1.3 集合的基本运算-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

初高中衔接直通车·数学 7.已知集合A=x1<x-1<4,B= 11.设集合M=((x,y) x十y<0,xy>0和 (一,a),若ACB,则实数a的取值范围 P= (x,y)x<0,<0),那么M与P 是(c,十),其中c三 的关系为 . 8.设A-{xl-5x+m=0 ,B-{|$ 12.设集合A={x -1<x<6 ,B-x m$ 3=0,且BCA,则m= 1<x2m+1,已知BCA. B能力提升练 (1)求实数n的取值范围; 9.设A=x-3<<2 ,B=xxa ,若$ (2)当xN时,求集合A的子集的个数 ( ACB,则a的取值范围是 ) A.a<-3 B.a<2 C.a二2 D.a>-3 10.(多选题)下列说法正确的是 __ A.-③Q B.方程x2+9=6x的解集为x-3 (x十y-6. C.方程组 x-2y 的解集为(4,2) D. 集合xx=3+2,Z={x x= 3-1,乙 1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集 基础知识整台 1.并集的概念及表示 3.并集、交集的运算性质 自然语言 符号语言 图形语言 并集的运算性质 集合A 由 交集的运算性质 集合B的元素组成 AUB- 的集合,称为集合A与B 的并集,记作 AUB-BUA AOB-BOA (读作“ ”) 2.交集的概念及表示 AUA- 图形语言 自然语言 符号语言 A□A- 由 集合A 集合B的所有元素组成 AB- 的集合,称为A与B的交 AU- An- 集,记作 (读作 22 第二篇 高中知识预习 新知自王探究 探究点一 并集的运算 (2)已知集合A={x x=3n+2,nEN ; 【典例1】(1)若集合M=(-1,0,1; B-6,8,10,12,14),则集合A0B中元素的 ) 个数为 集合N-0,1,2,则MN ( ( ) B.(-1,0,1 A.5 A.(0,1) B.4 C.3 C.(0,1,2) D.(-1,0,1,2 D.2 (2)已知集合P=xx<3,集合Q= 【解析】 (1)如图所示: (x-1<x<4,则PUQ= ( ) A.x -1<x3 公共范围是0 x 1,即AOB=x 0 B.x-1<x4 21. C.x|x<4 (2)集合A中元素满足x-3n十2,n-N,即 D.|x-1 被3除余2.而集合B中满足这一要求的元 【解析】(1)因为M=-1,0,1,N= 素只有8和14.故选D 0,1,2,所以MN--1,0,10,1,2 【答案】D (-1,0,1,2. 【方法总结】 求集合交集的方法 ($2)P=x3,Q=x-1>4 (1)若集合中元素个数有限,则直接根据 如图,PUQ-xx<4. 交集的定义或Venn图求解. (2)若集合中元素个数无限,可借助数 【答案】(1)D(2)C 轴,利用数轴分析求解 【方法总结】求并集的基本方法 [对点训练] 定义法→若集合是用列举法表示的,可以直接利用 并集的定义求解 1.已知集合A=xx0 ,B=-1,0,1,则 AOB- ( 若集合是用描述法表示的由实数组成的数集, ) 图形法 则可以借助数轴分析法求解 A.(1 B.(0,1) C.-1.0 D. [对点训练] 2.已知集合A=((x,y)|y=x2),B= 已知集合P=x-1<<1 ,Q-xl0 ((x,y)l2x-y-1-0》,则AOB-( A.x-1,y-1 ) x<2,那么PUQ ( B.(1,1) B.xl0<x<1 C.(1,1) A.x-1 x2 D./(1,1)) C.{xl-1<x<0 D. x1<x<2 探究点三 并集、交集性质的应用 探究点二 交集的运算 【典例3】(1)已知M-1,2,a-3a-1 ; 【典例2】(1)若集合A={x -2<< N=-1,a,3,MON=3,则实数a的值 ) 1 .B=x0 x 2 ,则集合AOB=( 为 【解析】 A. x-1<<1 B{-2 因为MON-3. C. x-2x2 D.0 x1 所以a②}-3a-1-3, 2 初高中衔接直通车·数学 解得a=-1或a-4. [归纳小结] 又N-{-1,a,3 ,所以a-1, 所以a-4. 