1.1 集合的概念-【初高中·衔接直通车】2024年初升高数学衔接直通车（江苏专版）

第二篇 高中知识预习 第二篇 高中知识预习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 第1课时 集合的概念 基础知识整台 1.元素与集合的概念及表示 (2)互异性:一个给定集合中的元素是 统称为元素; (1)元素:一般地,把 的,也就是说,集合中的元素是 表示。 元素常用 的,简记为“互异性” (2)集合:把一些元素组成的 叫做 (3)无序性:给定集合中的元素是不分先 后、 集合(简称为 ),集合通常用 顺序的,简记为“无序性”. 表示. 3.元素与集合的关系 (3)集合相等:只要构成两个集合的元素是 (1)属于:如果a是集合A的元素,就说 集合A,记作 的,就称这两个集合是相等的 (2)不属于:如果a不是集合A的元素,就 2.元素的特性 说a 集合A,记作 (1)确定性:给定的集合,它的元素必须是 4.常用的数集及其记法 的,也就是说,给定一个集 常用的 自然数集 正整数集 有理数集 合,那么任何一个元素在不在这个集合中 数集 就 了,简记为“确定性” 记法 新知自王探究- 探究点一 集合的概念 【解析】 ②中“帅哥”没有统一标准,即 【典例1】下列所给的对象能构成集合的 元素不确定,不能组成集合;中的“漂亮” 是 中的“近似”标准不明确,不能组成集合 ①所有的正三角形 ①③④中的对象都是确定的,可以组成集合, ②本班全体帅哥; 【答案】①③④ ③某校高一年级所有16岁以下的学生; 【方法总结】 ④联合国安理会常任理事国: 判断一些对象能否构成集合的方法 漂亮的花 (1)判断每个对象是否具有确定性是判 2的近似值的全体 断其能否构成集合的关键 3 初高中衔接直通车·数学 A.0 (2)判断一个对象是不是确定的,关键就 B.1 C.2 是要找到一个明确的衡量标准 D.3 【提醒】 注意集合中元素的互异性、无 探究点三 集合中元素的特征及应用 序性. 【典例3】已知集合A中含有两个元素 a和a{,若1A,则实数a的值为 [对点训练] 【解析】若1A,则a=1或a2=1, _ 下列各组对象不能构成集合的是 即a-士1. A.参加杭州亚运会的全体兵兵球选手 当a一1时,集合A中有重复元素, B.小于5的正整数 所以a-1; C.2023年高考数学难题 当a一一1时,集合A含有两个元素1,一1. D.所有无理数 符合元素的互异性,所以a一一1. 探究点二 元素与集合的关系 【答案】-1 【典例2】用符号“”或“”填空 【方法总结】 若A表示第一、三象限的角平分线上的 由集合中元素的特性求解参数取值(范围)的步骤 点的集合,则点(0,0) A,(1,1)A. 根据集合中元素的确定性,解出参数 A. (-1,1) 的所有取值 【解析】 第一、三象限的角平分线上的 根据集合中元素的互异性,对解出的 值进行检验 点的集合可以用直线v一x表示,显然(0,0) (1.1)都在直线y一x上,(-1,1)不在直线上. 写出所有符合题意的参数的取值(范围) 所以(0,0)A,(1,1)A,(-1,1)A 【答案】 # [对点训练] 【方法总结】 已知集合A为a-1,6,a2}十3a三个元素 判断元素与集合关系的两个步骤 组成的集合,一2EA,则a的值为( ) (1)确定集合中元素的特征及范围, A.-2 B.-1 (2)判断给定元素是否具有已知集合中 C.-2或-1 D.1或-2 元素的特征及是否在限定的范围内, [归纳小结] [对点训练] 1.判断一组对象的全体能否构成集合,关键 。 是看研究对象是否确定,若研究对象不确 (1)下列关系中,正确的有 ①R;②/2Q;③-3N: 定,则不能构成集合 2.集合中的元素是确定的,某一元素a要么 ④-③Q 满足aA,要么满足aA,两者必居其 A.1个 B.2个 一.这也是判断一组对象能否构成集合的 D.4个 C.3个 依据. (2)满足“aEA且4-aEA,aEN且4- 3.集合中元素的三种特性;确定性、互异性、 aEN”,有且只有2个元素的集合A的个 无序性,求集合中参数的取值时,一定要检 数是 ( ) 验是否满足集合中元素的互异性 A 第二篇 高中知识预习 学习效黑临测G A基础巩固练 8.设集合A中的元素有2,3,a{}十2a-3,集 1.考察下列各组对象,哪几组能构成集合? 合B中的元素有 a十3l,2.已知5A. ) 5B,则a的值为 (1)比较小的数 (2)不大于10的偶数 B能力提升练 (3)所有三角形 (4)高个子男生 9.(多选题)集合A中的元素v满足vEN,且 A.(1)(4) B.(2)(3) y--2+1,若tA,则/的值为 ( ) C.(2) D.