3.1.1 函数的概念-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

第二篇 高中知识预习 第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1 函数的概念 基础知识整合 1.函数的概念 一般地,设A,B是非空的 ,如果对于集合A中的 ,按照某种确定的对应 概念 关系/,在集合B中都有 确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到 集合B的一个函数 对应关系 y-/(x),xA 三要素 定义域 的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合f(x)xA 注意区间端点的开闭 设a,bER,且a<b,规定如下; 定义 名称 符号 数轴表示 rla<r<b) 闭区间 (xla<x<b) 开区间 xa<x<b) 半开半团区间 (xla<x<b) 半开半闭区间 xlxa) [,) (xlx>a (a,十) xlx<a) (-。o,a] (xl<a (-o.a) R (一,十) 2.同一个函数 (1)前提条件:①定义域 ;②对应关系 (2)结论:这两个函数为同一个函数 3.常见函数的值域 (1)一次函数f(x)一ax十b(a关0)的定义域为 ,值域是 (2)二次函数f(x)=ax}十bx十c(a去0)的定义域是 [4ac-b2② 当a>0时,值域为 4a 53 初高中衔接直通车·数学 新知自土探究 探究点一 函数关系的判断 N,对于下列四个图象,不可作为函数y 【典例1】下列对应关系是集合A到B f(x)的图象的是 的函数的是 ( ) A.A=R,B={l >0},f:→y= B.A-R,B=R,f:→y= CA-(2,B=(-2,2),f:→=r C B D A D.A={l-1<<1 ,B=0 ,f:→ 探究点二 求函数的定义域 -0 (1)函数f(x)-2x-1 【典例2】 的定 【解析】 对于A选项,A中的元素0在 2-1 义域为 ( B中没有对应元素,不是函数;B选项中A集 ) 合中负数没有平方根,不是函数:C选项中集合 A.{## A中的元素2在集合B中有两个元素士/2与之 B.(x|x>1 对应,不是函数,D选项符合函数的概念 C.#{#<_1 【答案】D 【方法总结】 D.{-1<#>1# 判断一个对应关系是否为函数的步骤 (1)判断A,B是否为非空实数集, (2)设全集为R,函数f(x)一/2一x的定 (2)判断A中任一元素在B中是否有元 义域为M,则C.M为 ( ) 素与之对应, A.(xlx>2 B.(xlx<2) (3)判断A中任一元素在B 中是否有唯 C.x:<2 D.(x|x>2 一确定的元素与之对应, 【解析】 (1)要使函数有意义,自变量。 【提醒】函数定义中强调“三性”:任意 2x-1二0. x二 性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的 的取值必须满足 解得 任意一个(任意性)数文都有(存在性)数集B r-1-0, x子士1, 中唯一(唯一性)的数v与之对应,这“三性” 只要有一个不满足,便不能构成函数。 [对点训练] (2)自变量x的取值必须满足2一x0. 即x<2, 1.下面对应是函数关系的是 '.M=>2..l.M=x>2. (1)y-1(xER); 故选A. (2)y-士g(x0); 【答案】 (1)C(2)A (3)→2. ,0,:-R; 【方法总结】当函数解析式较复杂,要 (4)路程s与时间,之间的关系 先确定全部限制条件,依次列出不等式或不 $.设M= xl-2<x<2 ,N=yl0< 等式组,再分别求出每个不等式的解集,最后 2),函数y=f(x)的定义域为M,值域为 求出这些集合的交集,即为函数的定义域 54 第二篇 高中知识预习 探究点三 判断是否同一个函数 (2)函数是两个数集之间的对应关系,所 【典例3】下列四组函数中,表示同一函 以用什么字母表示自变量、因变量是没有限 数的是 ( ~ 制的. A.f(x)-|xl,g(x)-x*} (3)在化简解析式时,必须是等价变形 B.f(x)-x2,g(x)-(x十1)2 [归纳小结] C./(x)2-1 -1'g(x)-x+1 D.f(x)-十1·-1,g(x)--1 1.