1.对并集、交集概念的理解 【答案】4 (1)对于并集,要注意其中“或”的意义, (2)设集合M=(x|-3<x<7 ,N= “或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的 x 2x+<0),若MON关,则实数的取 区别,它们是“可兼”的,“xEA,或xEB” 值范围为 这一条件,包括下列三种情况;xEA但 【解析】因为N-{(x|2x十<0 = xB;EB但xA;xEA且xEB.因 #+一,且 N,所以一# 此,AUB是由两个集合A,B的所有元素 组成的集合 b<6. (2)AOB中的元素是“所有”属于集合 【答案】 6 A且属于集合B的元素,而不是部分, 【方法总结】 特别地,当集合A和集合B没有公共元 利用集合交集、并集的性质解题的方法 素时,不能说A与B没有交集,而是 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时, AB-. 常常会遇到AOB-A,AB-B等这类问题, 2.集合的交、并运算中的注意事项 解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的 (1)对于元素个数有限的集合,可直接根据 集合间的关系去分析,如AOB=AACB 集合的“交”“并”定义求解,但要注意集合 AB一BACB等,解答时应灵活处理 元素的互异性 (2)当集合BCA时,如果集合A是一个 (2)对于元素个数无限的集合,进行交、并 确定的集合,而集合B不确定,运算时要考虑 运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求 B一的情况,切不可漏掉 解,但要注意端点值能否取到 学习效果临测 A基础巩固练 4.政治书上讲,“有使用价值的东西不一定有 1.设集合A-{0,1,2,3,集合B-2,3,4; 价值,有价值的东西一定有使用价值”,如 则A□B- ( 。 果把有使用价值的东西看作集合A,把有 A.(2,3 B.(0,1 价值的东西看作集合B,那么它们的关 C.(0,1,4 D.0,1,2,3,4 系是 ( ) 2.已知集合A-{x -1<x<3 ,B-{xl2< A.AUB-A B.AB-B ( r5,则AB ) C.AOB-A D.A-B A./x2<x<3 B.x-1x5 C.x|-1<x<5) 5.若集合M=x (x+4)(x十1)=0,N= D.{x-1<x5 3.若集合M=x -2<x<2 ,N=0.1. x (x-4)(x-1)=0,则MON= _~ 2,则MON- ( ( A.(1,4) B.1) A./0 B.(-1,-4 C.(0.1,2 C./0 D.0,1) D. 24 第二篇 高中知识预习 6.已知集合M=-1,0,则满足MUN 11.已知集合A=x x5 ,集合B=x (一1,0,1的集合N的个数是 ( xn,且A0B=x5 x 6 ,则实数 A.2 B.3 7n- C.4 D.8 12.若集合A-{xax^}+2x+1=0,xER 只$ 7.已知集合A=1,3 ,B=a,a+4,若$ 有一个真子集,求a的值 AOB-1,则实数a的值为 8.若集合A=x-1 x<2 ,B=x a.若AOB去,则实数a的取值范围是 B能力提升练 9.(多选题)满足(1)UB=1,2)的集合B可 能等于 ( - A.(2 B.(1 C./1,2 D.(1,2,3) 10.(多选题)设集合A=(x -1x<2 ,集 合B-{xx<a),若AOB=,则实数a 的值可以为 ( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 第2课时 补集 基础知识整台G 1.全集 (1)定义;如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ,那么就称这个集合为全集。 (2)符号表示:全集通常记作 2.