(3) A.0 B.1 C.2 2.给出下列6个关系:①22ER;②/③EQ D.小于等于1 ③0N;④4N;π0;|-2lZ.其 ( ) 中正确命题的个数为 A.4 B.3 的值所组成的集合是 C.2 D.1 。 M,则下列判断正确的是 ) 3.方程x-5x+6-0和方程x}-x-2-0的$$ A.0M B.2-M 所有实数解组成的集合为M,则M中的元素 C.-4M D.4M 个数为 ( ) 11.已知集合A是由偶数组成的,集合B是 A.4 B.3 由奇数组成的,若aA,bEB,则a十/ C.2 D.1 A,ab A.(填“”或“”) 4.已知集合A中只有一个元素1,若 12.设xER,集合A中含有三个元素3,x A,则b一 ( ) 2-2x. A.1 B.-1 (1)求元素:应满足的条件; C.士1 D.0 (2)若-2A,求实数x. 5.a,b,c,d为集合A的四个元素,那么以a b.c,d为边长构成的四边形可能是 ) A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 6.(多选题)下面几个命题,其中正确的命 题是 ( ) A.集合N中最小的数是1 B.若一aN,则aN C.若aEN,bEN,且a关,则a十的最小 值是1 D.若aR,则aC 7.已知集合A中的元素x满足2x十a>0,目 1A,则实数a的取值范围是 1 初高中衔接直通车·数学 第2课时 集合的表示 基础知识整合 1.列举法 组成的集合表示为 ,这种表示集 把集合的所有元素 出来,并用花 合的方法称为描述法,有时也用冒号或分 括号“)”括起来表示集合的方法叫做列 号代替竖线. 举法. (2)具体方法:在花括号内先写上表示这个 2.描述法 集合元素的 及 (1)定义:一般地,设A表示一个集合,把 ,再画一条竖线,在竖线后写出这个 集合A中所有具有 的元素x所 集合中元素所具有的 新知自主探究 探究点一 用列举法表示集合 (3)元素个数无限但有规律时,也可以类 【典例1】用列举法表示下列集合: 似地用省略号列举,如“自然数集N”可以表 (1)36与60的公约数组成的集合 示为0,1,2,3,... (2)方程(x-4)②}(x-2)=0的根组成的 【注意】(1)花括号“”表示“所有”“整 集合; 体”的含义,如实数集R可以写为实数,但 如果写成实数集 、全体实数 、R都是不 3 确切的. 的图象的交点组成的集合, (2)用列举法表示集合时,要求元素不重 【解】(1)36与60的公约数有1,2,3 复、不遗漏. 4.6,12,所求集合为(1,2,3,4,6,12. [对点训练] (2)方程(x-4)②(x-2)-0的根是4,2, 用列举法表示下列集合: 所求集合为4,2 {用。 (1)不大于10的非负偶数组成的集合; 5--1, (2)方程x}一2x的所有实数解组成的 (3)方程组 集合; (3)直线y=2x十1与y轴的交点所组成 所求集合为{(#).# 的集合; (4)由所有正整数构成的集合 【方法总结】 列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时,全部列举,如 (1,2,3,4). (2)元素个数多且有限时,可以列举部 分,中间用省略号表示,如“从1到1000的所 有自然数”可以表示为(1,2,3,..,1000). 。 第二篇 高中知识预习 探究点二 用描述法表示集合 (2)当0时,要使集合A-{xlr^{} 【典例2】用描述法表示下列集合: 8x十16一0)中只有一个元素,则方程r^*- (1)被3除余数等于1的整数的集合; 8x十16一0只有一个实数根, (2)比1大又比10小的实数的集合; 所以△-64-64-0,解得 -1,此时集 (3)平面直角坐标系中第二象限内的点 合A一{4,满足题意 组成的集合 综上所述,一0或一1,故实数的值 【解】(1)被3整除的整数可以表示为 组成的集合为0,1. 3n,nZ,故被3除余数等于1的整数的集 【方法总结】 此题容易漏解一0,漏解 合可表示为xx-3n+1,n乙. 的原因是默认所给的方程一定是一元二次方 (2)比1大又比10小的实数的集合可以 程,其实,当一0时,所给的方程是一个一元 表示为x1<x10,xR. 一次方程;当关0时,所给的方程才是一个 (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组 一元二次方程,求解时要注意对及进行分类 成的集合可以表示为((x,v)x0,y0. 讨论, 【方法总结】 [对点训练] 使用描述法表示集合应注意的问题 已知集合A-(xlax2-3x-4-0,xR . (1)写清楚该集合的代表元素,如数或点等 若A中至多有一个元素,求实数a的取值 (2)说明该集合中元素的共同属性。 