2.1 等式性质与不等式性质-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

初高中衔接直通车·数学 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 基础知识整合G⑦D ◆◆◆ 1.两个实数大小的比较 3.不等式的性质 如果a一b是正数，那么 ;如果 (1)如果a>b,那么 ;如果b<a, a一b等于零，那么 ;如果a-b是负 那么a>b.即a>b台 数，那么 .反过来也对.这个基本事 (2)如果a>b,b>c,那么 实可以表示为a>b台 ,a=b台 ,a<b曰 即a>b,b>c→ 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大 (3)如果a>b,那么 小，可以转化为比较它们的差与 的 (4)如果a>b,c>0,那么 大小 如果a>b,c<0,那么 2.等式的基本性质 (5)如果a>b,c>d,那么 性质1如果a=b,那么b=a; 性质2如果a=b,b=c,那么a=c; (6)如果a>b>0,c>d>0,那么 性质3如果a=b,那么a士c=b土c; 性质4如果a=b,那么ac=bc: (7)如果a>b>0,那么 (n∈N, 性质5如果a=b,c≠0，那么？=b cC n≥2). 新知自主探究G3 ◆◆◆ 探究点一 利用不等式（组）表示不等关系 别为400和500.写出满足上述所有不等 【典例1】某厂拟生产甲、乙两种适 关系的不等式（组）. 销产品，甲、乙产品都需要在A,B两台设 【解】设甲、乙两种产品的产量分别为 备上加工，在A,B设备上加工一件甲产 x+2y≤400， 品所需工时分别为1小时、2小时，加工 2.x+y≤500， x件、y件，由题意可知， 一件乙产品所需工时分别为2小时、1小 x≥0，x∈N, 时，A,B两台设备每月有效使用时数分 y≥0，y∈N. 38 第二篇高中知识预习 【方法总结】 【解】 x-y=(m-m3n)-(n2m-n) 用不等式（组）表示不等关系的3个步骤 =m3(m-n)-n3(m-n) (1)分析题中有哪些未知量. =(m-n)(m3-3) (2)选择其中起关键作用的未知量设为 =(m-n)2(m2+mn+n2), x或y,再用x或y来表示其他未知量， 因为m≠n,所以(m一n)2>0, (3)根据题目中的不等关系列出不等式 因为m+m+i=(m+受+8>0， 2 (组). 所以(m-n)2(m2+mn+n)>0, [对点训练] 所以x一y>0,所以x>y. 【方法总结】 (1)用一段长为30m的篱笆围成一个一边 比较两个数（式）大小的两种方法 靠墙的矩形菜园，墙长18m,要求菜园的 (1)比较大小时，要把各种可能的情况都 面积不小于216m2,靠墙的一边长为xm, 考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论， 其中的不等关系可用不等式（组）表示 每一步运算都要准确，每一步推理都要有充 为 分的依据。 (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂 (2)用作商法比较代数式的大小一般适用 肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含 于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是 量p应不少于2.3%，如何用不等式组表 化简变形，从而使结果能够与1比较大小. 示上述关系？ [对点训练] (1)已知实数a,b,c满足b十c=6一4a+ 3a2,c-b=4一4a+a2,则a,b,c的大小关 系是 () A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b (2)若m<n,p<q,且(p一m)(p-n)<0, 探究点二比较数（式）的大小 (g一m)·(q一n)<0,则m,n,p,q的大小顺 【典例2】(1)设m=2a2+2a+3,n= 序是 探究点三不等式的基本性质 (a十1)2，则m,n的大小关系是 【典例3】(1)（多选题）已知下列四个 【解析】m-n=2a2+2a十3-(a+1)2= 条件：①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b, a2十2>0.故m>n. 【答案】m>n ④a>6>0.