补集 对于一个集合A,由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相 文字语言 对全集U的补集,简称为集合A的补集,记作C.A ux 符号语言 CA- 图形语言 (1)CACU.C.U= ,C- 性质 (2)AU(CA)-U,AO(CA)= ,C(CA)一 2 初高中衔接直通车·数学 新知自王探究 探究点一 全集、补集的运算 A.(xl0x<2) B.xl0x2 【典例1】(1)已知全集U一1,2,3,4, C.(xl0x<2) D. (xl0<x<2) 5,6,7),A-(2,4,5),则CA= ( ) 探究点二 集合交、并、补的综合运算 A. B.(1,3,6,7) 【典例2】(1)已知全集U=(1,2,3,4, C.(2,4,6 D.1,3,5,7 $$,6,7,8 ,集合A-2,3,5,6 ,集合B- 1, (2)已知全集U=xx0,CA=x 3,4,6,7),则集合AO(C.B)= ( _ 1<x2,则A= A.(2,5) B.(3,6 【解析】(1)因为全集U=1,2,3,4,5, C./2,5,6 D.(2,3,5,6,8) 6.7 ,A-2,4,5 ,则全集U去掉集合A中 (2)已知全集U=R,A={x-4<x 的元素余下的元素为1,3,6,7,可得1.A $2 .B= x-1<<3 ,P= (1,3,6,7). #{x<或5,求AB,(CB)UP, (2)解法- A=C(CA)=xl0<<1 或x>2. (AOB)O(CP). 解法二 如图,画出数轴,表示出U 【解】(1)因为U-{1,2,3,4,5,6,7,8, 及CA, B-1,3,4,6,7,所以B-2,5,8. ##叔## 又A-(2,3,5,6. 所以AO(CB)-2,5 由数轴可得A-x0 x1或x>2. (2)将集合A,B,P分别表示在数轴上, 【答案】(1)B(2)xl0<x<1或x>2) 如图所示. 【方法总结】求补集的方法 (1)全集及其子集是用列举法表示:从全 集U中去掉所有属于集合A的所有元素组 因为A={xl-4<x<2 ,B={l-1$ 成的集合. 3 ,所以AB={xl-1<<2 ,CB= (2)较为复杂的集合,还可借助Venn图 xx-1或x>3. 求解。 ##P^_{#<#5# (3)全集及其子集是用不等式表示的,常 借助数轴求解, 所以( CB)#P-{+#<x# [对点训练] ##C#P-{#0## 1.=1,2,3,4,5,6,M-(1,3,6),则M= ) 所以(AOB)O(C.P) A.(2,3,5) B.(2,4,6) ###x-<<2>{1#<<}# C.(2,4.5 D.U 2.若全集U={x -2<x<2 ,则集合A= -(xl0<x<2. ) ( x -2 x0的补集CA为 【答案】(1)A(2)略 26 第二篇 高中知识预习 【方法总结】 (2)已知集合A=xx+ax+12b=0 和 1.全集与补集的互相依存关系 B={xl*-ax十b=0},满足BO(CA)= 2 . (1)全集并非包罗万象、含有任何元素的 AO(C.B)=4 ,U=R,求实数a,b的值. 集合,它是对于研究问题而言的一个相对概 【解】因为B(CA)一2. 念,它仅含有所研究问题中涉及的所有元素, 所以2EB,但2A. 如研究整数,乙就是全集,研究方程的实数 因为AO(CB)=4, 所以4A,但4B 解,R就是全集,因此,全集因研究问题而异, 8 (2)补集是集合之间的一种运算,求集合 4+4a+12b-0. 7 所以 A的补集的前提是A是全集U的子集,随着 解得 22-2a十b-0, 12 所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因 此,它们是互相依存、不可分割的两个概念, (3)C.A的数学意义包括两个方面:首 【方法总结】 先必须具备ACU;其次是定义C.A=xl 已知集合的运算结果求参数的值或范围 xU,且xA,补集是集合间的运算关系 (1)观察得出不同集合中元素之间的关系. 2.补集思想 (2)列方程(组)或不等式(组)求解, 做题时“正难则反”策略运用的是补集思 (3)注意对结果进行检验,避免违背元素 想,即已知全集U,求子集A,若直接求A困 的互异性。 