1.4 充分条件与必要条件-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

第二篇 高中知识预习 1.4 充分条件与必要条件 基础知识整台 1.命题及相关概念 一般地,数学中的每一条判定定理都给出 定义:用语言、符号或式子表达的 了相应数学结论成立的一个 可以 的陈述句 条件. 真命题:判断为 的语句 命题分类 数学中的每一条性质定理都给出了相应数 假命题:判断为 的语句 学结论成立的一个 条件. 形式:“若,则q”,其中?称为命题 的 ,q称为命题的 3.充要条件 2.充分条件与必要条件 如果“若,则q”和它的逆命题“若q,则' “若,则”是真“若),则?”是 均是真命题,即既有 ,又有q→, 命题 假命题 记作q.此时既是q的充分条件,也 由通过推理可 由条件)不能推 推出关系及 得出,记作: 出结论y,记作: 是?的必要条件,我们说是。的 符号表示 1 。 简称为充要条件 P__的充分 如果是q的充要条件,那么g也是的 p是。的条件 条件 条件关系 充要条件,即如果q,那么与q互为 是)的条件 __ )的必 要条件 新知自王探究 探究点一 充分条件和必要条件的判断 【典例1】(1)已知集合A-{1,a),B-(1, 2.3,则“a-3”是“ACB”的 (填“充分” 或“必要”)条件。 (2)下列式子: 当#<<时,0-1<1. ①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a; # ④0<b<a. 其中能使]< 成立的充分条件有 【答案】(1)充分 (2)①②④ 【方法总结】 (只填序号). 充分、必要、充要条件的判断方法 【解析】(1)因为A={1,a),B={1,2, (1)定义法 3 ,ACB,所以aéB且a去1,所以a-2或 若a,qp,则力是q的充分不必要条件 3,所以“a-3”是“ACB”的充分条件 若pq,q→p,则p是q的必要不充分条件 29 初高中衔接直通车·数学 若p→q,q→p,则p是q的充要条件; 综上可知,a二一 若pq,qp,则也是q的既不充分也不 #-# 必要条件. 【答案】 (2)集合法 【方法总结】 对于集合A一{xlx满足条件,B= 由条件关系求参数的值(范围)的步骤 (xx满足条件q),具体情况如下; (1)根据条件关系建立条件构成的集合 若A二B,则?是g的充分条件; 之间的关系, 若A二B,则力是q的必要条件; (2)根据集合端点或数形结合列方程或 若A一B,则力是q的充要条件; 不等式(组)求解. 若A二B,则力是q的充分不必要条件; [对点训练] 若A二B,则D是q的必要不充分条件 1.若p:x(x-3)<0是q:2x-3<m的充分 [对点训练] 不必要条件,则实数 的取值范围 是 m=1是y-x”-tm+为二次函数的 2.函数y-x*十mx十1的图象关于直线x-1 (填“充分”或“必要”)条件。 对称的充要条件是 探究点二 充分条件、必要条件、充要条件 [归纳小结] 的应用 1.能够将一个命题改写成“若,则g”的形 【典例2】(1)已知:-4<x-a<4, 式,并能准确地用语言表述充分条件、必要 q:(x-2)·(x-3)<0,若q是p的充分条 条件. 件,则a的取值范围为 2.充分条件、必要条件的判断,其实质是判断 【解析】化简p:a-4<x<a+4,q:2< “若,则。”及其逆命题“若9,则”的真假, x3,由于q是力的充分条件, “若,则q”为真命题,则,是?的充分条件 a-4<2. 否则不是。的充分条件,“若q,则”为真 故有 解得-1<a<6. a十4>3, 命题,则是。的必要条件 【答案】-1<a<6 3.掌握集合的包含关系与充分条件、必要条 件的关系. (2)若 :r^*}+x-6-0是q:ax+1-0的必$$ 4.充要条件的证明与探求 要不充分条件,则实数a的值为 (1)充要条件的证明分充分性的证明和必 【解析】 :x②+x-6-0,即x-2或 要性的证明,在证明时要注意两种叙述方 2--3. 式的区别: q:ax十1一0,当a=0时,方程无解;当 ①是g的充要条件,则由,→a证的是充 分性,由q→,证的是必要性; ②的充要条件是q,则由p→q证的是必 由题意知力→q,9→力,故a三0舍去;当 要性,由q→证的是充分性. a≠0时,应有-1-2或-1 _-3,解得a= a d (2)探求充要条件,可先求出必要条件,再 证充分性;如果能保证每一步的变形转化 过程都可逆,也可以直接求出充要条件 30 第二篇 高中知识预习 学习效黑临测 A基础巩固练 C.若两个三角形相似,则它们的面积之比 1.