第十六章 二次根式【单元卷·考点卷】（9大核心考点）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第十六章 二次根式（考点卷） 考点一 二次根式有无意义的条件（共5题） 1．（23-24八年级下·广西梧州·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2023·云南·模拟预测）要使有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）要使式子有意义，则m的取值范围是 ． 5．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知，为实数，且满足． (1) ， ； (2)求的值． 考点二 利用二次根式的性质化简（共5题） 1．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A． B． C． D．0 2．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，则简化的结果是（   ） A． B．3 C． D． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 5．（23-24八年级下·广西玉林·期中）（1）已知，为实数，且，求，的值． （2）已知实数满足，求的值． 考点三 复合二次根式的化简（共5题） 1．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则 等于（　　） A． B． C．2 D．4 2．（23-24八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 4．（23-24八年级上·四川·阶段练习）完成下列各题， （1）若，那么的值是 ． （2）化简： ． 5．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 考点四 二次根式中的参数问题（共5题） 1．（23-24八年级下·河北邯郸·期中）若是最简二次根式，且可与合并，则a的值是（    ） A． B． C． D．3 2．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）若最简二次根式与（a为有理数）可以合并，则m的值为（    ） A．2021 B． C．2025 D． 3．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算：如果，那么 ； ． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 5．（23-24八年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 考点五 二次根式的混合计算（共10题） 1．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期末）计算． (1)； (2)． 3．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算： (1) (2) 4．（北京市西城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）计算： (1)； (2)． 5．（23-24八年级下·河南许昌·阶段练习）计算： (1) (2) 6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 7．（23-24八年级下·天津西青·期末）（1）计算：； （2）计算：． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）计算 (1)； (2)． 9．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）计算： (1)； (2)． 10．（23-24八年级下·天津蓟州·期末）计算： (1)； (2)． 考点六 分母有理化（共5题） 1．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，下列各式为负值的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知的整数部分是，小数部分是，则的值为（    ） A．10 B．7 C．6 D．4 3．（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）观察以下各式： ，， 利用以上规律计算： ． 4．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 计算： ． 5．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 考点七 二次根式的化简求值问题（共5题） 1．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）若，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若，则代数式的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．（23-24九年级上·四川内江·期中）当时，多项式的值为 4．（22-23八年级下·河北保定·期末）已知，则 （1） ； （2） ． 5．（23-24八年级下·河南商丘·期中）【阅读材料】在二次根式的计算中，如：，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：， ． 【解决问题】 (1)化简 的结果为________； (2)已知 求 的值； (3)计算 ． 考点八 二次根式的应用（共5题） 1．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东湛江·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为3、4 、5 ，则的面积为（ ） A． B．2 C．6 D．12 3．（2024八年级下·全国·专题练习）观察下列各式： ，，，…… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为 ． 4．（23-24八年级下·广东江门·期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积是 ． 5．（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 考点九 二次根式的新定义问题（共5题） 1．（23-24八年级·江苏·假期作业）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：；例如．那么等于（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）对X，Y定义一种新运算“*”：，其中a，为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么（    ） A．3 B． C． D．1 3．（23-24八年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ． 4．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ． 5．（23-24八年级下·陕西延安·期中）定义：形如“”，“”的根式，我们称之为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉．当分式的分母上含有根号时，我们可以分子，分母同时乘以分母的对偶式，这样就可以消除分母上的根式，这样的做法我们叫做“分母有理化”．同样的道理，我们可应用此法将分子上的根号去掉，这样的做法叫做“分子有理化”． 根据以上材料，解答下列问题． (1)利用分母有理化，计算：的值． (2)利用分子有理化，比较与的大小． 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1．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，二次根式化简，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 由数轴可知，，所以，化简即可解答． 【详解】解：由数轴可知，， ， ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，则简化的结果是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 先把被开方数分解因式，再化简求值． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据开平方和一个数的平方的性质将式子进行化简，利用负数的绝对值等于它的相反数即可求出的取值范围．本题考查了二次根式以及绝对值化简，解题的关键在于一个未知数开方的结果要带绝对值，一个带根号的未知数的平方等于原来的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算，完全平方公式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先把已知条件式两边同时平方得到，则，再求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 5．