能推出。<方成立的有() (2)设m≠n,x=m-m3n,y=n3一， A.① B.② 比较x与y的大小 c.③ D.④ 39 初高中衔接直通车·数学 (2)对于实数a,b,c,有下列说法： (2)对于不等号两边式子都比较复杂的 ①若a>b,则ac<bc; 情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考 ②若ac2>bc2,则a>b: 虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据 ③若a<b<0,则a2>ab>b2. 条件确定每一个因式（式子）的符号，利用符 其中正确的是 (填序号). 号法则判断最终的符号，完成证明. 【解析】(1)运用倒数性质，由a>b,ab>0 [归纳小结] 可得<行，@国正确，又正纸大于负数，① 1.作差法比较大小的一般步骤 正确，③错误 第一步：作差. (2)①中，c的正负或是否为0未知，因而 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒 判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确. 等变形手段，将“差”化成“积” ②中，由ac2>bc2,知c≠0，故c2>0, 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0， 所以a>b成立，故②正确. 还是小于0.（不确定的要分情况讨论） a<b, a<b. 最后得结论 ③中， →a2>ab, →ab> a<0, b<0, 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目 b,所以a>ab>b,故③正确.故填②③. 的，“变形”是关键 【答案】(1)ABD(2)②③ 2.在利用不等式的性质进行证明、判断或 【方法总结】 者推理的过程中，要注意性质成立的条 利用不等式的性质证明不等式的方法 件，不能出现同向不等式相减、相除的 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件， 情况，要特别注意同向不等式相乘的条 利用不等式的性质，通过对不等式变形得证. 件为同为正。 学习效果检测C3口 A基础巩固练 C.12x+6y+13x125 1.(多选题)某工艺厂用A,B两种型号不锈 D.12x+6y+13g≥125 钢薄板制作矩形、菱形、圆三种图形模板， 2.若<<0，则下列不等式不成立的是() 每个图形模板需要A,B不锈钢薄板及该 厂两种薄板张数见下表： A.1>1 a-b a 矩形 菱形 圆 总数 C.la>b D.a2b 5 3 10 55 B 12 6 13 125 3.若<}<0，有下面四个不等式：①la> 该厂签购制作矩形、菱形、圆三种模板分别 b；②a<b;③a十b<ab:④a3>b3.不正 为x,y,z(x,y,之∈N)块.上述问题中不 确的不等式的个数是 等关系表示正确为 A.5x+3y+10x≥55 A.0 B.1 B.5.x+3y+10z≤55 C.2 D.3 40 第二篇高中知识预习 4.持续的高温干燥天气导致某地突发山火， B能力提升练 现需将物资运往灭火前线.从物资集散地 9.已知x>y>之，x十y十之=0，则下列不等式 一定成立的是 () 到灭火前线一共40km,其中靠近灭火前 A.zyyz B.z>yz 线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他 C.ry>xz D.ry>zy 路段可用汽车运送.已知在可用汽车运送 的路段，运送的平均速度为60km/h,设需 10若aCc,则6+。的值为《) A.正数 B.负数 摩托车运送的路段平均速度为xkm/h,为 C.非正数 D.非负数 使物资能在1小时内到达灭火前线，则x 1.若a>6>0,则a+方 (填“<” 应该满足的不等式为 ( 401 A.60+x B.0 <1 >或=6叶台 c+>1 35+5<1 12.已知12<a<60,15<h<36,求a-b和号 D.60x 的取值范围。 5.设a,b是实数，则“a>b>1”是“a+1> 6十若的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.已知2<m<7,-3<n<-1,则() A.0<3m+2n<19B.4<3m+2n<15 C.