设:实数x>1且v>1.q:实数x,v满足 等于周长之比 ) ( x十y2,则,是g的 D.若m>2,则方程x②-mx十1=0有实根 7.“x--1”是“x-x-2-0”的 A.充分条件 条 B.必要条件 件,“x-x-2-0”是“x--1”的 C.充要条件 条件,(用“充分”“必要”填空) D.既不充分也不必要条件 8.“a-2”是“方程x^{②}-4x十a=0有实根”的 ( ) 2.(多选题)下列说法正确的是 (填“充分”或“必要”) A.两个三角形全等是这两个三角形面积 条件. 相等的充分不必要条件 B能力提升练 B.设a,b是实数,则“a>b”是“a^{}>b^{}”的 9.黄金三角形被称为最 必要而不充分条件 美等腰三角形,因此它 C.设n-N*,一元二次方程x^{②}-4x十n=0$ 经常被应用于许多经 有整数根的充要条件是”一3 典建筑中(例如图中所 D.函数v=x{}十mx十1的图象关于直线 示的建筑),黄金三角 x=1对称的充要条件是一一2 形有两种,一种是顶角为36^{},底角为72* 3.(多选题)下列式子中,可以是x^*}<1的充 的等腰三角形,另一种是顶角为108{*};底 分条件的为 ( 角为36的等腰三角形,则“△ABC中有一 A.x<1 B.0<x<1 个角是36*”是“△ABC为黄金三角形”的 C.-1<x<1 ( D.-1<x<0 ) 4.已知:x^{-x<0,那么命题,的一个充分 A.充分不必要条件 条件是 ( _ B.必要不充分条件 A.0<x<2 B.-1<<1 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.如果A是B的必要不充分条件,B是C 5.若是g的充分条件,则q是,的( 的充要条件,D是C的充分不必要条件, A.充分条件 ( 那么A是D的 ) B.必要条件 A.必要不充分条件 C.既不充分条件也不必要条件 B.充分不必要条件 D.充要条件 C.充要条件 6.(多选题)下列命题不正确的有 -~_ D.既不充分也不必要条件 A.对角线垂直的四边形是菱形 11.函数f(x)一x{}十mx十1的图象关于直线 B.若x>y,则x2>y2 x一1对称的充要条件是n 2 初高中衔接直通车·数学 12.在下列各题中,判断,是9的什么条件 (4):-5x^{y”与x”y是同类项;q: (请用“充分不必要条件”“必要不充分条 m十n-3. 件”“充要条件”“既不充分也不必要条件” 回答). (1) : C=90”;q:△ABC是直角三 角形. (2)p:a,b至少有一个不为零;q:a^{}十b^{}0. (3):a十1>b;q:a>b. 1.5 全称量词与存在量词 基础知识整台 1.全称量词与全称量词命题 续表 含有 存在量词命题 的命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每个、任给 “存在M中的一个x,使(x)成立” 符号 形式 可用符号简记为“习xM,p(x)” 全称量词命题 含有 的命题 3.全称量词命题与存在量词命题的否定 “对M中任意一个x,有p(x)成 (1)全称量词命题:VxCM,(x)的否 形式 定: 立”,可用符号简记为“ ,全称量词命题的否 定是 2.存在量词与存在量词命题 (2)存在量词命题:xEM,(x)的否 定: ,存在量词命题的否 存在一个、至少有一个、有一个、 存在量词 定是 有些、有的 4.命题的否定与原命题的真假 符号表示 一个命题的否定,仍是一个命题,它和原命 题只能是一真一假. 新知自王探究 探究点一 全称量词命题与存在量词命题 C.对于任意x乙,2x+1是奇数 的概念及真假判断 D.存在xER,2x十1是奇数 (2)下列命题为真命题的是 _ ) 【典例1】(1)下列语句不是存在量词命题 A.VxR,c-x-1>0 的是 ( ) B.3xR,r+x=-1 A.有的无理数的平方是有理数 C.xR,-c十1-0 B.有的无理数的平方不是有理数 D.Vx(3,+0),x{2x+1 32初高中衔接直通车·数学 9.CCkB={xx≤1或x≥2)，如图所示. 两个三角形全等，故必要性不成立.所以两个三角形全 等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故A 正确；对于B,由a>b推不出a2>b,如a=0,b=-1, :AU(CRB)=R,∴a≥2. 满足a>b,但是a2<b2,故充分性不成立：由a2>b2也 10.C由题意，甲：A∩B=A台ACB: 推不出a>b,如a=-2,b=-1,满足a2>b2,但是a< 乙：AUB=B=ACB: b,故必要性不成立，所以“a>b”是“a2>2”的既不充分 丙：CUB-CA台CA三CB台B二A; 也不必要条件，故B错误：对于C,当n=4时，一元二次 T:(CA)U(CUB)=CUA CUBE CUABACB. 