专题训练：全等三角形性质与判定的综合-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

全等三角形的性质与判定的综合 1．（2023春•浙江期末）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知AB＝AC，AE＝AD，∠CAB＝∠DAE＝90°，且点B，C，E在同一条直线上，BC＝10cm，CE＝4cm，连接DC．现有一只壁虎以2cm/s的速度沿B﹣C﹣D的路线爬行，则壁虎爬到点D所用的时间为（　　） A．10s B．11s C．12s D．13s 2．（2023春•金华期末）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，BE⊥CE，下列结论：①CE平分∠BCD；②AB+CD＝AD；③CE•BE＝S四边形ABCD；④AE＝DE．其中正确的有（　　） A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④ 3．（2024春•秦都区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ABC和∠BAD的平分线交于点P，点P在CD上，PE⊥AB于点E，若四边形ABCD的面积为78，AB＝13，则CD的长为（　　） A．6 B．10 C．12 D．18 4．（2023秋•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 5．（2023秋•黄石港区期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③ 6．（2023秋•宿迁月考）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　 　． 7．（2023秋•慈溪市期末）如图，点C、D在线段AB上，AC＝BD，AE＝BF，∠A＝∠B，CF与DE交于点G，若∠CGE＝94°，则∠GCD的度数为 　 　． 8．（2023秋•衢江区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在边AB上，E，F分别是射线CD上的两点，且∠AFC＝∠BEC，∠ACB+∠AFC＝180°，AF＝5，BE＝2．则EF的值是 　 　；若DF＝2CF，△AFD的面积为4，则△DEB的面积是 　 　． 9．（2022春•海曙区期末）如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 　 　． 10．（2023秋•海曙区期中）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 11．（2023秋•上城区期末）已知：如图，AC与DB相交于点O，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB＝DC． 12．（2023秋•婺城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点． （1）求证：∠1＝∠2． （2）写出图中的一对全等三角形，并给出证明． 13．（2022秋•余杭区月考）如图，点A，B在射线CA，CB上，CA＝CB．点E，F在射线CD上，∠BEC＝∠CFA，∠BEC+∠BCA＝180°． （1）求证：△BCE≌△CAF； （2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由． 14．（2023秋•宁波期末）如图，∠CBE＝∠DBF，∠A＝∠D，AC＝DE．求证：AB＝DB． 15．（2022秋•萧山区期中）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE． （1）证明：△ABD≌△ECB； （2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度． 16．（2023秋•嵊州市期中）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．在AB上截取AE＝AC，连结DE．若BC＝6cm，BE＝3cm． （1）求证：△AED≌△ACD； （2）求△BED的周长． 17．（2023秋•临平区月考）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q． （1）求证：△ABE≌△DBC； （2）求∠DMA的度数． 18．（2023秋•鄞州区期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE与BD相交于点O． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠2＝40°，求∠BDE的度数． 19．（2023秋•江北区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别是D，E． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）猜想线段AD，BE，DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 20．（2022秋•拱墅区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系； （3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数式表示）． 21．（2023秋•北仑区期末）如图，已知AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：AC＝AE； （2）若∠B＝36°，∠APC＝72°． ①求∠E的度数； ②求证：CP＝CE． 22．（2021秋•新化县期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 23．（2023秋•金华期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°. 问题解决 任务1 △OBO与△COE全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 24．（2023秋•桐乡市月考）阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD，若△ABD的面积为10，求△ABC的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH、AB交于点E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAC． ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°． 