2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

初高中衔接直通车·数学 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 基础知-识整合- 1.一元二次不等式 未知数,并且未知数的最高次数是 一般地,我们把只含有 的不等式,称为 一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是 或ax{}十bx十c<0,其中a,b, 均为常数,a关0. 2.二次函数的零点 一般地,对于二次函数y-ax^{}士bx十c,我们把使ax{}士bx十c=0的 叫做二次函数 y-ax*十bx十c的零点. 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △-0 △0 ##⊙ # y-ax2十bx十c(ao) 的图象 0-* 有两个不相等的实数根x, 有两个相等的实数根 ar+bx十c-0(a>0) 没有实数根 的根 2() 2-2- ar2+bx十c>0(a>0) 2## (xl或x>) 的解集 ar+bx十c<0(a>0) xlx.<x<x # 的解集 新知自王-探一究 探究点一 解不含参数的一元二次不等式 【解析】不等式-2x*十x十3<0可 【典例1】(1)不等式-2x*+x十3<0 化为2r*-x-3>0,因为△-(-1)-4×2x ) ( 的解集是 (-3)-25>0,所以方程2x2-x-3-0的两 A.xx-1 B.{#}# x-3的图象开口向上,所以不等式一2x*十 C.{#1一1#}# x+3<0的解集是({1<一13}),故 选D. D.{#1或x3# 【答案】 D 46 第二篇 高中知识预习 (2)不等式(3x-2)(2-x)>0的解集是 探究点二 解简单的分式不等式 ( ) #A#{##2# ( ) B.#{^{} #A#{#)1)# C.### B.{#### D.####2# C##1 【解析】原不等式等价于(x-)(x-2)<o, D.{01}## 4+20(4.x+2)(3.x-1)> 【解析】 3-1 【答案】A 【方法总结】 ####) 解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够 【答案】 A 因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积 ( 形式,则可以直接由一元二次方程的根及不 。 等号方向得到不等式的解集, A.(xx>1 (2)若不等式对应的一元二次方程能够 B.(x-1x<2 化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始 C.{#-11)# 终大于或等于零,则不等式的解集易得 (3)若上述两种方法均不能解决,则应采 #D.{# -1}# 用求一元二次不等式的解集的通法,即判别 式法. [对点训练] 1-2 0=(x+1)·(1-2x)<0=(2x-1)· 解下列不等式: 2+1 (1)2+3x-2x*>0; (2)x(4-x)x(x+3)-3. 【答案】C 【方法总结】 (1)对于比较简单的分式 不等式,可直接转化为一元二次不等式或一 元一次不等式组求解,但要注意分母不为零, (2)对于不等号右边不为零的较复杂的 分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使 之转化为不等号右边为零,然后再用上述方 法求解。 A7 初高中衔接直通车·数学 [对点训练] ax{+bx+c>0(或<0)(a0)的解集端点 方程ax}+bx+c=0(a 0)的根 (1)不等式-1→2的解集为 数y-ax{+bx+c(a≠0)的零点 [对点训练] (2)不等式ax <1的解集为x|x<1或 -1 若不等式ax②+5x-2>0的解集是 x>2,那么a的值为 探究点三 三个“二次”之间的关系 的解集为 【典例3】(1)若不等式(x-a)(x-b)<0 的解集为x1 x<2,则a十6的值为 [归纳小结] ( ~ 1.解一元二次不等式的一般步骤是 A.3 B.1 (1)化为标准形式;(2)确定判别式 C.-3 D.-1 A=b}一4ac的符号;(3)若A>0,则 【解析】因为不等式(x-a)(x-b)<0的解 求出该不等式对应的二次方程的根, 集为x1 x2,所以1和2为方程(x-a)· 若△<0,则对应的二次方程无根; a-1,.a-2, (x一b)一0的两个根,则有 或 (4)联系二次函数的图象得出不等式 6-2,6-1. 的解集,特别地,若一元二次不等式的 所以a+b-1+2-3,即a十b的值为3 左边的二次三项式能分解因式,则可 【答案】A 立即写出不等式的解集(在两根之内 (2)已知关于x的不等式x一ax十 或两根之外). 2a0在R上恒成立,则实数a的取值范 2.解一元二次不等式,应首先尝试因式分 围是 解法,若能够进行因式分解,那么在解含 【解析】因为不等式x{②-ax十2a>0 参数的不等式时,就可以避免对△<0 在R上恒成立,所以△=(一a)-8a<0,解 的讨论. 