第十六章 二次根式知识归纳与题型突破（14类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第十六章 二次根式知识归纳与题型突破（14类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 知识点五、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点六、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 知识点七： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点八： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点九：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 03 题型归纳 题型一　求二次根式的值 例题1：（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 例题2：（24-25九年级上·全国·假期作业）当时，代数式的值是 ． 例题3：（23-24八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 巩固训练 1、（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 2、（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 3．（23-24八年级下·江西宜春·期末）若，，求的值． 题型二　求二次根式中的参数 例题1：（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 例题2：（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的的和为0，则的值为 ． 例题3：（23-24八年级上·四川达州·期中）已知a，b满足 （1）a=_______， b=______ （2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程 巩固训练 1．（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 2．（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）知n=-6，求的值． 题型三　二次根式有意义的条件 例题1：（23-24八年级下·广东广州·期末）下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（    ） A．6 B．3 C．0 D． 例题2：（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，那么 ． 例题3：（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列二次根式中字母的取值范围： (1)． (2)． 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）若一次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知，则的值为 ． 3、（24-25九年级上·全国·假期作业）已知：为实数，且，化简： 题型四　利用二次根式的性质化简 例题1：（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 例题2：（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简的结果是 ． 例题3：（23-24八年级下·北京·期末）已知，求代数式的值． 巩固训练 1．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 2．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）已知 , 则 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． (1)问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，______； (2)探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； (3)拓展应用 已知，求的值． 题型五　复合二次根式的化简 例题1：（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 例题2：（22-23八年级下·广东广州·期中）已知，，化简 ． 例题3：（23-24八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 巩固训练 1．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 3．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 题型六　最简二次根式与同类二次根式 例题1：（23-24八年级下·广东广州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 例题3：（23-24八年级·全国·课堂例题）化简下列各式： (1)（a>0）； (2)． 巩固训练 1．（23-24七年级下·重庆·期末）下列根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式， . 3．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 题型七　已知最简二次根式求参数 例题1：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题2：（23-24八年级下·重庆江津·期末）若最简二次根式和能合并，则 ． 例题3：（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 巩固训练 1．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 2．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）最简二次根式与能合并，则 ． 3．（23-24八年级·全国·假期作业）若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y的值． 题型八　二次根式的混合运算1 例题1：（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）计算： (1)； (2)． 例题2：（河南省许昌市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）计算： (1)； (2)． 例题3：（23-24八年级下·四川南充·期末）计算：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）计算： (1) (2) 2．（23-24八年级下·广西崇左·期末）计算： (1) (2) 3．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）计算： (1)； (2)． 题型九　二次根式的混合运算2 例题1：（23-24八年级下·广东广州·期末）已知： 求： (1)； (2) 例题2：（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，，求代数式的值． 例题3：（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定：，如：． (1)求． (2)若，求实数的取值范围，并将的取值范围表示在数轴上． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）（1）计算：． （2）已知，求的值． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 题型十　分母有理化 例题1：（23-24八年级下·云南玉溪·期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25八年级上·上海·假期作业）计算： ． 例题3：（23-24八年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面给出的问题． 数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，往往会发现有价值的东西，这是解决数学问题的一个重要策略”．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式． 例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． (1)直接写出的有理化因式：________． (2)请仿照上面的方法化简（且）． (3)已知，，求的值． 巩固训练 1、（23-24八年级下·江苏南通·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照上述规律，计算：（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简： ． 3、（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，试比较的大小，并说明理由． 题型十一　已知字母的值，化简求值 例题1：（23-24七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 例题2：（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则代数式的值为 ． 例题3：（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 巩固训练 1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·青海西宁·二模）已知，，则 ． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 题型十二　已知条件式，化简求值 例题1：（23-24八年级下·山东聊城·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 例题2：（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知实数a，b，c满足，，则 ． 例题3：（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 巩固训练 1．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林·二模）若，则 ． 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 题型十三　比较二次根式的大小 例题1：（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 例题2：（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ． 