函数的本质:两个非空数集间的一种确定 【解析】对于A,因为g(x)一x^{}= 的对应关系,由于函数的定义域和对应关 x,f(x)一x,所以两函数为同一函数; 系一旦确定,值域随之确定 对于B,f(x)=x^{}和g(x)=(x十1)*}的$$ 2.定义域是一个集合,所以需要写成集合的 对应关系不同,所以两函数不是同一函数; 形式,在已知函数解析式又对x没有其他 对于C,函数f(x)的定义域为 限制时,定义域就是使函数式有意义的。 (xx关1 ,而函数g(x)的定义域为R,两函 的集合. 数定义域不同,所以两函数为不同函数; 对于D,函数f(x)的定义域为 3.对区间的几点认识 (xx二1,而函数g(x)的定义域为xx (1)区间是集合,是数集,区间的左端点必 一1或x二1,两函数定义域不同,所以两函 须小于右端点. 数为不同函数. (2)用数轴表示区间时,用实心点表示包括 【答案】A 在区间内的端点,用空心点表示不包括在 【方法总结】 区间内的端点. 判断两个函数为同一函数应注意的三点 (3)在用区间表示集合时,开和闭不能混淆 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个 (4)“o”是一个符号,不是一个数,它表示 不相同就不是同一函数,即使定义域与值域 都相同,也不一定是同一函数, 数的变化趋势 学习效黑一临一测- A.(-~) A基础巩固练 1B.(-} 1.下列能表示函数y一f(x)图象的是( C.(2,十) D.) ## #### 3.函数/(c)-1-T的定义域为 7-3 A C B D A.[1,十) 2.不等式3x一2二0的解集用区间表示为 B.(1,十oo) ( ). C.[1,3)(3,+) D.(1,3)U(3,+) 55 初高中衔接直通车·数学 4.函数f(x)=x^{}-2x(xE[-1,2])的值 B能力提升练 域是 ( ) 9.(多选题)已知函数y=x②-2x十2的值域 A.[-1,0] B.[o,3] 是[1,2,则其定义域可能是 ( ) C.[-1,3] D.[-1,+) A.(-1,1] B.[0,1] C. 5.函数f(x)--2x^{}-3x+2的定义域为 D.(1,2] ( A. 2. 10.(多选题)下列函数中,满足f(2x)= 2/(x)的是 ) B.(-0,-2],) A.f(x)=lxl B.f(x)-x-lxl C.f(x)=x十1 D.f(x)--x C. 11.已知集合A={xx4,g(x)= 1-xa D.(-,(20) 的定义域为B,若AOB一,则实数a的 取值范围是 6.若函数f(x)=(a^{}-2a-3)x^{}+(a-3)x+1 的定义域和值域都为R,则下列关于实数 12.已知函数f()_3-} ( a的说法正确的是 ) (1)求f(3),f(4),f(g(3))及f(g(4)) A.a--1或a-3 B.a--1 的值; C.a>3或a<-1 D.-1<a<3 (2)求f(g(x)),并证明f(x)十f(g(x)) 7.若函数f(x)=mx^}十mx十1的定义域为 是常数. R,则实数n的取值范围是 8.已知函数f(x)=一x-6的定义域为集 合A,函数g(x)=x^{②-2x-a,x[-1,4 的值域为集合B,若AUB一R,求实数 的取值范围 56参考答案 a=1, [学习效果检测] b-a=0, 由待定系数法可知， 1c-b=-2. 解得a=1,b=1,c=一1， 1.D对于A,B,C,并不是所有的x都有唯一的y值与之 对应，故A,B,C错误：对于D,每个x都有唯一的y值 -c=1, 与之对应，D正确.故选D 所以(x-1)(x2+x-1)=0, 即x=1或x2+x一1=0，则方程的根为x1=1,x2= 2D由-2>0得≥号用区间表示为[号十)故 =-15 -1+5 选D 2 2 3.C由题意得：一10解得≥1且r≠3，即定义城 (2)①由ao十a1+a2十a3=1可知，x=1是方程x x-3≠0， (a0十a1x+a2.x2+aax3)=0的一个根， 为[1,3]U(3,+∞).故选C. 