（23-24八年级下·广西玉林·期中）（1）已知，为实数，且，求，的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1），；（2）2024 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得出的值，再根据非负数的和为0得出的值即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为，两边平方即可． 【详解】解：（1）和均有意义， 且， 即且， ， 当时，， 可得 ∴，即， ，； （2）有意义， ， ， 因此，可变为， 即， ， 即， 的值是2024． 考点三 复合二次根式的化简（共5题） 1．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则 等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 3．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 4．（23-24八年级上·四川·阶段练习）完成下列各题， （1）若，那么的值是 ． （2）化简： ． 【答案】 【分析】（1）先对二次根式进行适当的变形，然后由得，进而代值求解即可； （2）利用完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：（1）原式， ， ， ∵， ∴， 原式， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质及完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质及完全平方公式是解题的关键． 5．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)7或13 (4)当时，，当时， 【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 考点四 二次根式中的参数问题（共5题） 1．（23-24八年级下·河北邯郸·期中）若是最简二次根式，且可与合并，则a的值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且可与合并， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查同类二次根式以及最简二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式以及最简二次根式，本题属于基础题型． 2．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）若最简二次根式与（a为有理数）可以合并，则m的值为（    ） A．2021 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】最简二次根式与可以合并，则与是同类二次根式，即被开方数相同，即，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴ 与是同类二次根式， ∴． 解得． 故选：B． 【点睛】此题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 3．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算：如果，那么 ； ． 【答案】 5 【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 【答案】1，4，9，36 【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值． 【详解】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36． 故答案是：1，4，9，36． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键． 5．（23-24八年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 考点五 二次根式的混合计算（共10题） 1．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质和混合运算法则计算即可得到答案； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得到答案； 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期末）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用二次根式的性质和运算法则计算即可求解； （）利用平方差公式、完全平方公式展开再合并即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除混合运算的法则及二次根式的性质是解题的关键． （1）先根据二次根式的乘除计算，再利用二次根式的性质化简，最后运用二次根式的加减法法则计算，即得答案； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再运用二次根式的加减法法则计算，即得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（北京市西城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的化简方法． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法和加法合并； （2）先用平方差公式展开，计算二次根式的乘法即可； 【详解】（1）解：原式： ． （2）原式： ． 5．（23-24八年级下·河南许昌·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算； （2）先化简二次根式，然后进行除法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识．熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，化简绝对值，然后进行加减运算即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式计算二次根式的乘法，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（23-24八年级下·天津西青·期末）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的知识点是二次根式的加减混合运算、二次根式的乘法、平方差公式，解题关键是熟练掌握二次根式的相关运算． （1）根据二次根式的加减混合运算法则即可得解； （2）根据二次根式的乘法、平方差公式即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 8．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简各数，再根据二次根式的乘法运算法则，结合乘法分配律去掉括号，再加减运算即可求解； （2）先利用乘法公式运算各式，然后加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）先根据二次根式的性质，绝对值的性质化简，然后合并同类二次根式即可求解； （2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（23-24八年级下·天津蓟州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算： （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可； （2）先根据完全平方公式去括号，然后计算二次根式除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点六 分母有理化（共5题） 1．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知，下列各式为负值的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分母有理数、二次根式的混合运算等知识点，掌握分母有理化的方法成为解题关键． 先对分母有理化，然后再分别代入各选项计算判断即可． 【详解】解：∵． ∴A.,不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意． 故选C． 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知的整数部分是，小数部分是，则的值为（    ） A．10 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出m，n的值，再代入进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故选：A． 3．（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）观察以下各式： ，， 利用以上规律计算： ． 