2.2 基本不等式-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

初高中衔接直通车·数学 2.2 基本不等式 基础知识整。 1.两个不等式 基本不等式表明:两个正数的算术平均数 不等式 等号成立条件 内容 不小于它们的几何平均数 2.基本不等式与最值 当且仅当 a6& 已知x,v都是正数, 重要不等式 2ab(a,bER) 取“一” (1)如果积xy等于定值P,那么当x= 时,和x士有最小值2。/P 当且仅当 ab (2)如果和x十y等于定值S,那么当x=y 基本不等式 (a>0,bo) , 2 取“一” a叫做正数a,b的算术平均数ab叫做 温馨提示:从上面可以看出,利用基本不等 2 式求最值时,必须有①x,v>0,②和(积) 正数a,的几何平均数 为定值,③存在取等号的条件。 新知自王探究C 探究点一 基本不等式的简单应用 (2)因为0<a<1,0<b 1,去b.$ 所以a+b<2,a^{}+b>2ab,而a^{}+b}$ 【典例1】 (a十b)-a(a-1)+b(b-1) n=2-b(b去0),则n,n之间的大小关系是 因为0 a<1,0 6<1. 所以a(a-1)<0,b(b-1) 0. 所以a{2十b2-(a十b)<0, (2)若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a十 即{}十b<a+b,所以2最大。 $,2,2ab,a^{?}十^*}中最大的一个是 【答案】(1)mn(2)2 【解析】 (1)因为a>2,所以a-2>0; 【方法总结】 +2. 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 -2 a-2 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注 所以m2# /(a-2).- 意观察其形式(和与积),同时要注意结合函 -2+2-4. 数的性质(单调性). 由$去0,得6^{}关0,所以2-^{}<2,$ (2)利用基本不等式时,一定要注意条件 2-<4,综上可知m>n. 是否满足a>0,b>0 第二篇 高中知识预习 [对点训练] 5-4x' 号成立. 已知a,b,c都是非负实数,试比较/a^{}+6^+ #+c^}+c+a^{}与、/②(a+b十c)的大小. (2)解法一 52 +40012- 当且仅当 &5y5x 号成立,所以3x十4y的最小值是5. 解法二 3y 由x十3y=5xy,得x= 5-1 $3(--1)+0}4 9y 5(3-) 探究点二 利用基本不等式求最值、范围 【典例2】(1)若x5. #.,则(.x)-4x .0. 4y- #-# 4x-5 -的最大值为 (2)若正数x:y满足x+3y=5xy,则 当且仅当y- 3x十4y的最小值为 【解析】 所以(3x十4y)-5. 【答案】 (1)1 (2)5 所以5-4x>0. 【方法总结】 4r-5 利用基本不等式求最值的方法 5-4x 利用基本不等式解决条件最值的关键是 -2+3-1. 构造和为定值或积为定值,主要有两种思路: 2 初高中衔接直通车·数学 (1)常用构造定值条件的技巧变换:①加 【解析】 (1)x+2y=(x+2y). 项变换;②拆项变换;③统一变元;④平方后 (21-2+4++2>8,当且仅当4 2 利用基本不等式 王,即4y2-x{时等号成立. (2)条件变形,进行“1”的代换求目标函 数最值. 由x+2ym②+2m恒成立, 可知m{}+2m 8,m^}+2m-8 0 【易错警示】 使用基本不等式求最值, 解得-4<m<2. “一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. (2)因为x>0,a>0. 【提醒】 1.利用基本不等式求最值,一 定要注意应用条件; 当且仅当4-,即4^{②}-a时f(x)取 2.尽量避免多次使用基本不等式,若必 2 须多次使用,一定要保证等号成立的条件 得最小值,因为x-3,所以a-4×3^{②}-36 【答案】(1)D(2)36 一致. 【方法总结】 [对点训练] 求解含参数不等式的求解策略 }(x>1)的最小值为 (1)观察题目特点,利用基本不等式确定 函数 y二 -1 相关成立条件,从而得参数的值或取值范围, (2)在处理含参数的不等式恒成立问题 时,往往将已知不等式看作关于参数的不等 探究点三 利用基本不等式求参数的值、 式,体现了主元与次元的转化. 范围 (3)恒成立问题:若f(x)在区间D上存 【典例3】 (1)若两个正实数x,v满足 在最小值,则不等式f(x)>A在区间D上 恒成立→f(x)mnA; 21-1,并且x+2y>m{}+2m恒成立,则 若f(x)在区间D上存在最大值,则不 等式f(x)<B在区间D上恒成立 。 