方程，x2一4.x十4=0的根为x1=x2=2,故C错误；对于 由于甲、乙、丁是等价的，故如采有且只有一个不成立， D,若函数y=x2十m.x十1的图象关于直线x=1对称， 则该式是丙.故选C 11.解析：U=1.2.3.4,5,6,7,8}. 则一受=1，解得m=一2，所以函数y=2十mx十1的 则A={1,3,5,7},B={3,6} 图象关于直线x=1对称的充要条件是m=一2，故D正 .AUB=1.3,5,6,7) 确：故选AD. ∴.Cu(AUB)={2,4,8}. 3.BCD由于x2<1即-1<x<1,A显然不能使-1<x 答案：{2,4,8} <1成立，BC、D满足题意. 12.解：对于集合M,当m=0时，x=一-1，即M={0},当m 4.Cx2-x<0→0<x<1,运用集合的知识易知只有C ≠0时，△=1+4m≥0，即m≥-子，且m≠0，所以 中由号<<号可以粮出0Kr<1,其余均不可 uM=mm<-}两对于集合N.4=1->≥0， 5.B因为p是q的充分条件，所以p→q,所以q是p的 必要条件， 即n≤，所以N={nn≤}，所以(tM)nN 6.ABCA选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错 误：B选项，当x=一1，y=一2时，x2<y2,则B错误：C ={<-} 选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长 之比的平方，则C错误：D选项，由m>2,得m>4,即 1.4充分条件与必要条件 m2一4>0，则方程x2一mx十1=0有实根，故D正确. [基础知识整合] 故选ABC. 1.判断真假真假条件结论2.→台充分 7.解析：由x=一1→x2一x一2=0，所以“x=一1”是“x2一x 必要不是不是充分必要3.p→q充分必要条件 2=0”的充分条件，“x2一x一2=0”是“x=-1”的必要条件. 充要条件 答案：充分必要 [新知自主探究] 8.解析：方程x2-4x十a=0有实根，需要△0，即a≤4，所以 典例1对点训练 当a=2时方程有实根.所以是充分条件 解析：当m=1时，m2一4m十5=2，反之，当函敦为二次 答案：充分 函数时，m2一4m十5=2，即m=1或m=3.所以m=3也 9.B若△ABC中有一个角是36°，但△ABC不是等腰三 能使函数为二次函数。 角形，则△ABC不是黄金三角形. 答案：充分 若△ABC为黄金三角形，则△ABC中必有一个角 典例2对点训练 是36. 1.解析：p:x(x-3)<0,则0<x<3, 则“△ABC中有一个角是36”是“△ABC为黄金三角 4:2x-3<m则x<m十3 形”的必要不充分条件. 21 故选B. 由题套知门g,小p剥”士>3解得m≥3， 10.A由条件，知D→C=B→A,即D→A,但A卡D,故选A 答案：{mm≥3 11.解析：当m=一2时，f(x)=x2-2.x十1，其图象关于直 线x=1对称，反之也成立，所以函数f(x)=x2十mx十1 2.解析：函数y=x2十x十1的图象的对称轴为x= 2 的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=一2. 由题意：一受-1，所以m=一2 答案：一2 12.解：(1)由题意得，p→q,q户p,所以p是g的充分不必 答案：m=一2 要条件： [学习效果检测] (2)若a,b至少有一个不为零，则a2,b2至少有一个大 1.A若x>1且y>1,则x十y>2成立，故p是q的充分 于零，所以a”+b2>0,反之由a2+b2>0也可推出a,b 条件：若x十y>2,如x=4,y=一1，故p不是g的必要 至少有一个不为零，所以p曰q,所以p是q的充要 条件. 条件 2.AD对于A,两个三角形全等→两个三角形的面积相 (3)p:a十1>b,g:a>b,因为a+1>a,所以g→p,p→ 等，故充分性成立：但两个三角形的面积相等不能推出 q,所以力是q的必要不充分条件. 92 参考答案 (4)若一5.x2ym与x"y是同类项，若m=1,n=2,所以 m十n=3,当m十n=3时，-5x2y"与x”y不一定是同类 真命题，即判别式4=(a-2)2-4×4X<0,即△ 项，所以pPq9P,所以p是q的充分不必要条件. (a-2)2<4,则-2<a-2<2,即0<a<4,故选D. 1.5全称量词与存在量词 11.解析：，命题p是假命题p是真命题， 即存在x∈R,x2+2.x+a=0为真命题， [基础知识整合] .