例题3：（23-24八年级下·江西南昌·期末）先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 2．（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）比较大小， ． 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 题型十四　二次根式的应用 例题1：（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）设矩形的面积为S，相邻的两边长分别为a、b，若，，则 ． 例题3：（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足 （不考虑风速的影响）． (1)从高处抛下的物体落地所需的时间 ；从高处抛下的物体落地所需的时间 (2)是的多少倍？ (3)若从高空抛下的物体经过落地，则该物体下落的高度是多少？ 巩固训练 1．（2024·云南昆明·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·三模）我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上，如图是小悦同学的参赛作品（单位：）． （1）小悦的作品 （填“是”或“否）符合参赛标准； （2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为 （彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）．    3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式知识归纳与题型突破（14类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 知识点五、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点六、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 知识点七： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点八： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点九：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 03 题型归纳 题型一　求二次根式的值 例题1：（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 例题2：（24-25九年级上·全国·假期作业）当时，代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式求值．将代入并运用算术平方根求解即可． 【详解】解：将代入得：． 故答案为：2． 例题3：（23-24八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 【答案】3 【分析】直接将代入二次根式即可求解． 【详解】解：将代入二次根式，得 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的性质直接开平方． 巩固训练 1、（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 2、（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 3．（23-24八年级下·江西宜春·期末）若，，求的值． 【答案】 【分析】由题意对利用提取公因式法分解因式，并代入利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握利用提取公因式法分解因式以及平方差公式是解题的关键． 题型二　求二次根式中的参数 例题1：（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 例题2：（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的的和为0，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 例题3：（23-24八年级上·四川达州·期中）已知a，b满足 （1）a=_______， b=______ （2）把a，b的值代下以下方程并求解关于的方程 【答案】（1）-4，；（2） 【分析】（1）结合题意，根据二次根式和绝对值的性质，通过求解一元一次方程方程，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，通过求解一元一次方程方程，即可完成求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：-4，； （2）根据（1）的结论，得： ∴ ∴． 【点睛】本题考查了一元一次方程、二次根式、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值的性质，并通过求解一元一次方程，从而完成求解． 巩固训练 1．（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是5． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 2．（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）知n=-6，求的值． 【答案】45． 【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性求出m的值，再代入可求出n的值，然后代入求解即可． 【详解】由二次根式的被开方数的非负性得： 则，解得 将代入得： 将代入得：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义（二次根式的被开方数的非负性），利用二次根式的定义求出m的值是解题关键． 题型三　二次根式有意义的条件 例题1：（23-24八年级下·广东广州·期末）下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（    ） A．6 B．3 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性求出的取值范围，由此即可得． 【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义，则，即， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 例题2：（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，代数式求值． 先根据二次根式的定义求出x的值，继而可得出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得出：， 解得：， ∴ ∴． 故答案为：1． 例题3：（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列二次根式中字母的取值范围： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． （1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可； （2）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式解不等式即可． 【详解】（1）解：由题可得，， 解得：； （2）解：由题可得， 解得：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）若一次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的定义的理解与掌握情况．形如的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数．正确理解只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义是解本题的关键．根据二次根式的定义，令二次根式的被开方数大于或等于零即可求出结论． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：A． 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3、（24-25九年级上·全国·假期作业）已知：为实数，且，化简： 【答案】2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值化简，二次根式化简，整式加减．根据题意可得，，再化简代数式即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得： ， 解得：， ∴， ∴ ． 题型四　利用二次根式的性质化简 例题1：（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 例题2：（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴．由数轴得到，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴ ， 故答案为：． 例题3：（23-24八年级下·北京·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的运算、完全平方公式、代数式的求值等问题，利用公式进行变形简化计算是解题的关键． 把代入变形后的结果，即可得到答案． 【详解】∵ ∴ ． 巩固训练 1．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）已知 , 则 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的化简求值、化简二次根式，将代入，再利用二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：将代入，得： ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）张老师善于对教材习题进行迁移拓展，帮助同学们形成整体的、发展的数学思维．某道教材习题题目为：“要使有意义，求a的值”，张老师根据此题整合所学知识形成了一道探究题，请你解答． (1)问题情境 例：已知，求的值． 解：由，得______，______，______； (2)探究迁移 若x，y为实数，且，计算：； (3)拓展应用 已知，求的值． 【答案】(1)2023；2024； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． （1）解不等式组即可求出x、y及的值； （2）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而化简代数式求值即可； （3）根据例题的解法，列出不等式组，即可求得，，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：由， 解得:，， ∴ ； （3）解：由， 得，， ∵， ∴． 