1.5 全称量词与存在量词-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

初高中衔接直通车·数学 12.在下列各题中，判断p是g的什么条件 (4)p:一5.x2y”与x”y是同类项；q: (请用“充分不必要条件”“必要不充分条 m+n=3. 件”“充要条件”“既不充分也不必要条件” 回答). (1)p:∠C=90°；q:△ABC是直角三 角形 (2)p:a,b至少有一个不为零；q:a2+b>0. (3)p:a+1>b:q:a>b. 1.5全称量词与存在量词 基础知识整合c33包 ◆◆◆ 1.全称量词与全称量词命题 续表 全称量词 所有的、任意一个、一切、每个、任给 存在量词命题 含有 的命题 “存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号 形式 可用符号简记为“3x∈M,p(x)” 全称量词命题 含有 的命题 3.全称量词命题与存在量词命题的否定 “对M中任意一个x,有p(x)成 (1)全称量词命题p:Hx∈M,p(x)的否 形式 立”，可用符号简记为“ 定： ,全称量词命题的否 定是 2.存在量词与存在量词命题 (2)存在量词命题p:3x∈M,p(x)的否 定： ,存在量词命题的否 存在一个、至少有一个、有一个、 存在量词 定是 有些、有的 4.命题的否定与原命题的真假 符号表示 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命 题只能是一真一假. 新知自主探究G还包 ◆◆◆ 探究点一 全称量词命题与存在量词命题 C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数 的概念及真假判断 D.存在x∈R,2x十1是奇数 (2)下列命题为真命题的是 【典例1】(1)下列语句不是存在量词命题 A.Hx∈R,x2-x-1>0 的是 () B.3x∈R,x2+x=-1 A.有的无理数的平方是有理数 C.3x∈R,x2-x+1=0 B.有的无理数的平方不是有理数 D.Hx∈(3，+oo),x2>2x+1 32 第二篇高中知识预习 【解析】(1)因为“有的”“存在”为存在量 C.两个无理数的和必是无理数 词，“任意”为全称量词，所以选项A,B,D均为 D.存在一个负数x,使上>2 存在量词命题，选项C为全称量词命题， 2.给出下列几个命题： 2)x2-x-1=(-2）-≥ -5 4 ①至少有一个x,使x2十2.x+1=0成立； 所以A是假命题，2十x十1=(+》)十 ②对任意的x,都有x2+2x十1=0成立； ③对任意的x,都有x+2x+1=0不成立： >0,所以十x=-1对任意实鼓x年 ④存在x,使x2十2x十1=0成立. 不成立，所以B是假命题；x2一x十1= 其中是全称量词命题的个数为( B.2 (x-)+>是，所以C是假命题. A.1 C.3 D.0 2x-1=(x-1)2-2,当x>3时，(x 探究点二 由全称量词（存在量词）命题的 1)2-2>0,所以D是真命题. 真假确定参数的范围 【答案】(1)C(2)D 【典例2】(1)若存在x∈R,使a.x2+2x+ 【方法总结】 a<0,则实数a的取值范围是 () 1.判断命题是全称量词命题还是存在量 A.a<1 B.a≤1 词命题的方法： C.-1<a<1 D.-1<a≤1 (1)分析命题中是否含有量词. (2)已知命题P:Hx∈(2,3)，x2+5> (2)分析量词是全称量词还是存在量词. ax是假命题，则实数a的取值范围是() (3)若命题中不含量词，要根据命题的意义 A.{aa≥25 去判断. 2.全称量词命题与存在量词命题真假的 ca≥ D.{aa≤25 判断方法： (1)要判定全称量词命题“Hx∈M, 【解析】(1)当a≤0时，显然存在x∈ p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素 R,使ax2十2x+a<0: x,证明p(x)都成立；如果在集合M中找到 当a>0时，由△=4-4a2>0, 一个元素x,使得p(x)不成立，那么这个全 解得-1<a<1,故0<a<1. 称量词命题就是假命题. 综上所述，实数a的取值范围是a<1. (2)要判定存在量词命题“了x∈M, (2)若Hx∈(2,3)，x2十5>a.x恒成立， p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个 则a<r+）xe(2.3. 元素x,使p(x)成立即可；如果在集合M中， 使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在 因为f)=+在(2)上是减函 量词命题就是假命题. 数，在(5,3)上为增函数，所以函数f(x)的 [对点训练] 最小值是f(5)=2√5，则a<2w5. 1.以下四个命题中既是存在量词命题又是真 因为命题P:Hx∈(2,3)，x2十5>ax是 命题的是 ( 假命题，所以a≥2√5，实数a的取值范围是 A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 {ala≥25}. B.