1.2 集合间的基本关系-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

第二篇高中知识预习 1.2集合间的基本关系 基础知识整合-C3。 ◆◆◆ 1.子集的概念 素，那么，集合A与集合B相等，记作 ·也就是说，若A二B且B三A, 般地，对于两个集合A,B,如果集 则A=B. 定义 合A中 元素都是集合B中 的元素，称集合A为集合B的子集 3.真子集的概念 如果集合A三B,但存在元素 ,且 记法 记作 (或 ),读作 定义 ,我们称集合A是集合B的真子集 与读法 “A包含于B”(或“B包含A”) 记法 记作AB(或B昆A) 图示 图示 (1)任何一个集合是它本身的子集， (1)AB且BC,则A C; 结论 即A A (2)A二B且A≠B,则A B 结论 (2)对于集合A,B,C,若A二B,且B三 4.空集的概念 C,则A二C 定义 我们把 的集合，叫做空集 2.集合相等的概念 记法 0 如果集合A的 是集合B的元素， 规定 空集是任何集合的 ,即0二A 同时集合B的 都是集合A的元 新知自主探究C②D ◆◆◆ 探究点一集合与集合间关系的判定 ⑤{1}∈{0,1,2}： 【典例1】(1)设集合A={x一1<x<2}, ⑥{xx>1}二{x|x≥2}. B={x一1<x<1},则 ( 【解析】(1)如图所示 A.ACB B.BCA B☐A』 C.A=B D.A车B -1 (2)下列命题中正确的有 (写出 A的范围包含B的范围，所以B二A 全部正确命题的序号) (2)根据子集的定义，①显然正确；②中 ①{2,4,6}二{2,3,4,5,6： 只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱 ②菱形}二{矩形}： 形不是矩形：③中集合{x|x=0}中的元素 ③{xlx2=0}二{0}： 只有一个“0”，因此是集合{0}的子集；④中 ④(0,1)}三{0,1}； {(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数 19 初高中衔接直通车·数学 集，元素不同：⑤中两个集合之间使用了“∈” (2)列方程组时针对不同情况常常要分 符号，这是用来表示元素与集合的关系时使 类讨论 用的符号，不能用在集合与集合之间：⑥中两 [对点训练] 集合的关系应该是{xx>1}口{xx≥2}.因 设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+ 此正确的是①③，错误的是②④⑤⑥： b= 【答案】(1)B(2)①③ 探究点三由集合间的关系求参数问题 【方法总结】判断集合关系的方法 【典例3】(1)若集合M={x|x2+x (1)观察法：一一列举观察. 6=0},N={xa.x+2=0,a∈R},且NM, (2)元素特征法：首先确定集合元素是什 则a的取值集合为 么，弄清集合元素特征，再利用集合元素特征 【解析】化简M={xx2+x一6=0}= 判断. {一3,2}，因为a.x十2=0的系数a是字母，所 (3)数形结合法：利用数轴或Venn图. 以对a分类讨论如下： [对点训练] 当a=0时，a.x十2=0无解，所以N=0 满足题意，当a≠0时，a.x十2=0的解为x= 写出满足{1,2}A二{1,2,3,4,5}的所有 集合A. -子，因为N医M,所以由一吕=一3：得a 由一名=2，得a=-1,所以符合条件的。 2 的取值集合为0，号-1小。 【答案】 0-1 2 (2)已知集合A={x一3≤x≤4}，B= {x2m一1<x<m+1},且B二A,求实数m 的取值范围。 探究点二相等问题 【典例2】设集合A={x,y},B={0, 【解】因为B二A,①当B=☑时，m+1≤ 2m-1,解得m≥2. x2},若A=B,则2x十y= B.1 -3≤2m-1, A.0 C.2 ②当B≠0时有m+1≤4， D.-1 【解析】由A=B,知x=0或y=0. 2n-1<m十1， 当x=0时，x2=0,此时B={0,0},不满 解得-1≤m<2,综上得m≥-1. 足集合中元素的互异性，舍去；当y=0时， 【方法总结】 x=x2,则x=0或x=1. 应用集合关系求参数的四个步骤 由上知x=0不合题意.故x=1,y=0, 化简 将给定的集合加以化简，岩有不确定因素 则需分类讨论 则2x十y=2. (列式 根据所给集介关系构造方程（或不等式） 【答案】C 求解 对所列方程（或不等式)进行求解 【方法总结】集合相等的解题策略 检验 对求出的解进行检测，看是不满足集合巾 (1)利用集合相等的概念建立方程组， 元索的互异性 20 第二篇高中知识预习 2.