题型五　复合二次根式的化简 例题1：（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】先估算出，再根据不等式的性质，得到，即可得到答案，此题考查了无理数的估算，实数与数轴，不等式的性质，熟练掌握方法是解题关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点C表示的数与最接近， 故选：C． 例题2：（22-23八年级下·广东广州·期中）已知，，化简 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘法法则和性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中． 例题3：（23-24八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）被开方数，据此即可开方； （2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 则原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键． 巩固训练 1．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 题型六　最简二次根式与同类二次根式 例题1：（23-24八年级下·广东广州·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：A中，不是最简二次根式，故不符合要求； B中，是最简二次根式，故符合要求； C中，不是最简二次根式，故不符合要求； D中，不是最简二次根式，故不符合要求； 故选：B． 例题2：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式，理解“化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式”是解决问题的关键． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：2． 例题3：（23-24八年级·全国·课堂例题）化简下列各式： (1)（a>0）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键 （1）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，进行约分； （2）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，将分母中的根号化去； 【详解】（1）原式． （2）原式． 巩固训练 1．（23-24七年级下·重庆·期末）下列根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的两个条件是解题的关键．根据最简二次根式的两个条件：被开方数是整数或整式；被开方数不能含开得尽方的因数或因式．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案． 【详解】解：A选项：可以化简，不是最简二次根式； B选项：，不能再开方，被开方数是整式，是最简二根式； C选项：，可以化简，不是最简二次根式； D选项：，可以化简，不是最简二次根式． 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式， . 【答案】 【分析】题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值． 【详解】解：∵与是被开方数相同的最简二次根式， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 题型七　已知最简二次根式求参数 例题1：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 例题2：（23-24八年级下·重庆江津·期末）若最简二次根式和能合并，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：最简二次根式和能合并， ， ． 故答案为：4． 例题3：（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值； （2）将和的值代入代数式得出答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴，， 解得，． （2）解：当，时． 【点睛】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 2．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，代数式求值等知识．熟练掌握同类二次根式，最简二次根式，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，，计算求解，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， ∴， 故答案为：2． 3．（23-24八年级·全国·假期作业）若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y的值． 【答案】4，3． 【分析】根据题意，这两个式子既为最简二次根式也是同类二次根式，所以被开方数相同且均为二次根式，列方程组求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴3x﹣10＝2，2x+y﹣5＝x﹣3y+11， 即 ， 解得：． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，还涉及二元一次方程组的求解，属于基础题，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 题型八　二次根式的混合运算1 例题1：（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键． （1）先化简二次根式和计算二次根式的乘除，最后再计算加减法即可； （2）先化简二次根式和计算完全平方式，最后再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 例题2：（河南省许昌市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例题3：（23-24八年级下·四川南充·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．先计算乘除，再合并，即可求解． 【详解】解： 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键. （1）先计算括号内的二次根式的减法，合并同类二次根式后再计算平方即可； （2）先利用二次根式的性质进行化简，合并括号内的同类二次根式后再计算乘法即可； 【详解】（1）解： （2）解： 2．（23-24八年级下·广西崇左·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序是：先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号），解题的关键是掌握运算法则． （1）先将每个二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）根据二次根式的性质，和二次根式的加减、乘除运算的法则，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘法和性质求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型九　二次根式的混合运算2 例题1：（23-24八年级下·广东广州·期末）已知： 求： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代数式求值，二次根式混合运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接把a、b值代入计算即可； （2）把化成，再把a、b值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ . 例题2：（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值；本题考查了二次根式的化简求值．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 【详解】解： 因为， 原式 ； 例题3：（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定：，如：． (1)求． (2)若，求实数的取值范围，并将的取值范围表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤． （1）根据新定义规定的运算法则列出算式，再进一步计算即可； （2）列出关于的不等式，再依次移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案． 【详解】（1）解：⊕ ； （2）⊕， ， ， 则， 表示在数轴上如下： 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算乘法运算，再合并，最后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式； 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）（1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的运算法则化简运算即可； （2）先把所求代数式化为最简形式，把α、b值代入，利用乘法公式计算，可得答案． 【详解】解：（1） （2）∵ ∴ 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 题型十　分母有理化 例题1：（23-24八年级下·云南玉溪·期中）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化，二次根式乘法等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式不成立，不符合题意； B、，原式不成立，不符合题意； C、，原式不成立，不符合题意； D、，原式成立，符合题意； 故选：D． 例题2：（24-25八年级上·上海·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可．本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键． 【详解】解： 故答案为：． 例题3：（23-24八年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面给出的问题． 数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，往往会发现有价值的东西，这是解决数学问题的一个重要策略”．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式． 例如：与，与． 化简一个分母含有二次根式的式子时，常常采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法． 