得0a8. 3.解不等式的过程实际上就是不断转化 【答案】 0<a_8 的过程,是同解不等式的逐步代换,基 【方法总结】 本思路是代数化、分式整式化、有理化 三个“二次”之间的关系 低次化、低维化,最后转化到可解的常 (1)三个“二次”中,二次函数是主体,讨 见一元一次不等式、一元二次不等式 论二次函数主要是将问题转化为一元二次方 上来. 程和一元二次不等式的形式来研究, 4. 当一元二次不等式ar*十bx十c>0(a>0)的解 (2)讨论一元二次方程和一元二次不等 集为R时,意味着ax十bx十c>0恒成立.由 式又要将其与相应的二次函数相联系,通过 图象可知:关于这类恒成立问题只需考虑开口 二次函数的图象及性质来解决问题,关系 方向与判别式△即可 如下: 48 第二篇 高中知识预习 学习效黑-检测-G A基础巩固练 8.对任意-2<a<3,不等式x2+(a-6) 1.(多选题)下列不等式中是一元二次不等式 9一3a>0恒成立,则x的取值范围 ) 为 的是 ( A.(n十1)x?>x B能力提升练 B.-x*+5x十6>0 9.当a<0时,不等式42x^{}十ax-a②2<0的解 集为 ( C.(x十a)(x十a十1)<0 ) ##{#### D.2x-x>2 2.若集合A-{x ar^{}-ax+1<0 =,则$ .{####}# 实数a的取值范围是 ( ) B.{a0a<4) A.(a0<a<4 C.{4### C. al0<a<4 D. al0>a<4 D. _ 10.在R上定义运算⊙;a⊙b-ab十2a+b,则 A.xx<-1或x>1 满足x⊙(x一2)<0的实数x的取值范 围是 B.x|x>1) ( ) C.x2<-1) A.(xl0<x<2) D.x -1<x<1 B.x|-2<x<1) 4.已知集合M={x|x<4},N={x|- C.xx<-2或x>1 _~ 2x-3<0,则集合MON ( D.x-1<r<2 A.xlx<-2) B.(xx>3 11.若a<0,则关于x的不等式a(x十1)· C.(x-1<x<2 D.(x|2<x<3 (+)<的解集为 5.不等式x(x-9)<x-21的解集为( 12.关于x的方程x{-2(m+2)x+m{}-1=0.$ A.(3,7) (1)n为何实数时,方程有两正实数根? B.(-,3)U(7,+) (2)n为何实数时,方程有一正实数根、一 C.(-7,-3) 负实数根? D.(-,-7)U(-3,+) 6. 关于x的不等式x②}十ax-3<0的解集为 (一3,1),则不等式ax^{}十x-3<0的解 集为 ( B.(61) A.(1,2) C.(-1,1) D.(-,1) 7. 不等式x^*}-2x-5 2x的解集$ 是 Ag初高中衔接直通车·数学 时等号成立故(+） =3,所以a+1≤3→a≤ 1.解：由于2+1-a-(-2）厂+>0，①恒 2,即实数a的取值范国为{aa≤2}.故选A. 成立： 6.D4=a十b≥2√ab(当且仅当a=b时，等号成立)，即 由于(a+)b+)=a+++号≥ √ab≤2，ab≤4 11 "ab 选项AC不成立：日+ +288-4 2ab· 出-1，选项B不成立a2+b=a+6-2ab= 1 16-2ab≥8. 当且仅当 ab-ab' 7.解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a,b,则 - E+1=a+6+v+≥2瓜+V2.解得ab 即Q=b=1时，等号成立，故②恒成立； 当且仅当a=b=号时取“=”，所以直角三角形面积S 2 南a+(日+)=2++≥2+2，合·号 2ab≤即S的最大值为 4当且仅当名一合中a=6时等号成立，收③位成 答案： 当a=3时，a2十9=6a,故④不恒成立. 综上，①②③正确. 8.解析：设矩形的一边为xm,矩形场地的面积为ym,则 答案：①②③ 另-边为2×(20-2x)=(10-xm, 12.解：设平行线段长为xm,半圆形直径为dm,中间的 矩形区域面积为Sm2, 则y=x(10-x)≤ 「+(10-x)72 22=25, 由题意可知S=xd,且2x十πd=400, 当且仅当x=10一x,即x=5时，ymx=25. 所以S=xd= ×d×2≤(4生2=00。 π 答案：25 9.BDa2-2a+1=(a-1)2>0, 当且仅当d=2x=200,即4=200 x=100时，等号成立. a2十1≥2a,故A不正确； 所以当平行线段的长设计为100m时，中间矩形区域 当>0时，+-+>2〔售且收当x=1时取 x 的面积最大，最大为20000 2. “=”) 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 当x<0时，x+=-r-上≥2（当且仅当x=-1 [基础知识整合] 1.一个2a.x2+bx+c>02.实数x 时取“=”)，B正确： [新知自主探究] 若a=6=-1,则9+ =-2<2,故C不正确： 典例1对点训练 Jab 解：(1)原不等式可化为2x2-3x-2<0, 十中2+1+一1≥1当且收当0时取 x2+ 所以(2.x十1)(x-2)<0. “=”),故D正确. 