至少有一个实数x,使x2≤0 【答案】(1)A(2)A 33 初高中衔接直通车·数学 【方法总结】应用全称量词命题与存在 A.3x∈R,x2-2x+1≤0 量词命题求参数范围的两类题型 B.3x∈R,x2-2x+1≥0 (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立” C.3x∈R,x2-2x+1<0 问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的 D./x∈R,x2-2x+1<0 集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以 【解析】因为命题“Hx∈R,x2一2x十 代入求解，也可以根据函数等数学知识来解决. 1≥0”为全称量词命题，所以命题的否定为 (2)存在量词命题的常见题型是对适合某 3x∈R,x2-2x十1<0.故选C. 种条件的结论用“存在”“不存在”“是否存在”等 【答案】C 语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出 【方法总结】 肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合 写全称量词命题与存在量词 已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则 命题的否定的思路 存在性随之解决：若导致矛盾，则否定了假设 在书写全称量词命题与存在量词命题的 [对点训练] 否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从 1.若命题“3x∈R,x2一2.x十m≤0”是假命 量词入手，书写命题的否定.全称量词命题的 题，则m的取值范围是 否定是存在量词命题，存在量词命题的否定 2.若命题“3x∈（一1,1），2.x十a=0”是真命 是全称量词命题. 题，则a的取值范围是 [归纳小结] 探究点三 全称量词命题与存在量词命题 的否定 1.判断全称量词命题的关键：一是先判断是 【典例3】(1)命题“存在一个无理数， 不是命题：二是看是否含有全称量词. 它的平方是有理数”的否定是 2.判定全称量词命题的真假的方法：定义法， A.任意一个有理数，它的平方是有理数 对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 真；代入法，在给定的集合内找出一个x, C.存在一个有理数，它的平方是有理数 使p(x)为假，则全称量词命题为假。 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 3.判定存在量词命题真假的方法：代入法，在 【解析】量词“存在”改为“任意”，结论 给定的集合中找到一个元素x,使命题 “它的平方是有理数”否定后为“它的平方不 p(x)为真，否则命题为假 是有理数”.故选B. 4.写出一个含有量词的命题的否定，一般分 【答案】B 两步：一是改量词，二是否结论 (2)命题“Hx∈R,x2-2x+1≥0”的否 5.能够判断一个“命题的否定”的真假，注意 定是 到一个命题和命题的否定一真一假. 学习效果检测C运包 ◆◆◆ A基础巩固练 A.所有不能被2整除的数都是偶数 1.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 定是 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 34 第二篇高中知识预习 2.“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于 ①有的实数是无限不循环小数 ( ②有些三角形不是等腰三角形 A.存在x∈R,使得f(x)>0成立 ③有的菱形是正方形 B.存在x∈R,使得f(.x)≤0成立 8.已知命题“3x∈R,2x2+(a-1)x+ C.对任意x∈R,使得f(x)>0成立 D.对任意x∈R,使得f(x)≤0成立 20”是假命题，则实数a的取值范围是 3.数学符号的使用对数学的发展影响深远， “=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一 B能力提升练 书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特 9.命题“HACB,Card(A)≤Card(B)”的否 首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示， 定是 () 则命题：x,y∈R,(x+y)3>x3+y3的 A.3ACB,Card(A)>Card(B) 否定为 () B.3ACB,Card(A)<Card(B) A.Vz,yER.(x+y)<+y C.VACB,Card(A)>Card(B) B.3x,y∈R,(x十y)3>x3+y D.3ACB,Card(A)>Card(B) C.32,yER,(z+y)<r3+y 10.已知命题“3x∈R.使4r+(a-2)x+≤0 D.3x,y∈R,(x+y)3≤x3+y 是假命题，则实数a的取值范围是() 4.给出四个命题：①末位数字是偶数的整数 A.a<0 B.0≤a<4 能被2整除：②有的菱形是正方形：③存在 C.a>4 D.0<a<4 实数x,使x>0:④对于任意实数x,2x十1 11.已知命题p:存在x∈R,x2+2x+a=0. 都是奇数.下列说法正确的是 () 若命题一p是假命题，则实数a的取值范 A.