难,可先求CA,再由C(CA)一A求A. (4)注意对空集的讨论,以避免漏洞. [对点训练] [对点训练] (1)已知全集U=R,A=x1<x<$;$ 已知集合U-1,2,3,4,5,6,7 ,A-(2,3,4; C.A={xlx<1或x二2,则实数= 5 ,B-(2,3,6,7,则BOCA ( ) A./1,6 B.(1,7 (2)已知全集U-2,3,a--1,A-2.3 C.(6,7 D.(1,6,7 若CA一1,则实数a的值是 探究点三 补集的综合应用 [归纳小结] 【典例3】(1)已知集合A={x|2a- 1.补集是相对于全集而存在的,研究一个集 $ < .B-x1 2 .若AlB.则$ 合的补集之前一定要明确其所对应的全 a的取值范围为 集,比如,当研究数的运算性质时,我们常 【解析】B-xx1或x2 常将实数集R当作全集 因为ACCB,所以分A=和A去 2.补集既是集合之间的一种关系,也是集合 两种情况讨论。 之间的一种运算,还是一种数学思想 ①若A-,此时有2a-2a,所以a>2 3.从符号角度来看,若xEU,ACU,则xEA ②若A亡,则有 和xlA二者必居其一. (2a-2<a. 4.若集合中元素有无限个时,与集合的交 la<1, l2a-2二2. 并、补运算有关的求参数问题一般利用数 所以a<1.综上所述,a<1或a2 轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集 【答案】a<1或a2 的情形. 2 初高中衔接直通车·数学 学习效果-检测 A基础巩固练 8.已知全集U=(2,3,a^{}+2a-3 ,A=$ 1.设全集U=1,2,3,4,集合A=xN| (|2a-1l,2,CA={5),则实数a= r2-5x+4<0),则CA- ( _ B.1,4) A./1,2 B能力提升练 C.{2,4 D.(1,3,4 9.已知集合A=x x<a ,B={x 1<<$ 2.已知A={x|x+1>0 ,B=(-2,-1,0, 2,且A(C。B)一R,则实数a的取值范 ( _ 1,则(CA)OB 围是 A./-2,-1 B.-2) A.ala<1 B.{ala<1) C.-1,0,1) D.(0,1) C.ala二2 D.aa>2 3.已知全集U=R,集合A=xx>1或< 10.设全集U,有以下四个关系式: -2,集合B=x-1<x<0 ,则A 甲;AB=A;乙:AUB=B;丙:CB $$$$ (CB)- ( ) CA;丁:(CA)U(CB)-CA. A.(xlx<-1或x0 如果有且只有一个不成立,则该式是( ) A.甲 B.xlx<-1或x>1 B.乙 C.丙 C.xx<-2或x>1 D.T D.xx<-2或x>0 11.设U=”n是小于9的正整数,A= 4.若全集U=(0,1,2,3)且CA-(2),则集 nEUn是奇数,B-nEUn是3的 ) 合A的真子集共有 ( 倍数),则C(AUB)一 A.3个 B.5个 12.设全集U=R,M-m方程mx^}-x-1=$ C.7个 D.8个 有实数根,N=n方程x^-x+n=0有实 $.若全集U=a,b,c,d ,A=a,b,B= 数根,求(CM)ON. c,则集合三 ) A. C(AUB) B.AUB C.AB D. C.(AB) 6.设全集U=R,集合M={x|3a-1<$ $a,aR ,N={x -1<x<3 ,若N (C.M),则实数a的取值范围是 ) A.a1 B.a< 7.已知集合A={x|x-2),集合B= xl -2<x<2 ,则集合(C.B)0A= 28参考答案 1.3集合的基本运算 第2课时补集 第1课时并集、交集 [基础知识整合] [基础知识整合] 1.(1)所有元素(2)U2.不属于集合Ax|x∈U,且 1.所有属于或属于AUBA并B{xx∈A,或x∈B x在A(1)0U(2)0A 2.属于且属于A∩BA交B{xx∈A,且x∈B [新知自主探究] 3.A AA 典例1对点训练 [新知自主探究] 1.C因为集合U=(1,2,3,4,5,6},M={1,3,6},所以 典例1对点训练 CM={2,4,5. A因为集合P={x|-1<x<1,Q={x0<x<2}, 2.C因为U={x|-2≤x≤2}，所以A={x|-2≤x≤0 所以PUQ={x-1<x<2}. 