集合子集的个数 [对点训练] 求集合的子集问题时，一般可以按照子集 设A={x|-1<x<1},B={xx-a>0}, 元素个数分类，再依次写出符合要求的 若A二B,则a的取值范围是 () 子集. A.{aa<-1} B.{aa≤-1} 集合的子集、真子集个数的规律为含n个元 C.{aa≥1} D.{aa>1} 素的集合有2"个子集，有2一1个真子集，有 [归纳小结] 2”一2个非空真子集.写集合的子集时，空集 和集合本身易漏掉 1.对子集、真子集有关概念的理解 3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常 (1)集合A中的任何一个元素都是集合B 用方法 中的元素，即由x∈A能推出x∈B,这是 (1)注意点：①不能忽视集合为☑的情形： 判断A二B的常用方法. (2)不能简单地把“A三B”理解成“A是 ②当集合中含有字母参数时，一般需要分 B中部分元素组成的集合”，因为若 类讨论 A=⑦时，则A中不含任何元素；若A= (2)常用方法：对于用不等式给出的集合， B,则A中含有B中的所有元素， 已知集合的包含关系求相关参数的范围 (3)在真子集的定义中，A,B首先要满足 (值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴 A三B,其次至少有一个x∈B,但xA. 解答 学习效果检测G335 A基础巩固练 A.P={-3,0,1 1.已知下列四个命题：①0={0}；②空集没 B.Q={-1,0,1,2} 有子集；③任何一个集合都有两个或两个 C.R={yl-π<y<-1,y∈Z} 以上的子集：④空集是任何集合的子集.其 D.S={xllx|<3,x∈N 中正确的命题个数是 4.设集合A={x1<x<2},B={xx<a}, A.0 B.1 若A二B,则a的取值范围是 ( C.2 D.3 A.{aa≤2} B.{ala≤1} 2.(多选题)下列四个集合中，不是空集的是 C.{aa≥1} D.{aa≥2} 5.已知集合A={x|x>1},B={yy=x2, x∈R},则 () A.{xx+3=3} A.A=B B.BA B.((x,y)ly2=-z2,x,yER) C.A￥B D.BCA C.{xx2≤0} 6.已知集合A={0,1,2},B={x|x∈A},则 D.{xx2-x+1=0,x∈Ry ( 3.已知集合M={x|-5<x<3,x∈Z}, A.ACB B.BCA 则下列集合是集合M的子集的为() C.A=B D.以上都错 -21 初高中衔接直通车·数学 7.已知集合A={x|1<x-1≤4》，B= 11.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和 (一oo,a),若A二B,则实数a的取值范围 P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 是(c,十∞)，其中c= 的关系为 8.设A={xx2-5.x+m=0},B={xx 12.设集合A={x-1≤x≤6}，B={xm 3=0},且B二A,则m= 1≤x≤2m+1},已知B二A. B能力提升练 (1)求实数m的取值范围： 9.设A={x-3<x<2},B={xx≥a},若 (2)当x∈N时，求集合A的子集的个数. A二B,则a的取值范围是 () A.a≤-3 B.a≤2 C.a≥2 D.a≥-3 10.（多选题)下列说法正确的是 ( A.-3任Q B.方程x2十9=6.x的解集为{x=3} x+y=6, C.方程组 的解集为{(4,2)》 x=2y D.集合{xx=3k十2，k∈Z}={x|x= 3k-1,k∈Z 1.3 集合的基本运算 第1课时并集、交集 基础知识整合-G⑦⑤ ◆◆◆ 1.并集的概念及表示 3.并集、交集的运算性质 自然语言 符号语言 图形语言 由 集合A 并集的运算性质 交集的运算性质 集合B的元素组成 AUB= 的集合，称为集合A与B 的并集，记作 AUB=BUA A∩B=B∩A (读作“ ”) 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 AUA= A∩A= 由 集合A 集合B的所有元素组成 A∩B= 的集合，称为A与B的交 A⑦B AUO- A∩0= 集，记作 (读作 ”) 22初高中衔接直通车·数学 典例3 对点训练 含有3个元素;(1,2,3,(1,2,4).