-5<3m+2m<11D.1<3m+2n<5 7.如果a∈R,且a2+a<0,则a,a2,一a, 一a的大小关系是 8.给出下列命题： ①若ab>0a>6.则}<分 ②若a>b,c>d,则a-c>b-d; ⑧对于正数a,6:m,若a6,则分<册 其中真命题的序号是 41初高中衔接直通车·数学 即实数m的取值范围是{mm>1}. 根据题意，a1+a2=2,a1十a3=2,a2十a3=2,其 故答案为{mm>1}. 中k1,k2,k3∈N, 答案：{mm>1) 因为a1十a2<a1十a3<a2十a3,所以2<2<2，所 14.解析：由题意知，Vx∈R,2x2-3a.x+9≥0为真命题， 以k1<k2<k3, ∴.△≤0.∴.-22≤a≤2√2 又因为k1,k2,k3∈N,所以k3≥k2十1， 答案：[-2√2,2√2] 因为2(a1+a2十a3)=2,+2+2%, 15.解：由已知得B={xx≥-3}， (1)A∩B={x|-3≤x≤-2. 所以a1+a+ag=名(25+2头+25) (2)AUB={xlx≥-4. 所以1=号(25+2然+2)-2=号(25+2路-2为 (3)CR(A∩B)=(xx<-3或x>-2. 因为2%十2<2：+24=2+1≤2， 16.解：(1)由题设B={3},则AUB={x-3<x≤4， 所以2十2一2<0，所以a1<0,与a1≥1矛盾， CRA=(xlx≤-3或x>4),则(CRA)∩B=. 综上所述，只有m=2满足题意. (2)由AUB=A→B≤A, 若B=0时，k+1>2k-1→k<2,满足： 第二章一元二次函数、方程和不等式 1k+1≤2k-1, 2.1等式性质与不等式性质 若B≠必时，k+1>-3,→2≤k长号 [基础知识整合] 2k-1≤4 1.a>b u=b a<h a-b>0 a-b=0 a-00 3.(1)b<ab<a(2)a>ca>c(3)a+c>b+e (A)ac>be ac<be (5)a+e>b+d (6)ac>bd 即及的取值范周为女≤号 (7)a">bm [新知自主探究] 17.解：(1)当a=-1时，B={x-1<x<2},因为A= 典例1对点训练 {x|0<x<1},所以A∩B={x0<x<1}. (1)解析：矩形莱园靠墙一边长为xm,则另一边长为 (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件知B二A, 当B=时，显然BCA:则。≥1-a,甲a>7 302m,(15-专)m. 0<x≤18， |a<1-a, 根据已知得 当B≠0时，由B二A得{a2≥0， 1 即0≤a<2 x(15-号)≥216. 1-a≤1， 0<x≤18， 综上，a≥0，即实数a的取值范固为{aa≥0). 答案： 18.解：(1)若存在实数m满足x∈B是x∈A的充要条 x(15-受)≥216 件，则A=B, (2)解： f≥2.5%， 仁2m十1解得m=。3”无解， p≥2.3%. 得5=2m-1, m=3, 典例2对点训练 故不存在这样的m符合题意。 (1)Ac-b=4-4a十a2=(2-a)2≥0，所以c≥b,将题 (2)若x∈B是x∈A的充分条件，则B二A, 中两式作差得2b=2+2a2,即h=1+a2. 当B=⑦时，m+1>2m-1,解得m<2: 周为1计2-a-(e-号）广+是>0，所以1+>a, m+1≤2m-1, 当B≠必时，{-2≤m+1,解得2≤m≤3， 所以b=1+a2>a.所以c≥b>a. 2m-1≤5， (2)解析：把p,q看成变量， 综上，m≤3， 则m<p<n,m<q<n,即得m<p<q<n. 即实数m的取值范围为（一∞，3]. 答案：n<p<g<n (3)若A∩B=必， [学习效果检测] 当B=⑦时，m十1>2m-1,解得m<2: 1,BC因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模 当B≠心即m十1≤2m一1，即m≥2时， 板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且 2m-1<-2或5<m十1，解得m>4, 共有55张A薄板，所以5.x十3y十102≤55.因为每个矩 形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄 综上m<2或m>4, 即实数m的取值范国为（一∞，2）U(4,十o). 板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B海 板，所以12x十6y十13≤125.