【答案】2023 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的混合运算，由题意得出规律，再利用此规律结合二次根式的混合运算法则计算即可得出答案，得出规律是解此题的关键． 【详解】解：，，，…， ， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先根据平方差公式将二次根式的分母化为1，然后再进行二次根式的加减运算即可得解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】 ， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 考点七 二次根式的化简求值问题（共5题） 1．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）若，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和十字相乘法分解因式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．根据十字相乘法得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若，则代数式的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【分析】 本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将代数式化为完全平方式，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 3．（23-24九年级上·四川内江·期中）当时，多项式的值为 【答案】 【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知条件，得到，进而得到，将多项式转化为，再代值计算即可，本题的难度较大，关键是将已知式子进行变形，转化． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：. 4．（22-23八年级下·河北保定·期末）已知，则 （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质求得的值，进而求得的值，再将值代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ， （1）， （2）， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 5．（23-24八年级下·河南商丘·期中）【阅读材料】在二次根式的计算中，如：，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：， ． 【解决问题】 (1)化简 的结果为________； (2)已知 求 的值； (3)计算 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键． （1）利用分母有理化、平方差公式计算； （2）利用分母有理化化简a，b，利用提公因式法把原式变形，代入算即可； （3）根据（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， ， ； （3） ． 考点八 二次根式的应用（共5题） 1．（23-24八年级下·云南玉溪·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，解题的关键是求出大正方形的边长．先求出两个小正方形的边长，然后再求出大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可． 【详解】解：∵积为12的小正方形的边长为：， 面积为18小正方形的边长为：， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴余下部分的面积为． 故选A． 2．（23-24八年级下·广东湛江·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为3、4 、5 ，则的面积为（ ） A． B．2 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为3，4，5的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：， 的三边长分别为3，4，5，则的面积为： ， 故选：C 3．（2024八年级下·全国·专题练习）观察下列各式： ，，，…… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式运算类型的规律探究，根据已知等式将各式分别化简，得到，再将等式写成进行计算得到答案；正确分析得到等式的计算规律是解题的关键． 【详解】∵，，，， ∴ =， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·广东江门·期末）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，中，，，所对的边分别记为a，b，c，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答． 根据a，b，c的值求得，然后将其代入三角形的面积求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·四川达州·期末）阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： (1)已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； (2)当均为正数，即时，求函数的最小值； (3)如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)1，2 (2)3. (3) 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为，根据题意进行解答即可； （3）设，则，得到，根据四边形面积，即可得到答案． 【详解】（1）解；当时，， 当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 （2）当时，函数， ∵ 当且仅当即，即时取等号， 当时，有最小值，最小值为3. （3）设， 由题意可知，， 则 则， ∴四边形面积， 当且仅当时，等号成立， ∴四边形面积的最小值为． 考点九 二次根式的新定义问题（共5题） 1．（23-24八年级·江苏·假期作业）对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：；例如．那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的运算，二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）对X，Y定义一种新运算“*”：，其中a，为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质即可得出，再根据负整数指数幂即可得出，再根据新运算的定义将原式展开求解即可得出答案． 【详解】由题意，得 故选B 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂、不等式的解法，根据新定义得出正确的关系式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ． 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了新定义和解方程，理解和应用新定义是解题的关键．根据新定义，列方程，解答即可． 【详解】解：数对的一个“对称数对”是， 可能是或， 若是， 则，解得，，解得， ； 若是， 则，解得，，解得， ； 故答案为：6或． 4．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ． 【答案】7 【分析】易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可． 【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵， ∴ 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键． 5．（23-24八年级下·陕西延安·期中）定义：形如“”，“”的根式，我们称之为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉．当分式的分母上含有根号时，我们可以分子，分母同时乘以分母的对偶式，这样就可以消除分母上的根式，这样的做法我们叫做“分母有理化”．同样的道理，我们可应用此法将分子上的根号去掉，这样的做法叫做“分子有理化”． 根据以上材料，解答下列问题． (1)利用分母有理化，计算：的值． (2)利用分子有理化，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （）根据分母有理化即可求解； （）根据分子有理化即可求解； 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 $$