范围. (3)不能出现未被说明的字母, (4)所有描述的内容都要写在花括号内, 用于描述的内容力求简洁、准确。 [对点训练] 用描述法表示下列集合 (1)大于4的所有偶数; (2)直线一2x十3上的点组成的集合. [归纳小结] 1.表示集合的要求 探究点三 集合表示方法的简单应用 (1)根据要表示的集合元素的特点,选择适 【典例3】集合A-xx*-8x十16=0 当方法表示集合,一般要符合最简原则 若集合A中只有一个元素,求实数?的值组 (2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜 成的集合. 用列举法表示,描述法既可以表示元素个 【解】(1)当k-0时,方程k2-8x十16-0 数有限的集合,也可以表示元素个数无限 变为-8x十16-0,解得x-2,满足题意; 的集合. 初高中衔接直通车·数学 2.在用描述法表示集合时应注意的问题 (2)元素具有怎样的属性,当题目中用了 (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是 其他字母来描述元素所具有的属性时, 什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集 要去伪存真,而不能被表面的字母形式 合或其他形式 所迷惑. 学习效果一检测C A基础巩固练 8.已知集合A={-1,-2,0,1,2 ,B= _ 1.集合xNx<4还可以表示为 ( (xx一y{},yA,则用列举法表示B$ A.0,1,2,3,4) B.2,1,3,4) 应为 D.x0<x<4 C. (1,2,3,4 B能力提升练 2.把集合{x|x*-3x十2-0)用列举法表 9.下列命题正确的是 ( 示为 C ) ①0与(0表示同一个集合;②由1,2,3组 A.x-1,x-2 B.{xlx-1,x-2 成的集合可表示为{1,2,3或3,2,1); C.(c*-3x+2-0) D.(1,2 ③方程(x-1)②(x-2)=0的所有解组成的集 3.设集合A-1,2,4,集合B-x x=a+ 合可表示为1,1,2);④集合xl4<x5可 b.aEA,6A,则集合B中的元素个数为 以用列举法表示. ( ) A.只有①和④ B.只有②和③ A.4 B.5 C.只有② D.只有②和④ C.6 D.7 10.已知P=x2<x<,EN ,若集合P 4.(多选题)已知集合A=x x=2n-1; 中恰有4个元素,则 ( ) mZ,B=x-2,z,且·A A.6<h<7 B.6<<7 ( x。CB,则下列判断正确的是 ~ C.5<6 D.5<6 A.x.·xA B.x。·xB 11.若集合A={xax+1=0,xER不含有 C.x.十xB D.x.十x。十xA 任何元素,则实数a二 5.(多选题)下列集合,表示相等集合的是 ( 。 A.((-5,3)),(-5,3 (1)试判断元素1和2与集合B的关系 B.3,-5),(-5,3 (2)用列举法表示集合B C. π,3.1415 D.|x-3x+2-0 ,yly-3y+2- 6.设集合A={-2,0,1,3 ,集合B=x 一xEA,1-xA ,则集合B中元素的个 数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 7. 已知集合A=x x}+2x十a=0 ,若1 A,则a一 ,A一 。参考答案 3.A抛物线y=2(x一1)2+1的顶点坐标为(1,1)，把，点 3.B这两个方程的实数解分别是2,3和2，一1，根据集 (1,1)先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位 合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成 长度所得对应点的坐标为(4,3)，所以所得到的抛物线 含有3个元素的集合. 的解析式为y=2(x-4)2+3.故选A. 4.C由题意可知b=1,所以b=士1. 第二篇高中知识预习 5.D由于集合中的元素具有“互异性”，故a,b,c,d四个元 第一章集合与常用逻辑用语 素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等. 6.CD集合N是自然数集，其中最小的数是0，A错误： 1.1集合的概念 一√2tN且W2任N,故B错误；a∈N,b∈N且a≠b,所以 第1课时集合的概念 a十b的最小值是1，C正确：不是实数，一定不是有理 [基础知识整合] 数，故D正确」 1.(1)研究对象小写的拉丁字母4，bc,·(2)总体 7.