所以x-(a0十a1x十a2.x2十agx3)=(x-1)(a.x2+bx十c） 4.C因为f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,且f(x)的图象 =a.x3+(b-a)x2+(c-b).x-c, 开口向上，对称轴为直线x=1,所以当x=1时，f(x)有 即-a3x3-a2x2-(a1-1)x-ao=a.x3+(b-a)x2+ 最小值一1，当x=一1时，f(x)有最大值3.故选C. 5.A由函数表达式可知，函数要有意义需满足一2x2 (c-b)x-c. 对照系数得a=-a3,-42=b-a,一(a1一1)=c一b +2≥0，解得-2≤r≤，所以画数) -ao=-c,故a=-a3,b=-(a2十ag)=(a0十a1) 1,c=a0· V一27-x+2的定又线为[-2，号] 所以x-(a0十a1x十a2.x2+agx3) 故选A. =(.x-1)[-a3x2-(a2十a3)x+a0] 6.B:f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和 =-(x-1)[agx2+(a2+a3)x-ao]. 值域都为R, ②证明：令f(x)一x=0, a2-2a-3=0·解得a=-1.故选B. a-3≠0， 即(a0+十a1x+a2x2+agx3)-x=0, 7.解析：f(x)=√mx2+mx+1的定义域为R, 点P(xy)是y=f(x)的图象与直线y=x在第一 ∴.对任意x∈R,mx2十mx十1≥0恒成立. 象限内离原，点最近的交点， 当m=0时，1>0恒成立，满足题意： 等价于x0是方程(ao十a1x十a2.x2十a3x3)-x=0的 m>0, 最小正实根， m>0·即 当m≠0时，有△≤0， m2-4m≤0， 由①知：x=1是方程x-(a0十a1x十a2x2十a3x3)=0 解得0<m≤4. 的一个正实根， 综上，实数m的取值范围为[0,4]， 且(ao+a1x+a2.x2+agx3)-x=(x-1)[a3.x2+ 答案：[0,4] (a2+a3).x-a0], 8.解析：由x”-x-6>≥0，得x≤-2或x≥3， 设g(x)=ax2+(a2十a8)x-ag,由apa1,a2a3∈ 所以A=(-∞，-2]U[3,+o∞). R+可知g(x)为开口向上的二次函数， 由g(x)=x2-2x-a=(x-1)2-1-a(-1≤x≤4)，得 又因为g(0)=一a0<0,则g(x)一定有一正、一负两 一1一u≤g(x)8-a, 个实根，设正实根为t,又a0十a1十a2十a3=1, 所以B=[-1a,8-a]. 可得a0=1-(a1十a2十ag),所以g(1)=a3十 因为AUB=R,所以 |-1-a≤-2， (a2+a3)-ao=3a3+2a2+a1-1, 8-a≥3， 当a1+2a2十3a3≤1时，g(1)≤0， 由二次函数单调性可知1≥1，即x=1是方程x 解得印1 (ao十a1x十a2.x2十aax3)=0的最小正实根. 所以实数a的取值范国为[1,5]. 故当a1+2a1+3a3≤1时，x0=1. 9.BC函数y=x2-2x+2=(x-1)2+1, 第三章函数的概念与性质 当定义战是（一1,1门时，函数单调递减， 3.1函数的概念及其表示 当x=1时，ymm=1,当x=一1时，y=5,故其值城为 [1,5),A不符合题意： 3.1.1函数的概念 当定义域是[0,1]时，函数单调递减， [基础知识整合] 当x=1时，ymin=1,当x=0时，ymax=2,故其值城为 1.实数集任意一个数x唯一x[a,b们(a,b)[a,b) [1,2],B特合题意： (a,bJ2.(1)相同相同3.(1)RR(2R [新知自主探究] 当定义践是[片]时西教在[子] 上单调递减，在 典例1对点训练 (1,2单调递增， 1.解析：(2)不是函数关系，如当x=4时，y=士2，其不满 当x=1时，ymim=1,当x=2时，ymmx=2,故其值域为 足函数的定义，而(1)(3)(4)是函数关系. [1,2],C符合题意： 答案：(1)(3)(4) 当定义城是(1,2]时，函数单调递增， 2C由函数定义可知，任意作一条直线x=a,则与函数的图象至 当x=1时，y=1,当x=2时，ymmx=2.