四个命题都是真命题 围是 B.①②是全称量词命题 12.命题p是“对某些实数x,有x一a>0或 C.②③是存在量词命题 x一b≤0”，其中a,b是常数. D.四个命题中有两个假命题 (1)写出命题p的否定； 5.下列命题中既是全称量词命题又是真命题 (2)当a,b满足什么条件时，命题p的否 的是 ( 定为真？ A.Hx∈R,2x+1>0 B.若2x为偶数，则x∈N C.菱形的四条边都相等 D.π是无理数 6.已知命题“存在一1≤x≤1，一x2+3x+ a>0”为真命题，则实数a的取值范围是 ( A.jaa>-g) B.{aa>4} C.{a-2<a<4》 D.{aa>-2} 7.在下列存在量词命题中真命题有 (填序号). 35参考答案 (4)若-5.x2”与x”y是同类项,若m=1,n-2,所以 真命题,即判别式△-(a-2){}-4X4x-<0,即△- n+n=3,当m+n=3时,-5xry”与xy不一定是同类 项,所以,q力,所以力是q的充分不必要条件 (a-2)<4,则-2<a-2<2,即0<a<4,故选D. 1.5 全称量词与存在量词 11.解析:.命题一力是假命题...力是真命题, 即存在xR,r2+2x十a=0为真命题; [基础知识整合] '.4-4-4a0..a1. 1.V 全称量词 VxEM,(x)2.3 存在量词 答案:(ala<1) 3.(1)xEM.乙p(x) 存在量词命题 (2)VxEM. 12.解:(1)命题力的否定:对任意实数x,有x-a0且1-l (x)全称量词命题 >0. [新知自主探究 {的解集不 典例1 对点训练 (2)要使命题力的否定为真,则需要使 x-b>0. 1.B A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词 为空集.a,b应满足的条件是ba. 命题;B中x-0时,r^2}一0,所以B既是存在量词命题又 章末检测(一) 是真命题:C中因为2十(一2)一0,所以C是假命题; 1.D由B-{xlx<1,可知B=x1.又A=- D中对任意一个负数x,都有-<0,所以D是假命题. <<2.A0fB-xl1<<2. 2.B A.锐角三角形中的内角都是锐角,所以A为假命题; 2.B 因为“至少有一个”“存在”是存在量词,“任意的”为 B.为存在命题,当x-0时,2一0成立,所以B正确; 全称量词,所以①④为存在量词命题,②③为全称量词 C.因为3十(-③)一0,所以C为假命题. 命题,所以全称量词命题的个数为2. D.对于任何一个负数x,都有-<o,所以D错误。 典例2 对点训练 r 1.解析:因为命题“习xR,r^2-2r+m<0”是假命题,所以 故选B. VxER,-2c+n0为真命题. 3.A 由lxl>1,解得x1或x<-1,故“x>1”是“x 即△-4-4n0,得n>1. >1”的充分不必要条件,故选A. 答案:(mm>1) 4.D集合X可以是1),1,2,1,3),(1,4,(1,2,3). 2.解析:设y-2r+a,则y-2x十a在(-1,1)内有零点, (1.2.4,(1,3,4,共7个. 所以(a+2)(a-2)<0,解得-2<a 2 5.D 因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命 答案:-2<a<2 题“对任意xR都有r*一1”的否定是:存在xR,使 [学习效果检测] 得-2<1.故选D 1.D 全称量词命题的否定为相应的存在量词命题,即将“所 6.A 7.A 8.B 有”变为“存在”,并且将结论进行否定 9.ACD 由所有有理数都为实数,但不是所有实数都为有 2.A “关于x的不等式f(x)0有解”等价于“存在实数 理数,A正确;当a-0时,ar^+ax+1一0无解,即集合 x,使得f(x)>0成立” 3.D 因为全称量词命题的否定为存在量词命题, 合是(x x2),所以力对应的x的集合为 所以命题p:Vx,yER,(x十y)x+的否定为 (x x2),C正确;MUN-M,则NCM,因为集合M 3x.vR.(x十v)<+.故选D. 有2个元素,所以集合N的个数为22一4,D正确,故 4.C ①④为全称量词命题;②③为存在量词命题; 选ACD. ①②③为真命题;④为假命题. 10.ACD 由题意可知,满足题设条件的集合A有(0,8). 5.C (2,6,(3,5,共3个. 6.D 命题存在“-1<x<1,-r2+3x十a>0”为真命题,等 11.AB .AOB-B..'.BCA. 价于a>-3x在(x-1<1)上有解,令y-^-3x :A--2..B-或B (-1<<1),则等价于a>ymi=-2.所以a>-2. ①当B-②时,方程ax十1-0无解,此时a-0. 7.①②③ .-A,即有-1--2,得a- 立”是真命题,令△-(a-1)②-4<0得-1a 3. a 2. 答案:(al-1<a<3) 9.A 由否定的定义可得,命题“VA二B,Card(A) Card(B)”的否定是3A二B.Card(A)>Card(B).故 12.解析:,B-xlx1).fB=(xlx1. 选A. 则AU(CB)-xx1. 10.D:命题“3xR,使4x2+(a-2)x+1<0”是假 答案:(xx1) 13.解析;不等式x-m 1的解集为xlx n十1. 命题..:命题“VxR,使4^2十(a-2)x+→o”是 根据题意可得xx2是x xm+1)的真子集,故 可得m+1>2.m>1. 93