例如：； ． (1)直接写出的有理化因式：________． (2)请仿照上面的方法化简（且）． (3)已知，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，以及二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简； （3）通过分母有理化可化简a、b，结合完全平方公式从而求出，将的值代入即可求解． 【详解】（1）解：， 的有理化因式为， 故答案为：． （2）解：且， 原式 ． （3）解： ． ， ， ． 巩固训练 1、（23-24八年级下·江苏南通·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按照上述规律，计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用已知运算规律得出，进而利用二次根式的加减运算法则得出答案． 【详解】解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第个等式：， ∴按照上述规律，． 故选：A． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 参照上面的方法化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分母有理化，仿照题意进行求解即可． 【详解】解； , 故答案为：． 3、（23-24八年级下·安徽淮北·期末）像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与与与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：①______；②______． (2)计算：． (3)已知，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) (3)；理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，计算求解即可；②根据，计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）①解：， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 题型十一　已知字母的值，化简求值 例题1：（23-24七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的化简求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先利用提公因式法和完全平方公式将的一部分进行因式分解，再将代入，即可得解． 【详解】解： ， 当时， 原式 ， 故选：C． 例题2：（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加法和乘法运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 把代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：． 例题3：（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，掌握公式是解题的关键． （1）将代入中即可求解； （2）利用完全平方公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 巩固训练 1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用及二次根式的运算，利用完全平方公式把化为，然后把代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 2．（2024·青海西宁·二模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为； （2）仿照小明的做法，计算出的值，的值，再将原式变形为，代入求解即可． 【详解】（1）解：仿照小明的做法： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 仿照小丽的做法： ∵ ∴当时， 原式 ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十二　已知条件式，化简求值 例题1：（23-24八年级下·山东聊城·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D． 例题2：（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知实数a，b，c满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把代入中得到，再由非负数的性质求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例题3：（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 巩固训练 1．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 2．（2023·吉林·二模）若，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．先因式分解得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：，， ． 故答案为： 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，根据，代值求解即可； （2）同理（1）计算求解即可； （3）同理（1）可得，进而可求 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴的值为． （2）解： ， ∴， ∴的值为； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 题型十三　比较二次根式的大小 例题1：（23-24八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 例题2：（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）比较下列实数的大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点．把根号外的因式平方后移入根号内，比较结果的大小，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 例题3：（23-24八年级下·江西南昌·期末）先用“”“”“”填空． ______；______；______． 再由上面各式猜想与（，）的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查二次根式性质比较大小及代数式规律等，根据二次根式性质比较大小，进而猜想出结论，利用完全平方公式验证即可得到答案，熟练掌握二次根式性质比较无理数大小是解决问题的关键． 【详解】解：，， 又， ； ，， 又， ； ，， 又， ； 猜想：（，）， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； 巩固训练 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 2．（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）比较大小， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先根据二次根式的性质变形，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十四　二次根式的应用 例题1：（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是数形结合，计算出两个小正方形的边长即可求解． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 两个小正方形的边长为：，， 原正方形边长为：， 故选：B． 例题2：（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）设矩形的面积为S，相邻的两边长分别为a、b，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算的应用，根据题意得：．将，，代入即可得到b的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 例题3：（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足 （不考虑风速的影响）． (1)从高处抛下的物体落地所需的时间 ；从高处抛下的物体落地所需的时间 (2)是的多少倍？ (3)若从高空抛下的物体经过落地，则该物体下落的高度是多少？ 【答案】(1)； (2)是的倍 (3)下落的高度是 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用： （1）根据所给公式代值计算即可； （2）根据（1）的计算结果求解即可； （3）把代入公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：；； （2）解：， ∴是的倍； （3）解：由题意得，， 解得， ∴下落的高度是． 巩固训练 1．（2024·云南昆明·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为， 则， 所以其面积， 的值为． 故选：A． 2．（2024·河北石家庄·三模）我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上，如图是小悦同学的参赛作品（单位：）． （1）小悦的作品 （填“是”或“否）符合参赛标准； （2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为 （彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）．    【答案】 是 19.7 【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式列式计算即可； （2）根据长方形的周长公式列式计算即可． 【详解】解：（1）由题意可知， ∵， ∴小悦的作品符合参赛标准． 故答案为：是； （2）由题意可得， ∴需要彩条的长度约为． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 【答案】(1)，； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据算术平方根的含义可得答案； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案； （3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， （2）矩形的长为，宽为， ∴剩余木料的面积； （3）剩余木条的长为，宽为， ∵，， ∴能截出个木条． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$