△=4-4a≥0，.a≤1. 1.H全称量词Vx∈M,p(x)2.3存在量词 答案：{aa≤l) 3.(1)3x∈M,p(x)存在量词命题(2)Hx∈M, 12.解：(1)命题力的否定：对任意实数x,有x一u≤0且x一b 一p(x)全称量词命题 >0. [新知自主探究] 典例1对点训练 (2)要使命题p的否定为真，则需要使T一a0 的解集不 x-b>0, 1.BA中锐角三角形的内角是锐角或纯角是全称量词 为空集.a,b应满足的条件是b<a 命题：B中x=0时，x2=0,所以B既是存在量词命题又 章末检测（一） 是真命题：C中因为√2+（一2）=0，所以C是假命题： 1.D由B={xx<1},可知CRB={xx≥1}.又A={x-1 D中对任意一个负数x,都有上<0，所以D是假命题. ≤r≤2}，∴.A∩(RB)={x1≤r≤2. x 2.BA锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题： 2.B因为“至少有一个”“存在”是存在量词，“任意的”为 B.为存在命题，当x=0时，2=0成立，所以B正确： 全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词 C.因为3十（一√3）=0，所以C为假命题. 命题，所以全称量词命题的个数为2. 典例2对点训练 D.对于任何一个负数工，都有<0，所以D错误 1.解析：因为命题“3x∈R,2一2x+m≤0”是假命题，所以 故选B Vx∈R,x2-2x十m>0为真命题， 3.A由x>1,解得x>1或x<一1，故“x>1”是“x 即△=4一4m<0,得m>1. >1”的充分不必要条件，故选A 答案：{mm>1) 4.D集合X可以是1.1.2}，1,3}，{1,4}，{1,2.3}. 2.解析：设y-2x十a,则y-2x十a在(-1,1)内有零点， {1,2,4},1,3,4},共7个. 所以(a+2)(a-2)<0,解得-2<a<2. 5.D因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命 答案：-2<a<2 题“对任意xER都有x≥1”的否定是：存在x∈R,使 [学习效果检测] 得x2<1.故选D. 1.D全称量词命题的否定为相应的存在量词命题，即将“所 6.A7.A8.B 有”变为“存在”，并且将结论进行否定 9.ACD由所有有理数都为实数，但不是所有实数都为有 2.A“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数 理数，A正确；当a=0时，ax2十ax十1=0无解，即集合 x,使得f(x)>0成立”. 3.D因为全称量词命题的否定为存在量词命题， A为空集，B错误：由2>0得>2，所以力对应的集 所以命题p:Hx,y∈R,(x十y)3>x3十y的否定为 合是《x|x>2),所以一p对应的x的集合为 {xx≤2}，C正确：MUN=M,则N二M,因为集合M 3xy∈R,(x十y)3≤x3+y3.故选D. 有2个元素，所以集合V的个数为2=4，D正确.故 4.C①④为全称量词命题：②③为存在量词命题： 选ACD. ①②③为真命题：④为假命题. 10.ACD由题意可知，满足题设条件的集合A有(0,8)， 5.C {2,6},{3,51,共3个. 6.D命题存在“-1≤x≤1，-x2十3.x十a>0”为真命题，等 11.AB,A∩B=B,.BA. 价于a>x2-3x在{x-1≤x≤1}上有解，令y=x2-3x, A={-2}≠0..B=②或B≠0. （-1≤x≤1)，则等价于a>mm=一2.所以a>-2. ①当B=必时，方程a.x十1=0无解，此时a=0. 7.①②③ 8.解析：由题意可得“对Vx∈R,22+(a-D十>0恒成 ②当B≠0时，此时a≠0，则B={一日 立”是真命题，令△=(a-1)2-4<0得-1<a<3. 5-∈A,即有-日=-2得0=2 答案：{a-1<a<3} 9.A由否定的定义可得，命题“HA二B,Card(A)≤ 缘上：得a=0我a= Card(B)”的否定是3A三B,Card(A)>Card(B).故 12.解析：：B={xlx>1,.CuB=《xx≤1}， 选A 则AU(CB)={xx≤1. 答案：{xx≤1 10.D:命题“3r∈R,使4r2+(a-2)r+}<0"是级 13.解析：不等式x一m<1的解集为{xx<m+1, 命题命题“VxER,使4r2+(a-2)x+}>0”是 根据题意可得{xx<2}是{xx<m十1}的真子集，故 可得m十1>2.m>1, 93