故逃BC. 19.解：(1)当n=5时，A=(1,2,3,4,5},所以A的所有 P(4)子集为：{1,3,2,4}，1,3,2,5}，{1,3,5， 2A取a=-26=-1,则。不底立. 4}.(5,3,2,4}. (2)当n≥3时，取W=(1,3},因为1十3=2，所以W aC由日<名<0，可得0>a>6:所以aKbl,故①@ 是A的P(2)子集，此时m=2符合题意： 不成立： 若m≥3，设a1,a2,a3∈W且1≤a1<a2<a3, 所以a+b<0<ab,a3>b都成立，故③④一定正确. 94 参考答案 4.D由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1 2.2基本不等式 小时，即部+1，故选D [基础知识整合] 5A因为a+日-(6+片)-a0-卫. 1.≥“a=b”≤a=b ab [新知自主探究] 所以若a>b>1,显格。+日-(6+古)= 典例1对点训练 一-》>0，则充分性成立：当a-号6=号时。 解：因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2, ab 显然不等式a+日>叶古成立但a>b>1不成立，所 所以干≥号a+b. 以必要性不成立. 同理v+≥号6+0F+>号c+a 6.A因为2<m<7,-3<n<-1, 所以6<3m<21,一6<2-2， 所以wa+F+vF+2++a≥号(a+)+(6+ 所以0<3m十2n<19. c)+(c+a)], 故选A. 7.解析：由a2+a<0得a<-a2,所以a<0且a>-1,所 即a2+b+√+c2+√e2+a2≥√2(a+b+c).当且仅 以a<-a2<a2<-a. 当a==c时，等号成立. 答案：a<-a2<a2<-a 典例2对点训练 8.解析：对于①，若ab>0,a>b,则a>b>0或0>a>b,所 解析：y= x2+2=(x2-2x+1)+(2x-2)+3 x-1 x-1 以。六所以①正病：对于@，不封个a=2,6=16 -1,d=-3,则a-c=3,b-d=4.所以a-c>b-d不 =2牛2%》±3=(-10+马+2≥25+2 r-1 成立，②错误；对于③，对于正数a,b,m,若a<b,则am 当且仅当x-1=3 即=+1时，等号成立 <bm,所以ab+amab十bn,即a(b十m)<b(a+m), 答案：23+2 所以号名③正确 典例3对点训练 综上，正确的命题序号是①③. B(r+y)(1+4)=1+a+义+a>1+a+2a= 答案：①③ x y x y 9.C因为x>y>g,x+y+g=0, (a十1)2(x,ya>0),当且仅当y=a.x时取等号，所 所以3x>x+y十=0,3：<x+y+=0, 所以x>0,x<0. 以+)·(+号)的最小推为a+1只，于是（后 所以由之0·可得y> 十1)2≥9恒成立.所以a≥4. ly>2. [学习效果检测] 1+1=a-c十c-b a-b 10.A cb ae(e-b)(a-e)(e-b)(a-c)' 1.C周为a6都是正数，所以(1+2)(1+岩）=5+日 .a<b<c,∴.c-b>0,a-c<0.a-b<0, a-b +号≥5+2合·号=9，当且仅当6=2弘时取等学 c-a->0 2.B因为0≤x≤6，所以8一x>0,所以f(x)= 1l.解析：解法-a>b>00<1<1 a (8-≤+8-）=4，当且仅当r=8-,即x 2 >>0.a+>6+日 4时，等号成立.故f(x)的最大值为4. a 解法三a+石-（叶）=a9+b, 3B由/)=x十己2-2)+2+2≥4，当且仅 ah ,a>b>0..a-b>0,ab>0.1+ab>0. 当江一2=>0，即=3时，取得等号 a=9+a>0,则a+名>b+日 4,C设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长 ab 答案：> 为，则ab=2,所以ab=4,l=a十b+Va2+F≥ 12.解：15<b<36,∴.-36<-b<-15, .12-36<a-b<60-15, 2√ab+√2ah=4+22≈6.828(m),因为要求够用且 申-24<-bK4又裙<合< 浪费最少，所以选7m最合理， 元A由题意，只需在>1时，(+）≥+1即了 .a-b的取值范周是(-24,45)， 又>1，则x一1>0，故x+马=x-1+十1≥ 号的取值范周是（行4） 2x-0·+1=3,当且仅当x-1=>=2 95