数的定义域为 所以f(x）十f(g(x)= 1+2+32-1 3-x x2+1 [-3,0]U[2,3],C错误：选项D,由图象可得函数的值 3-x2+3.x2-1_2(1+x2) 域为[1,5]，D正确，故选AD, 1+x2 1+x2 =2 6.BD由题意设f(.x)=a(.x-1)2+b(a>0),由于点(0， 0)在图象上，所以a十b=0,a=一b,故符合条件的是 3.1.2函数的表示法 B.D. [基础知识整合] 7.解析：由列表法可知，函数的定义城为{1,2,3,4,5}，值 1.数学表达式图象表格2.(1)对应关系(2)并集 空集 城为{136,140,141,145}. [新知自主探究] 答案：1,2.3.4,5)(136,140,141,145} 典例1对点训练 8.解析：由fr)=5得2x-35或3=5， 1.C由题图知函数的图象是一条直线，可以用一次函数 0≤x≤2， x>2, 表示，设为y=kx十，将点(30,330)，(40,630)代入得k 所以x=2. =30,b=-570,所以y=30x-570,令y=0得x=19. 答案：2 2.解析：g(3)=-4f(-1)=-1,故g(3)-f(-1)=一4 9.Dy=x+lx={x+1x>0, -(-1)=-3,所以f(g(3)-f(-1)=f(-3)=5. x-1,x<0. 答案：5 10.D由题意得y+2x=20,所以y=20-2x, 典例2对点训练 又2x>y,即2x>20-2.x.即x>5. 1.A北（一）看成一个整体，然后对函餐式运用配方 由y>0.即20-2x>0得x<10, 所以5<x<10. 法将式子整理成r(x-）=(-）厂+2，整体替 11.解析：因为∫(x)的图象由两条线段组成，由一次函数 解析式求法可得 换，所以f(x)=x2十2. /x+1,-1≤x<0, 2解折：周为f)=2导，所以f)+f1-) f(x)= -x,0≤x≤1. 导+胃 答案：f(x)= x+1,-1≤x<0. -x,0≤x≤1 所以（合）+()+()++(》 12.解：(1)由f(1)=0,f(2)=-3,得1-b+c=0,4-2b =5×3=15 十c=-3,解得b=6,c=5. 答案：15 .f(x)=x2-6r+5. 100 参考答案 e()(点-声+-青 6.C x<1·解 由已条件到>1不等式等价于 十5.由x+1>0,得定义城为(-1，十o∞). 得-1<x<1,且x≠0. √x+I 7解析：由题图可知，函数f(x)的单调递增区间是（一∞， 3.2函数的基本性质 1)和(1，十∞).一个函数出现两个或两个以上的单调区 3.2.1 单调性与最大（小）值 间时，不能用“U”而应该用“和”或“，”来表示 第1课时函数的单调性 答案：（一∞，1）和(1，十o)否 [基础知识整合] 8.解析：因为f(x)是定义战上的减函数，f(一3)=2，f(1) L.f()<f(x2)增函数f(x1)>f(x)诚函数 =-2,所以当x>-3时，f(x)<2:当x<1时，f(x)> 2.单调递增单调递减单调区间 -2. [新知自主探究] 则当-3<x<1时，|f(x)|<2. 典例1对点训练 答案：（一3,1） DA在R上为减函数，B在(0,2)上为减函数，C在(0， 9.BCD对于A,设f(x)=-x2,则f(-3)=-9,f(2) 十∞)上为减函数 =一4，满足条件f(一3)<f(2), 典例2对点训练 由二次函数性质可得∫(x)在(0,2)上单调递减，A C由-2x+1≥0，得x≤分又-次函数y=-2x十1 正确： 对于B,设f(x)=x,则函数f(.x)在（一2,3）上单调递 为R上的减函数，故f(x)=√一2x十I的单调减区间为 增，但由一次函数性质可得函数「(x)的单调递增区间 (2] 为（一，十∞），B错误： 典例3对点训练 对于C,设画数fx)=,1≤2， 【x-1,2<x<3, 1.D因为f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数，所以2a 由一次函数性质可得函数∫(x)在区间(1,2]和 -1<0,即a<2 (2,3)上均为增函数， 2.C图为函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)> 又f(1.5)=f(2.5),故函数(x)在区间(1,3)上不 f(-m+12),所以2m>-m十12，即m>4. 是增函数，C错误： [学习效果检测] 当x=一1时，函教y=】的函数值为一1，当x=1时， 1.B因为-1<1，故f(-1)>f(1),故A错，B对. 2.Df(x)=-(x-a)2+a2,当a≤1时，f(.x)在[1,2]上 函数y=上的函数值为1， 是减画数gx)=升当a>0时，g)在[1,2]上是减 所以结论画数y=士的单调递减区间是（一，0）U 函数，则a的取值范围是0<a≤1. (0,十0∞)错误，D错误： 3.AB因为函数八)的对称轴为x=得， 故选BCD. 所以f)在[器+o∞)上是追增的， 10.AC根搭题意，了(x)=2r-a=2x+1）-2-a=2 x十1 x+1 所以g<-2,所以m<-16. 牛的国象可以由西款y=一2生的图象狗左平移] 则f(1)=4-m+5=9-m≥25. 个单位长度，向上平移2个单位长度得到.若函数f(x) f(-1)=4十m十5=9+m≤-7 4Ca=0时，f)=-2+1,在区同（仁，号]上为减 --在区月6，十)上单洞递琳，则必有-（2+a) <0且b≥-1，解得a>-2且b>-1. 函数，符合题意：当a≠0时，如果f(x)=ax2一(2-a)z 11.解析：，f(x)=x2-2x+3=(x-1)2十2的对称轴为 a>0, +1在区间(-，]上为减画数，必有？，解 x=1,∴∫(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间 2a [1,4们上单调递增， 2' ∴f(x)mm=f(1)=2:f(x)mx=f(4)=11, 得0<a≤1，综上所述，a的取值范国是[0,1门. 5.B:函数y=f(x)的图象关于x-1对称，且对任意 ∴.f(x)的值域为[2,11门. a西∈(-，1，当≠时都有f）二f)<0. 故答案为[2,11]. 答案：[2,11] r1一Ty ∴y=f(x)在（一o,1门上单调递减，在[1，十∞）单调 12.解：由于f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以∫(2)> 递增，f(0)=f(2), f(0),即4a-8a十b>b,解得a<0.又f(x)图象的对称 3>2>>1.∴f3>f2>f(受）) 轴为直线=-=2，所以上在区间[0,2]上的位 f(3)>f0)>f()故选B. 域与[2,4]上的值域相同，所以满足f(m)≥f(0)的m 的取值苑围是0≤m≤4， 101