故原不等式的解集是-<1<2 10.ABCa>0,b>0,a+2b=1. (2)原不等式可化为2x2-x-30. 对于A,1=a+26≥2V2ab,当且仅当a=2b=号时￥ 所以(2x-3)(r+1)0, 号成立，于是ab≤日A正确： 故原不等式的解桑是{女≤-1或≥} 对于B心2+=a+2)”生a=2》2≥号，当且仅 典例2对点训练 2 0)解析>2化为-220，即10。 当a=2b=2时等号成立，B正确： 对于C,显然a+b>b>0,则ab+b2=b(a十b)< 它等称千80-10 所以原不等式解集为{x一1≤x<0}. 2 答案：{x一1≤x<0} 对于D.显线a=号6=时满是。>0.b>0a+2 (2)解析：晋<1化为当1<0， 的条#西2牛。2X上十二6>60辑现 a-1》r+1<0,等价于[(a-1)x+1J(x-1)<0. x-1 所以(a-1).x2-(a-2).x-1<0. 因为不等式的解集为{xx<1或x>2}, 故选ABC. 所以1,2是方程(a-1)x2-(a-2).x-1=0的两个根. 96 参考答案 1+2-a-2 即x的取值范围为{xx<0或x>5}, a-1 所以 解得a=2 1 答案：{xlx<0或x>5} 1×2= 1 9.A不等式化为(6.x十a)(7x-a)<0, a-7 答案：7 “a<0d-台>号，故选A 10.B由题意知x⊙(x-2)=x2+x-2, 典例3对点训练 ∴.x2+x-2<0,解得-2<x<1. 解折：由已知条件可知u<0,且宁2是相应方程a十 11.解析：因为a<0,所以原不等式等价于(x十1)· 55 (e+日)>0，方程+D(c+日）=0的两根为-1 2 5x一2=0的两个根，由根与系数关系得 解 =1, -日，里线一>0>-1，所以原不等式的解象 得a=-2. 为x>-或x<-1 所以ax2-5r+a2-1>0化为2x2+5.x-3<0,化为 (2x-1D6x+3)<0,解得-3<< 答案：{女>-或x<-1 12.解：(1)由己知，得 所以不等式的解集为工 -3<x<2 4=8-4ac=4(m+2)2-4(m2-102≥0， x1十x2=2(m+2)>0, 答案：x x1x2=m2-1>0, [学习效果检测] 1.BCD由一元二次不等式的定义可知，B、C、D为一元 解得-是≤n<-1我m>, 二次不等式 即m的取值范国是-马≤m<-1或m>1 2.D由题意知a=0时，满足条件. 4>0, 0时，由信：-n≤0释0a< (2)由已知，得 x1x2=m2-1<0, 所以实数a的取值范围是{a0≤a≤4. 解得-1<m<1. 小国为名<1所以名 所以m的取值范围是一1<m<1. 8品-1K0,脚号0，道不 章末检测（二） 等式可化为(x十1)(x-1)>0,所以x<-1或x>1. 1.Dab≠0且a<b. 4.C由已知，集合M={xlx2<4}={x-2<x<2},N A.取a=-3,b=2,可知A不正确： ={x.x2-2.x-3<0)={x|-1<x<3}, B.取a=-3.b=2,可知B不正确： 所以M∩N=(.x|-1<x<2. C.取a=1,b=2,可知C不正确： 5.Ax(x-9)<x-21,.x2-10x+21<0, D.a<b,∴.-a>-b,可知D正确. .(x-3)(x-7)<0,解得3x<7,故选A. 2.B原不等式等价于x2十5x-14>0, 6.D因为x2+a.x-3<0的解集为(-3,1)， 所以(x+7)(x-2)>0, 所以-3,1是方程x2+a.x一3=0的两根， 即x<一7或x>2,故选B. 由韦达定现可得仁a=2 a.A:>03-是-x=3-(+小3-2=， 所以不等式a.x2+x-3<0为2.x2+x-3<0, 当且仅当=即x=1时，取等号 即(2x+3)一1)0，解得-2r<1 4.Cm=8-n,m>0,n>0. .8=m十1≥2√mn,解得mn≤16， 故所求解系为（一21），故选D 当且仅当m=n=4时取等号.则m的最大值为16.故选C 7.解析：由x2-2.x-5>2x得x2-4x-5>0, 5.A,a.x2-5x+b>0的解集为{.x-3<x<2}, 因为方程x2-4x一5=0的两根为-1,5. ∴a.x2-5.x+b=0的根为-3,2， 故不等式x2-4x-5>0的解为x<-1或x>5. 即-3+2=吕-3X2=名解得a=-56=30, 答案：{xlx<-1或x>5} ∴.a十b=-5+30=25.故选A. 8.解析：设f(a)=x2+(a-6)x+9-3a=(.x-3)a+x2 6.B7.C 6.x十9，由已知条件得 Jf(-2)=-2.x+6十x2-6.x+9>0. 8.C设原价为1， 对于①，降价后的价格为：(1一a%)(1一b%), f(3)=3.x-9+x2-6x+9>0, {-8x15>0所以3或r之5 即2-3x之0. 对于@.降价后的价格为：[1-（士）为·1-0。 x<0或x>3. 所以x<0或x>5. 对子③.降价后的价格为：[1-（空）%]， 97