的补集CA=(.x0<xr≤2. 典例2对点训练 典例2对点训练 1.B因为A={.xx≥01，B={-1,0,1,所以A∩B=(0,1. C由已知得A=1,6,7,所以B∩CA=〈6,7. D联立得2y,10消去y得21=2，即一9 典例3对点训练 (1)解析：因为CA={xx<1或x≥2}， =0,解得x=1y=1,则A∩B={(1,1). 所以A={x1≤x<2}.所以b=2. [学习效果检测] 答案：2 L.A因为集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4,所以 (2)解析：U=2,3,a2-a-1,A={2,3,A={1}, A∩B={2.3. ∴.1∈U,.a2-a-1=1,即a2-a-2=0, 2.B因为集合A=(x-1≤x<3},B={x2<x≤5}，所 解得a=-1或a=2. 以AUB={-1≤x≤5}. 答案：一1或2 3.D因为集合N中的元素0∈M,1∈M,2任M,所以 [学习效果检测] M∩N={0,1}. 1.B解x2-5.x十4<0得1<x<4,所以A=(2,3},所以 4.A根据题意，x∈A推不出x∈B,x∈B能推出x∈A, CA=(1,4}. 所以B二A,故AUB=A.故选A. 2.A因为集合A={x|x>一1}，所以CRA= 5.D因为M={-4,-1},V={4,1}, {xlx≤-1}，则(CRA)∩B={xx≤-1}∩{-2，-1. 所以M∩N=必. 0,1}={-2,-1}. 6.C由MUN={-1,0,1},得到集合MCMUN,且集 3.A全集U=R.B={x-1≤x<0},所以CuB={xz 合NCMUN, <-1或x≥0，又集合A={xx<-2或x>1),所以 又M={一1,0)，所以元素1∈N,则集合N可以为{1} AU(CB)={.x.x<-1或x>≥0. 或(0,1}或{-1.1}或{0，-1,1}，共4个. 4.CA={0,1,3},真子集有7个. 7.解析：由题意1∈B,显然a2十4>≥4，所以Q=1,此时a2 5.A图为全集U={a,b,c,d},A={a,b},B={c, 十4=5，满足题意】 所以AUB={a,b,c,则Cu(AUB)={d. 答案：1 6.C因为M={x|3a-1<x<2a},若M≠⑦，则2a>3a 8.解析：A={x一1≤x<2,B={xx≤a,由A∩B≠ -1,即a<1,又CM=(xr≤3a-1或x≥2a},N三 0,得a≥-1. (CM), 答案：a≥一1 9.AC(1)UB=1.2}.∴.B可能为{2或{1.2. 所以3a一123 la<1, 我2a1所以≤- la<1, 10.AB如图，要使A∩B=⑦，应有a<-1. 若M=⑦，则2a≤3a-1,即a≥1，此时uM=R,V B A 。 (CM)显然成立. 1L.解析：用数轴表示集合A,B如图所示. 综上知a的取值范国是u≥1或a≤- 由A∩B=《x5≤x≤6}，得m=6. 7.解析：因为B={x-2≤x≤2，所以CRB={xx<-2, 或x>2},(CRB)∩A={xx>2}. B☐A m 答案：{xx>2 答案：6 8.解析：由CA={5},说明5∈U,5任A,且3∈A,列式可 12.解：当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两 种情况：当a=0时，方程化为2x十1=0，解得x= 样 一名：当a≠0时，由4=4一4a=0,解得a=1,蜂上所 得发以=2 述，a=0或1. 答案：2 91 初高中衔接直通车·数学 9.CCkB={xx≤1或x≥2)，如图所示. 两个三角形全等，故必要性不成立.所以两个三角形全 等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故A 正确；对于B,由a>b推不出a2>b,如a=0,b=-1, :AU(CRB)=R,∴a≥2. 