实数n的取值范围是 ) f(x)B. A.(-oo,-2)U[4,+) [对点训练] B(-,-4]U[2,+oo) 已知不等式(x十y)(1+)>9对任意的 C.(-2,4) ) D.(-4,2) 正实数x,v恒成立,则正实数a的最小 值为 ( ) (2)已知函数f(x)-4x+(x>0,a>0) A.2 B.4 C.6 在x-3时取得最小值,则a一 D.8 44 第二篇 高中知识预习 学习效黑临测 A基础巩固练 8.若把总长为20m的篱色围成一个矩形场地 1.若a,都是正数,则(1+)·(1+4)的 则矩形场地的最大面积是 m^{. B能力提升练 最小值为 ( ) 9.(多选题)下列式子,正确的有 _ ) A.7 B.8 B.1#2# C.9 D.10 A.a*+1>2a 2.若0<x<6,则f(x)=x(8-x)的最大 C.2# 值为 ( ) ## # 10.(多选题)已知a>0,6>0,a+2b-1,下 B.4 列说法正确的是 _ C D.5 A. C.b+60#~## ## 3.若f(c)=+1 +-2(x>2)在x-n处取得 ( 最小值,则n一 11.设a>0,6>0,给出下列不等式; B.3 ①+1;②(a+)(6b+)→4; D.4 ③(a+b)(+)→4;④a{}+9>6a. 4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 其中恒成立的是 (填序号). 2m{}、形状为直角三角形的框架,在下列四 12.某公司设计了如图所 种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费 示的一块绿化景观地 最少)的是 ( ) 带,两条平行线段的两 A.6.5m B.6.8m 端用半圆形孤相连接,已知这块绿化景 C.7m D.7.2m 观地带的内圈周长为400m,当平行线段 的长设计为多少时,中间矩形区域的面 积最大? 立,则实数a的取值范围是 ( __ A.aa<2 B.(aa二2) C. ala>3 D. ala<3 6.若a>0,b>0,且a十b=4,则下列不等式 恒成立的是 ( ) ### 1#1# C.ab2 D.a2+b2>8 7.周长为/2十1的直角三角形面积的最大值 为 A5参考答案 4.D由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1 2.2基本不等式 小时，即部+1，故选D [基础知识整合] 5A因为a+日-(6+古)-a-卫. 1.≥“a=b”≤a=b ab [新知自主探究] 所以若a>b>1,显格。+日-(6+古) 典例1对点训练 一-》>0，剥充分性成立：当a=名6=号时， 解：因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2, ab 显然不等式a+日>叶名成立，但a>6>1不成立，所 所以牛≥号a+6. 以必要性不成立， 同理v+≥号6+0F+>号c+a. 6.A因为2<m<7,-3<n<-1, 所以6<3m21,一6<2<-2. 所以wa+F+F+2+P+a≥号[(a+)+(6+ 所以0<3m十2n<19. c)+(c+a)], 故选A. 7.解析：由a2十a<0得a<-a2,所以a<0且a>-1,所 即√a2+b+√+2+√2+a2(a+b+c),当且仅 以a<-a2<a2<-a. 当a=b=c时，等号成立. 答案：a<-a2<a2<-a 典例2对点训练 8.解析：对于①，若ab>0,a>b,则a>b>0或0>a>b,所 解析：y= x2+2=(x2-2x+1)+(2.x-2)+3 x-1 x-1 以日六所以①正确：对于@，不封个a=26=16 -1,d=-3,则a-c=3,b-d=4.所以a-c>b-d不 =生2%》+3-(-10+马+2≥25+2. r-1 成立，②错误；对于③，对于正数a,b,m,若a<b,则am 当且仅当一1马即1+1时，等号成主 <bm,所以ab十am<ab十bn,即a(b十m)<b(a十m), 答案：23+2 所以号<名识③正确 典例3对点训练 综上，正确的命题序号是①③. B(r+y)(1+4)=1+a+义+a>1+a+2a 答案：①③ x y y 9.C因为x>y>,x+y+=0, (Wa+1)2(.x,y,a>0),当且仅当y=a.x时取等号，所 所以3x>x+y十=0,3：<x+y+=0, 所以x>0,x<0. 以+)·（日+号）的最小推为，a+1识，于是（后 所以由r之0·可得> 十1)≥9恒成立.所以a≥4. ly>e. [学习效果检测] 1 +1a-c+c-b a-b 10.A cb ac(e-b)(a-e)(e-b)(a-c)' 1.C国为a,6都是正数，所以(1+名)(1+岩）=5+名 .a<b<c,.∴c-b>0,a-c<0.a-b<0, a-b +共≥5+2合：号=9，当且仪当6=2a时取等学 c-a->0. 