在△ADE和△ADC中，， ∴△ADE≌△ADC（依据1） ∴ED＝CD（依据2），S△ADE＝S△ADC， ∵，． … 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是 　 　，　 　； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E．若CE＝6，求BD的长． 25．（2023秋•利川市校级月考）如图，AB⊥AD，AB＝AD，AC⊥AE，AC＝AE． （1）如图1，∠BAC、∠ADE、∠AED之间的数量关系为 　 　； （2）如图2，点F为DE的中点，连接AF． ①求证：BC＝2AF． ②判断BC与AF的位置关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全等三角形的性质与判定的综合 1．（2023春•浙江期末）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知AB＝AC，AE＝AD，∠CAB＝∠DAE＝90°，且点B，C，E在同一条直线上，BC＝10cm，CE＝4cm，连接DC．现有一只壁虎以2cm/s的速度沿B﹣C﹣D的路线爬行，则壁虎爬到点D所用的时间为（　　） A．10s B．11s C．12s D．13s 【分析】先根据等腰直角三角形的性质可以得出△ABE≌△ACD，属于手拉手型全等，所以CD＝BE＝10+4＝14（cm），最后根据时间＝路程÷速度即可解答． 【解答】解：∵∠BAC＝∠EAD， ∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴CD＝BE＝BC+CE＝10+4＝14（cm）， 则BC+CD＝10+14＝24（cm）， ∵壁虎以2cm/s的速度B处往D处爬， ∴t＝24÷2＝12（s）． 故选：C． 2．（2023春•金华期末）如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，BE⊥CE，下列结论：①CE平分∠BCD；②AB+CD＝AD；③CE•BE＝S四边形ABCD；④AE＝DE．其中正确的有（　　） A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④ 【分析】由AB∥CD，得∠ABC+∠BCD＝180°，由∠BCE+∠CBE＝90°，∠DCE+∠ABE＝90°，且∠CBE＝∠ABE，得∠BCE＝∠DCE，则CE平分∠BCD，可判断①正确；在BC上截取BF＝BA，连接EF，可证明△FBE≌△ABE，得FE＝AE，∠FEB＝∠AEB，推导出∠FEC＝∠DEC，再证明△FEC≌△DEC，则CF＝CD，FE＝DE，所以AB+CD＝BC≠AD，AE＝DE，可判断②不正确，④正确；由S△FBE+S△ABE+S△FEC+S△DEC＝2S△BEC＝S四边形ABCD，且2S△BEC＝2×CE•BE＝CE•BE，得CE•BE＝S四边形ABCD，可判断③正确，于是得到问的答案． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BE⊥CE， ∴∠BEC＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠DCE+∠ABE＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABE， ∴∠BCE＝∠DCE， ∴CE平分∠BCD， 故①正确； 在BC上截取BF＝BA，连接EF， 在△FBE和△ABE中， ， ∴△FBE≌△ABE（SAS）， ∴FE＝AE，∠FEB＝∠AEB， ∵∠FEC+∠FEB＝∠BEC＝90°，∠DEC+∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°， ∴∠FEC＝∠DEC， 在△FEC和△DEC中， ， ∴△FEC≌△DEC（ASA）， ∴CF＝CD，FE＝DE， ∴AB+CD＝FB+FC＝BC≠AD，AE＝DE， 故②不正确，④正确； ∵S△FBE＝S△ABE，S△FEC＝S△DEC， ∴S△FBE+S△ABE+S△FEC+S△DEC＝2S△BEC＝S四边形ABCD， ∵2S△BEC＝2×CE•BE＝CE•BE， ∴CE•BE＝S四边形ABCD， 故③正确， 故选：C． 3．（2024春•秦都区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ABC和∠BAD的平分线交于点P，点P在CD上，PE⊥AB于点E，若四边形ABCD的面积为78，AB＝13，则CD的长为（　　） A．6 B．10 C．12 D．18 【分析】通过证明△DAP≌△EAP，△EBP≌△CBP，得到AD＝AE，BE＝BC，根据求出结果即可． 【解答】解：∵AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠D＝90°， ∵PE⊥AB于点E， ∴∠PEA＝∠PEB＝90°， ∵AP平分∠BAD，BP平分∠ABC， ∴∠DAP＝∠EAP，∠EBP＝∠CBP， 在△DAP与△EAP中， ， ∴△DAP≌△EAP（AAS）， 同理△EBP≌△CBP（AAS）， ∴AD＝AE，BE＝BC， ， ∵AB＝13， ∴DC＝12， 故选：C． 4．（2023秋•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【分析】由角平分线的定义、三角形的内角和定理得∠AOB与∠C的关系，判定①正确；在AB上取一点H，使BH＝BE，证△HBO≌△EBO，得∠BOH＝∠BOE＝60°，再证△HAO≌△FAO，得AF＝AH，判定②正确；过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，由三角形的面积证得③正确；即可得出结论． 【解答】解：①∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB， ∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，故①正确； ②∵∠C＝60°， ∴∠BAC+∠ABC＝120°， ∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线， ∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠AOF＝60°， ∴∠BOE＝60°， 如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，连接OH， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO＝∠EBO， 在△HBO和△EBO中， ， ∴△HBO≌△EBO（SAS）， ∴∠BOH＝∠BOE＝60°， ∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠AOH＝∠AOF， 在△HAO和△FAO中， ， ∴△HAO≌△FAO（ASA）， ∴AF＝AH， ∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确； ③过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M， ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴点O在∠C的平分线上， ∴ON＝OM＝OD＝a， ∵AB+AC+BC＝2b ∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×ON+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，故③正确． 