解析：1任A,∴2+a≤0，即a≤-2. 集大写的拉丁字母A,B,C,…(3)一样 答案：a≤-2 2.(1)确定确定(2)互不相同不重复出现 8.解析：因为5∈A,5任B, (3)没有 3.(1)属于a∈A(2)不属于a任A 所以信经年样。=- 4.整数集实数集NN·或N+Q 答案：一4 [新知自主探究] 9.AB因为y=-x2+1≤1，且y∈N,所以y的值为0， 典例1对点训练 1,所以A={0,1},又t∈A,所以t=0或t=1. C对于A,参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可 知，可以构成集合：对于B,小于5的正整数明确可知， 10.D①当：均为正数时，代数式而十立十奇十 可以构成集合：对于C,2023年高考数学难题模校两可， 给定一个2023年高考数学题不能判断其是否为难题， 的值为4：②当y,:为两正一负时，代数式司 xy≈ 不能构成集合；对于D,无理数明确可知，可以构成集 合，故选C. 十十后十的值为0：③当为一正两负 xye 典例2对点训练 解析：)号是实数，巨是无理数，-3=3是非负整 时：代载式高十六十音十的值为0：①当 tyz 数，|一3=3是无理数.因此，①②③正确，④错误 :均为负数时，代数式后十立十后+架的值 y (2)因为a∈A且4-a∈A. 为一4，所以集合M为{4,0，一4}，故选D. a∈N且4-a∈N,若a=0,则4-a=4, 11.t∈ 此时A满足要求：若a=1,则4一a=3, 12.解：(1)由集合元素的互异性可得x≠3，且x2一2x≠ 此时A满足要求：若a=2,则4一a=2, xx2-2.x≠3，解得x≠-1，x≠0，且x≠3. 此时A含1个元素不满足要求， (2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=一2.由于方程 故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C x2-2x十2=0无解，所以x=一2.经检验，x=-2符 答案：(1)C(2)C 合互异性.故x=一2. 典例3对点训练 第2课时 集合的表示 A因为-2∈A,所以-2=a-1或一2=a2+3a,解得 [基础知识整合] a=一2或一1. 1.一一列举2.(1)共同特征P(x){x∈AP(x) 当a=-1时，a一1=-2，a2十3a=-2,此时不符合集 (2)一般符号取值（或变化）范围共同特征 合中元素的互异性，故a=一1舍去。 [新知自主探究] 当a=-2时，a-1=-3,a2+3a=-2,此时A含有 典例1对点训练 一3，一2,6三个元素，满足条件 解：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于 所以a=-2. 或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2， [学习效果检测] 4,6,8,10}. 1.B在(1)中，比较小的数，没有确定性，故(1)不能构成 (2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组 集合： 成的集合为{0,2. 在(2)中，不大于10的偶数，具有确定性，故(2)能构成 (3)将x=0代入y=2x十1，得y=1,即交点是(0,1)，故 集合： 交点组成的集合是{(0,1)}. 在(3)中，所有三角形，具有确定性，故(3)能构成集合： (4)正整数有1,2,3，…，所求集合为(1,2.3，…. 在(4)中，高个子男生，没有确定性，故(4)不能构成 典例2对点训练 集合 解：(1)偶数可表示为2m,n∈N,因为大于4，故n≥3，所 2.CR,Q,N,Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整 以可表示为(xx=2n,n∈N且n≥3). 数集，所以①④正确，因为0是自然数，√3，π都是无理 (2)直线y=2x十3上的点用坐标表示为(x,y),故直线 数，所以②③⑤⑥不正确. y=2x+3上的点的集合可表示为{(xy)|y=2x+3. 89 初高中衔接直通车·数学 典例3对点训练 含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,41,1,2,5}. 4 解：当a=0时，A=-3},当a≠0时，关于x的方程 含有4个元素：{1,2.3,4}，1,2,3.5}，{1,2,4.5. 