满足a>b,但是a2<b2,故充分性不成立：由a2>b2也 10.C由题意，甲：A∩B=A台ACB: 推不出a>b,如a=-2,b=-1,满足a2>b2,但是a< 乙：AUB=B=ACB: b,故必要性不成立，所以“a>b”是“a2>2”的既不充分 丙：CUB-CA台CA三CB台B二A; 也不必要条件，故B错误：对于C,当n=4时，一元二次 T:(CA)U(CUB)=CUA CUBE CUABACB. 方程，x2一4.x十4=0的根为x1=x2=2,故C错误；对于 由于甲、乙、丁是等价的，故如采有且只有一个不成立， D,若函数y=x2十m.x十1的图象关于直线x=1对称， 则该式是丙.故选C 11.解析：U=1.2.3.4,5,6,7,8}. 则一受=1，解得m=一2，所以函数y=2十mx十1的 则A={1,3,5,7},B={3,6} 图象关于直线x=1对称的充要条件是m=一2，故D正 .AUB=1.3,5,6,7) 确：故选AD. ∴.Cu(AUB)={2,4,8}. 3.BCD由于x2<1即-1<x<1,A显然不能使-1<x 答案：{2,4,8} <1成立，BC、D满足题意. 12.解：对于集合M,当m=0时，x=一-1，即M={0},当m 4.Cx2-x<0→0<x<1,运用集合的知识易知只有C ≠0时，△=1+4m≥0，即m≥-子，且m≠0，所以 中由号<<号可以粮出0Kr<1,其余均不可 uM=mm<-}两对于集合N.4=1->≥0， 5.B因为p是q的充分条件，所以p→q,所以q是p的 必要条件， 即n≤，所以N={nn≤}，所以(tM)nN 6.ABCA选项，等腰梯形的对角线也可能垂直，则A错 误：B选项，当x=一1，y=一2时，x2<y2,则B错误：C ={<-} 选项，若两个三角形相似，则它们的面积之比等于周长 之比的平方，则C错误：D选项，由m>2,得m>4,即 1.4充分条件与必要条件 m2一4>0，则方程x2一mx十1=0有实根，故D正确. [基础知识整合] 故选ABC. 1.判断真假真假条件结论2.→台充分 7.解析：由x=一1→x2一x一2=0，所以“x=一1”是“x2一x 必要不是不是充分必要3.p→q充分必要条件 2=0”的充分条件，“x2一x一2=0”是“x=-1”的必要条件. 充要条件 答案：充分必要 [新知自主探究] 8.解析：方程x2-4x十a=0有实根，需要△0，即a≤4，所以 典例1对点训练 当a=2时方程有实根.所以是充分条件 解析：当m=1时，m2一4m十5=2，反之，当函敦为二次 答案：充分 函数时，m2一4m十5=2，即m=1或m=3.所以m=3也 9.B若△ABC中有一个角是36°，但△ABC不是等腰三 能使函数为二次函数。 角形，则△ABC不是黄金三角形. 答案：充分 若△ABC为黄金三角形，则△ABC中必有一个角 典例2对点训练 是36. 1.解析：p:x(x-3)<0,则0<x<3, 则“△ABC中有一个角是36”是“△ABC为黄金三角 4:2x-3<m则x<m十3 形”的必要不充分条件. 21 故选B. 由题套知门g,小p剥”士>3解得m≥3， 10.A由条件，知D→C=B→A,即D→A,但A卡D,故选A 答案：{mm≥3 11.解析：当m=一2时，f(x)=x2-2.x十1，其图象关于直 线x=1对称，反之也成立，所以函数f(x)=x2十mx十1 2.解析：函数y=x2十x十1的图象的对称轴为x= 2 的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=一2. 由题意：一受-1，所以m=一2 答案：一2 12.解：(1)由题意得，p→q,q户p,所以p是g的充分不必 答案：m=一2 要条件： [学习效果检测] (2)若a,b至少有一个不为零，则a2,b2至少有一个大 1.A若x>1且y>1,则x十y>2成立，故p是q的充分 于零，所以a”+b2>0,反之由a2+b2>0也可推出a,b 条件：若x十y>2,如x=4,y=一1，故p不是g的必要 至少有一个不为零，所以p曰q,所以p是q的充要 条件. 条件 2.AD对于A,两个三角形全等→两个三角形的面积相 (3)p:a十1>b,g:a>b,因为a+1>a,所以g→p,p→ 等，故充分性成立：但两个三角形的面积相等不能推出 q,所以力是q的必要不充分条件. 92