故选：C． 5．（2023秋•黄石港区期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDE＝S△ABP，其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．②③ 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断． 【解答】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE＝（∠A+∠B）＝45°， ∴∠APB＝135°，故①正确． ∴∠BPD＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 又∵∠ABP＝∠FBP， BP＝BP， ∴△ABP≌△FBP， ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确． 在△APH和△FPD中， ∵∠APH＝∠FPD＝90°， ∠PAH＝∠BAP＝∠BFP， PA＝PF， ∴△APH≌△FPD， ∴AH＝FD， 又∵AB＝FB， ∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确． 连接HD，ED． ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD， ∵∠HPD＝90°， ∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH＝S△EPD， ∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD ＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD ＝S△ABP+S△APH+S△PBD ＝S△ABP+S△FPD+S△PBD ＝S△ABP+S△FBP ＝2S△ABP，故④不正确． 故选：C． 6．（2023秋•宿迁月考）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是 　2　． 【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值． 【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3． ∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2 故选答案为2． 7．（2023秋•慈溪市期末）如图，点C、D在线段AB上，AC＝BD，AE＝BF，∠A＝∠B，CF与DE交于点G，若∠CGE＝94°，则∠GCD的度数为 　47°　． 【分析】首先证明AD＝BC，然后利用SAS即可证得△ADE≌△BCF，根据全等三角形的对应角相等及三角形外角性质求解即可． 【解答】解：∵AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD， 即AD＝BC， 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BCF， ∵∠CGE＝∠ADE+∠BCF＝94°， ∴∠GCD＝∠BCF＝47°， 故答案为：47°． 8．（2023秋•衢江区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在边AB上，E，F分别是射线CD上的两点，且∠AFC＝∠BEC，∠ACB+∠AFC＝180°，AF＝5，BE＝2．则EF的值是 　3　；若DF＝2CF，△AFD的面积为4，则△DEB的面积是 　　． 【分析】依题意，∠AFC＝180°﹣∠AFD，进而得到∠ACB＝∠AFD．再证明∠CAF＝∠BCE，再由三角形内角和定理可得∠EBC＝∠FCA，最后利用ASA证明△EBC≌△FCA得出CF＝BE，AF＝CE，即可求得EF＝3，进而根据DF＝2CF＝4得出，根据全等三角形的性质得出S△EBC＝S△FCA，即可求解． 【解答】解：∵∠BEC＝∠AFC＝180°﹣∠ACB且∠AFC＝180°﹣∠AFD ∴∠ACB＝∠AFD 由外角定理可得∠AFD＝∠ACD+∠CAF， 又∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE， ∴∠CAF＝∠BCE， ∵∠BEC＝∠AFC ∴∠EBC＝∠FCA 在△EBC和△FCA中， ∴△EBC≌△FCA（ASA）． ∴CF＝BE，AF＝CE ∵AF＝5，BE＝2 ∴EF＝CE﹣CF＝AF﹣EB＝5﹣2＝3 ∵△EBC≌△FCA ∴S△EBC＝S△FCA， ∵△AFD的面积为4，DF＝2CF＝4 ∴S△EBC＝S△FCA＝2，DE＝DF﹣EF＝4﹣3＝1 ∵CE＝5， ∴ ∴△DEB的面积是 故答案为：3，． 9．（2022春•海曙区期末）如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为 　8　． 【分析】利用矩形和等腰直角三角形性质可证得：△ABE≌△ECF（AAS），得出：AB＝CE，BE＝CF，由点F是CD的中点，可得BE＝CF＝CD＝AB，再由BC＝12，可得AB+AB＝12，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴AE＝EF，∠AEF＝90°， ∴∠FEC+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC， 在△ABE和△ECF中， ， ∴△ABE≌△ECF（AAS）， ∴AB＝CE，BE＝CF， ∵点F是CD的中点， ∴CF＝CD， ∴BE＝CF＝AB， ∵BE+CE＝BC＝12， ∴AB+AB＝12， ∴AB＝8， 故答案为：8． 10．（2023秋•海曙区期中）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【分析】根据SAS证明△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∴BF＝CE， 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠A＝∠D． 11．（2023秋•上城区期末）已知：如图，AC与DB相交于点O，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB＝DC． 【分析】证明△ABC≌△DCB（ASA），即可得到结论． 