(1,2,5). 解:当a-0时,A-{-),当a0时,关于x的方程 含有4个元素;1,2.3,4),1,2,3,5),(1,2,4,5》. 含有5个元素;1,2,3,4,5. ax^②}一3x一4一0应有两个相等的实数根或无实数根,所 典例2 对点训练 以A-9+16a<0,即a- 解析:因为A-4,a ,B=2,a ,A-B$ 所以解得a-2,b-2,所以a十b-4. 答案:4 [学习效果检测] 典例3 对点训练 1.A (xN|x4)=(0.1,2,3,4).故选A. B 集合B-{xlx>a},ACB,则只要a-1即可。 2.D 解方程x2-3r十2-0可得x-1或2,所以集合{xl2 [学习效果检测] 1.B 一3x十2-0)用列举法可表示为(1,2. 空集是不含任何元素的集合,所以①错误;空集是任何 3.C 由题意,B-(2,3,4,5,6,8》,共有6个元素. 集合的子集,因此空集也是空集的子集,且空集的子集只 4.ABC 由题意,可知集合A表示奇数集,B表示偶数集, 有一个,所以②③错误,④正确。 所以x1,x2是奇数,x3是偶数,所以x十x2十x3应为 2.ABC.A中集合为(0,B中为(0,0)),C中为(0),而 偶数,即x十x十A. D中方程无解,是空集 5.BD A中(一5,3))表示点集,{一5,3)表示数集,不相 3.D 集合M--2,-1,0,1),集合R-(-3,-2),集合 等;由集合中元素的无序性,B中两集合相等;因为π≠ S-0,1),不难发现集合P中的元素一3M,集合Q 3.1415,故C中两集合不相等;D中两集合均为(1,2》. 中的元素2M,集合R中的元素一3M,而集合S 6.C 若xB,则一xA,所以x的可能取值为2,0,-1, (0.1)中的任意一个元素都在集合M中,所以SCM. 一3,当26B时,则1-2--1A. 4.D 由A=(xl1<<2),B=xlx a),ACB,则$ 所以2EB;当0 B时,则1-0 A,所以0B; taa2. 当一1EB时,则1-(-1)-2A,所以-1B; 5.CB=yly=*,xR=yly0,所以AB 当一3B时,则1-(-3)-4A,所以-3B$ 6.C 由题意可得,集合B-(1,2,3),所以A-B. 综上,B-{-3,-1,2,所以集合B含有的元素个数为3. 7.解析:因为A-(2,5],A二B,所以5a. 7.解析:把x-1代入方程x2十2x十a-0可得a--3,解 又a(c,十).所以c一5. 方程r2+2r-3=0可得A-{-3,1. 答案:5 答案:-3(-3,1 8.解析:因为B-3CA,所以3 A 8.解析;(-1)-12-1,(-2)-22-4,0?-0,所以B 即9-15+m-0,所以m-6. (0.1,4. 答案:6 答案:(0.1,4 9.A .ACB..a-3. 9.C ①中“0”不能表示集合,而“(0)”可以表示集合,故① 错误,根据集合中元素的无序性可知②正确;根据集合 10.ACD一③是无理数,所以一3,故A正确;方程 中元素的互异性可知③错误;④不能用列举法表示,原 *+9-6x解得x=x。-3,所以解集为(3),故B错误; 1十y-6解得 因是集合中有无数个元素,不能一一列举. 由方程组 1r-2y. 10.B 11.0 故C正确;因为x-3k+2-3(b+1)-1,所以(xlx-3+ 6 $.Z=x x-3-1,kZ),故D正确;故选ACD. 11.解析:.xy>0..x,y同号,又x+y o..x<0,y 0.即集合M表示第三象限内的点,而集合P表示第三 象限内的点,故M一P. (2)令-0.1,4代入2 6N检验,可得B-(0,1,4). 答案:M一P 12.解:(1)①当m-1>2n+1,即m -2时,B-符合 1.2 集合间的基本关系 题意;②当n-1<2n十1,即m -2时,B. [基础知识整合] 由B二A,借助数轴如图所示: 1.任意一个 ACB BA 二 +112m1# 2.任何一个元素 任何一个元素 A-B 3.x6BxA(1 (2); 得 子集 4.不含任何元素 l2m+1<6. [新知自主探究 综合①②可知, 典例1 对点训练 实数m的取值范图为{m< 2,或0<.# 解:由(1,2)二A(1,2,3,4,5)可知集合A中必含元素 1.2.且至少含有元素3,4,5中的一个,因此根据集合A (2)当x6N时,A-(0.1,2,3,4,5,6. 的元素的个数分类如下: '集合A的子集的个数为2一128 90