故其值战为 多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数 (1,2,D不符合题意，故选BC. 99 初高中衔接直通车·数学 10.ABD在A中，f(2x)=|2x=2x|,2f(x)=2|x,满 典例3对点训练 足f(2.x)=2f(x):在B中，f(2x)=2x-|2x=2(x |x)=2f(x),满足f(2x)=2f(.x):在C中，f(2x)=2x 1.B由图象知f(x)= x+1,-1<x<0, x-1,0<x<1, +1,2f(.x)=2(x+1)=2x+2,不满足f(2x)=2f(x): 在D中，f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x),满足f(2x)= 所以（哈）=号-1=-号， 2f(x).故选ABD. 11.解析：g(,x)的定义城B=(xx<a十1}，由于A∩B 所以（信）)=(-号)=-号+1=子 ⑦，画数轴： 2.C由题意，f(0)=0+1=1, 所以ff(0)=f1)=1+a=4a,所以a=3 a+】 [学习效果检测] 易得a十1≤4，即a≤3. 1,D由图可知甲与乙跑共同的位移S时，甲用的时间较少 答案：(-0∞，3] 12.解：(1)f3)=3-32 3 13 2.B设f)=兰由-3)=-1，得3-1 1+32 /4)=3-4 1+42171 3-(合) 所以k=3,所以fx)=3 13 +() 3A国为f2)=3,所以2a+台+5=3 3-) 所以2a+名-2， f(g(4)= 1+() -171 f-2)=-2a+2+5=-(2a+2)+5=7. xx≥0， (2)因为f(x) 3-x2 1+r2,则 4.By=|x= 1-x,x<0. f(g(x))=j 3( 5.AD选项A,由图象可得f(-3)=2,所以f(f(-3) 3.x2-1 =f(2)=1,A正确：选项B,图象法只能近似地求出函 1+( x2+1 数值，且有时误差较大，故由图象不能得出f(一1)的确 定值，B错误；选项C,由图象可得函数的定义域为 所以f(x）十f(g(x)= 1+2+32-1 3-x x2+1 [-3,0]U[2,3],C错误：选项D,由图象可得函数的值 3-x2+3.x2-1_2(1+x2) 域为[1,5]，D正确，故选AD, 1+x2 1+x2 =2 6.BD由题意设f(.x)=a(.x-1)2+b(a>0),由于点(0， 0)在图象上，所以a十b=0,a=一b,故符合条件的是 3.1.2函数的表示法 B.D. [基础知识整合] 7.解析：由列表法可知，函数的定义城为{1,2,3,4,5}，值 1.数学表达式图象表格2.(1)对应关系(2)并集 空集 城为{136,140,141,145}. [新知自主探究] 答案：1,2.3.4,5)(136,140,141,145} 典例1对点训练 8.解析：由fr)=5得2x-35或3=5， 1.C由题图知函数的图象是一条直线，可以用一次函数 0≤x≤2， x>2, 表示，设为y=kx十，将点(30,330)，(40,630)代入得k 所以x=2. =30,b=-570,所以y=30x-570,令y=0得x=19. 答案：2 2.解析：g(3)=-4f(-1)=-1,故g(3)-f(-1)=一4 9.Dy=x+lx={x+1x>0, -(-1)=-3,所以f(g(3)-f(-1)=f(-3)=5. x-1,x<0. 答案：5 10.D由题意得y+2x=20,所以y=20-2x, 典例2对点训练 又2x>y,即2x>20-2.x.即x>5. 1.A北（一）看成一个整体，然后对函餐式运用配方 由y>0.即20-2x>0得x<10, 所以5<x<10. 法将式子整理成r(x-）=(-）厂+2，整体替 11.解析：因为∫(x)的图象由两条线段组成，由一次函数 解析式求法可得 换，所以f(x)=x2十2. /x+1,-1≤x<0, 2解折：周为f)=2导，所以f)+f1-) f(x)= -x,0≤x≤1. 导+胃 答案：f(x)= x+1,-1≤x<0. -x,0≤x≤1 所以（合）+()+()++(》 12.解：(1)由f(1)=0,f(2)=-3,得1-b+c=0,4-2b =5×3=15 十c=-3,解得b=6,c=5. 答案：15 .f(x)=x2-6r+5. 100