2.B因为0≤x≤6，所以8一x>0,所以f(x)= 1山.解析：解法-a>6>0,0<1<1 a r(8-≤+8）=4，当且仅当r=8-,即x= 2 即>>0.a+>b+日 b a 4时，等号成立.故f(x)的最大值为4， a 解法三a+石-(+）=a9+. 3B由/)=x十己2-2)+亡2+2≥4，当且仅 ah ,a>b>0,.a-b>0,ab>0.1+ab>0. 当一2=2>0甲=3时取得等号. a-9+a>0,则a+若>b+日 4,C设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长 ab 答案：> 为则2b=2,所以ab=4,1=a十b+V0+F≥ 12.解：15<b<36,.-36<-b<-15, .12-36<a-b<60-15, 2ab+√2ah=4+22≈6.828(m),因为要求够用且 即-24<-6K4又裙<名< 浪费最少，所以选7m最合理. 5A由题意，只需在>1时，(+）t1即可， ∴.a一b的取值范周是（一24,45）， 又>1，则x一1>0，故x+=x-1+十1≥ 号的取值范周是（行4）片 2x-0·+1=3,当且仅当x-1=>x=2 95 初高中衔接直通车·数学 时等号成立故(+） =3,所以a+1≤3→a≤ 1.解斩：由于42+1-a-(a-2）厂+是>0，故①恒 2,即实数a的取值范围为{aa≤2}.故选A. 成立： 6.D4=a十b≥2√ab(当且仅当a=b时，等号成立)，即 由于(a+)b+)=a++台+号≥ √ab≤2，ab≤4， 品>}选项AC不成日+ 11 a 2ab· 出-之1，选项B不成立02+b=a+6-2ab= +288-4 1 16-2ab≥8. 当且仅当 ab-ab 7.解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为4，b,则 - E+1=a+6+v后+≥2v瓜+V2,解得ab 即Q=b=1时，等号成立，故②恒成立； 当且仅当a=b=号时取“=”，所以直角三角形面积S 2 南a+(日+)-2++≥2+2，合·号 2ab<,即S的最大值为 4当且收当分一合中a=6时等号成立，收③位成主， 答案： 当a=3时，a2十9=6a,故④不恒成立。 综上，①②③正确. 8.解析：设矩形的一边为xm,矩形场地的面积为ym,则 答案：①②③ 另-边为2×(20-2x)=(10-xm, 12.解：设平行线段长为xm,半圆形直径为dm,中间的 矩形区域面积为Sm2, 则y=x(10-x)≤ 「x+(10-x)72 22=25, 由题意可知S=xd,且2x十πd=400, 当且仅当x=10一x,即x=5时，ymx=25. 所以S=xd= ×dx2≤（生2-00， 2π π 答案：25 9.BDa2-2a十1=(a-1)2≥0， 当且仅当d=2x=200,即4=200 x=100时，等号成立. .a2十1≥2a,故A不正确： 所以当平行线段的长设计为100m时，中间矩形区域 当>0时+-+>2〔售且收备x=1时取 的面积最大，最大为20000 m2. x “=”): 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 当x<0时，x+=-r-1≥2（当且仅当x=-1 [基础知识整合] 1.一个2a.x2+bx+c>02.实数x 时取“=”)，B正确： [新知自主探究] 若a=6=-1,则a十 =-2<2,故C不正确： 典例1对点训练 ab 解：(1)原不等式可化为2x2-3x-2<0, 十2+=x+1+1 x2+ 十中一1>≥1（当且仅当x=0时取 所以(2x+1)(x-2)<0. “=”),故D正确. 故原不等式的解集是{-<<2 10.ABCa>0.b>0,a+2b=1. (2)原不等式可化为2x2-x-30. 对于A1=a+26≥2V2a6,备且收当a=2h=号时等 所以(2x-3)(r十1)0， 号成立，于是ab≤日A正确： 故原不等式的解桑是{女≤-1或≥} 对于B.G2+4=a+22告a-2h》≥号，当且仅 典例2对点训练 2 0)解析>2化为-220，即0。 当a=2b=2时等号成立，B正确： 对于C,显然a+b>b>0,则ab+b2=b(a+b)< 它等称千60-10 所以原不等式解集为{x一1≤x<0. 2 答案：{x一1≤x<0 对于D.温发a=26=时满足>0.b>0a+2弘= (2)解析：晋<1化为当1<0， 1的条件，而2u十624二1之 a-1r+1<0,等价于[(a-1)x+1J(x-1)<0, x-1 ×+10>16D错误. 所以(a-1)x2-(a-2).x-1<0. 因为不等式的解集为{xx<1或x>2}, 故选ABC. 所以1,2是方程(a-1)x2-(a-2)x-1=0的两个根. 96