含有5个元素：{1,2,3,4,5}. a.x2一3x一4=0应有两个相等的实数根或无实数根，所 典例2对点训练 以A=9+16u<0,即a≤-i6 9 解析：因为A=(4,a},B={2,ab},A=B, 所以解得a=2,b=2,所以a十b=4. 故所求的a的取值范图是a<一号或a=0 答案：4 [学习效果检测] 典例3对点训练 1.A{x∈Nx≤4}=(0,1,2,3,4.故选A B集合B={xx>a},A二B,则只要a≤一1即可 2.D解方程x2-3.x十2-0可得x=1或2，所以集合{xx2 [学习效果检测] 一3.x十2=0}用列举法可表示为{1,2. 1,B空集是不含任何元素的集合，所以①错误：空集是任何 3.C由题意，B={2,3,4,5,6,8},共有6个元素. 集合的子集，因此空集也是空集的子集，且空集的子集只 4.ABC由题意，可知集合A表示奇数集，B表示偶数集 有一个，所以②③错误，④正确. 所以x1x2是奇数，x3是偶数，所以1十x2十x3应为 2.ABC.A中集合为{0}，B中为{(0,0)，C中为{0}，而 偶数，即x1十x2十x3任A. D中方程无解，是空集， 5.BDA中{（一5,3）}表示点集，{一5,3}表示数集，不相 3.D集合M={-2,-1,0,1},集合R={-3,-2},集合 等：由集合中元素的无序性，B中两集合相等：因为π≠ S={0,1),不难发现集合P中的元素一3任M.集合Q 3.1415,故C中两集合不相等：D中两集合均为(1,2. 中的元素2EM,集合R中的元素一3庄M,而集合S 6.C若x∈B,则一x∈A,所以x的可能取值为2,0，一1， {0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S二M. 一3，当2∈B时，则1-2=-14A, 4.D由A=(x|1<x<2),B={xlx<a},A≤B,则 所以2∈B:当0∈B时，则1-0∈A,所以0B: {aa≥2}. 当-1∈B时，则1-(-1)=2年A,所以-1∈B: 5.CB={yly=x2x∈R}={y|y0},所以AB. 当-3∈B时，则1一(-3)=4任A,所以-3∈B. 6.C由题意可得，集合B=《1,2,3}.所以A=B. 综上，B={-3,-1,2},所以集合B含有的元素个数为3. 7,解析：因为A=(2,5],A二B,所以5<a, 7.解析：把x=1代入方程x2+2x十a=0可得a=一3，解 又a∈(c,十0∞)，所以c=5. 方程x2+2x-3=0可得A={一3,1. 答案：5 答案：-3{-3,1} 8.解析：因为B={3二A,所以3∈A, 8.解析：(-1)2=12=1，（一2）2=22=4,02=0，所以B= 即9-15十m=0,所以m=6. {0,1,4}. 答案：6 答案：{0,1,4} 9.A:ACB,.a≤-3. 9.C①中“0”不能表示集合，而“(0)”可以表示集合，故① 错误.根据集合中元素的无序性可知②正确：根据集合 10.ACD一√3是无理数，所以一√3正Q,故A正确：方程 中元素的互异性可知③错误：④不能用列举法表示，原 x2+9=6x解得m=x2=3,所以解集为{3}，故B错误： 因是集合中有无数个元素，不能一一列举 由方程组十)6·解得{工一所以解集为{(4,2). 10.B x=2y, y=2, 11.0 故C正确：因为x=3k十2=3(k+1)一1，所以{xx=3歌十 6 2,k∈Z={x|x=3k-1,k∈Z},故D正确；故选ACD 12.解：1)当x=1时2十-2∈N: 11.解析：xy>0.∴x,y同号，又x十y<0,x<0,y< 当=2时2年2=号EN.所以1eB,2EB O,即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三 象限内的点，故M=P (2)令=014代入2平∈N检验.可得B=01, 答案：M=P 12.解：(1)①当m一1>2m十1，即m<一2时，B=0符合 1.2集合间的基本关系 题意：②当m一1≤2m十1，即m≥一2时，B≠. 由B二A,借助数抽如图所示， [基础知识整合] 1.任意一个A二BB2A三 2.任何一个元素任何一个元素A=B m121+16x 3.x∈BxA(1)(2) 4.不含任何元素子集 得解得0m<受所以0m≤ 12m+1≤6. 2 [新知自主探究] 综合①②可知， 典例1对点训练 解：由(1,2)三A二{1,2,3,4,5}可知集合A中必含元素 实数m的取值范国为mm<一2，或0≤m≤ 1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个，因此根据集合A (2)当x∈N时，A={0,1,2,3,4,5,6}, 的元素的个数分类如下： .集合A的子集的个数为2=128. 90