【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ABC＝∠DCB， 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（ASA）， ∴AB＝DC． 12．（2023秋•婺城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点． （1）求证：∠1＝∠2． （2）写出图中的一对全等三角形，并给出证明． 【分析】（1）根据同角的余角相等解答即可； （2）根据ASA证明三角形全等即可． 【解答】（1）证明：∵F是高AD和高BE的交点， ∴∠1+∠C＝∠2+∠C＝90°， ∴∠1＝∠2； （2）解：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°， ∴BD＝AD， 在△BFD与△CAD中， ， ∴△BFD≌△CAD（ASA）． 13．（2022秋•余杭区月考）如图，点A，B在射线CA，CB上，CA＝CB．点E，F在射线CD上，∠BEC＝∠CFA，∠BEC+∠BCA＝180°． （1）求证：△BCE≌△CAF； （2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由“AAS”可证△BCE≌△CAF； （2）由全等三角形的性质可得AF＝CE，CF＝BE，可得结论． 【解答】（1）证明：∵∠BEC+∠BCA＝180°， ∴∠BEC+∠ECB+∠ACF＝180°， ∵∠CFA+∠ACF+∠FAC＝180°，∠BEC＝∠CFA， ∴∠BCF＝∠FAC， 在△BCE与△CAF中 ， ∴△BCE≌△CAF（AAS）； （2）解：AF+EF＝BE，理由如下： ∵△BCE≌△CAF， ∴AF＝CE，CF＝BE， ∵CE+EF＝CF， ∴AF+EF＝BE． 14．（2023秋•宁波期末）如图，∠CBE＝∠DBF，∠A＝∠D，AC＝DE．求证：AB＝DB． 【分析】根据AAS证明△ABC与△DBE全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵∠CBE＝∠DBF， ∴∠CBE+∠ABE＝∠DBF+∠ABE， 即∠ABC＝∠DBE， 在△ABC与△DBE中， ， ∴△ABC≌△DBE（AAS）， ∴AB＝DB． 15．（2022秋•萧山区期中）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE． （1）证明：△ABD≌△ECB； （2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度． 【分析】（1）由AD∥BC，得∠ADB＝∠EBC，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABD≌△ECB； （2）由△ABD≌△ECB，得DB＝BC＝15，AD＝EB＝6，即可由DE＝DB﹣EB求得DE的长度为9． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBC， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）． （2）解：△ABD≌△ECB， ∴DB＝BC＝15，AD＝EB＝6， ∴DE＝DB﹣EB＝15﹣6＝9， ∴DE的长度是9． 16．（2023秋•嵊州市期中）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．在AB上截取AE＝AC，连结DE．若BC＝6cm，BE＝3cm． （1）求证：△AED≌△ACD； （2）求△BED的周长． 【分析】（1）先由AD平分∠BAC证明∠EAD＝∠CAD，再根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△AED≌△ACD； （2）根据全等三角形的对应边相等得ED＝CD，由BD+ED＝BD+CD＝BC先求出BD+ED的值，再求出BD+ED+BE的值，即得到△BED的周长． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠CAD， 在△AED和△ACD中， ， ∴△AED≌△ACD（SAS）． （2）解：∵ED＝CD，BC＝6cm，BE＝3cm， ∴BD+ED＝BD+CD＝BC＝6cm， ∴BD+ED+BE＝6+3＝9（cm）， ∴△BED的周长是9cm． 17．（2023秋•临平区月考）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q． （1）求证：△ABE≌△DBC； （2）求∠DMA的度数． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，由SAS可得△ABE≌△DBC； （2）结合（1），由三角形的内角和和三角形的外角性质可得答案． 【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE为等边三角形， ∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC， ∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°， 在△ABE和△DBC中， ， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， （2）解：由（1）知△ABE≌△DBC， ∴∠BAE＝∠BDC， ∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°． 18．（2023秋•鄞州区期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE与BD相交于点O． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠2＝40°，求∠BDE的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED； （2）由（1）可知：EC＝ED，∠C＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数； 【解答】（1）证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED． 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． （2）解：∵△AEC≌△BED， ∴EC＝ED，∠C＝∠BDE． 在△EDC中， ∵EC＝ED，∠1＝∠2＝40°， ∴∠C＝∠EDC＝70°， ∴∠BDE＝∠C＝70°． 19．（2023秋•江北区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别是D，E． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）猜想线段AD，BE，DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，利用AAS定理证明△ADC≌△CEB； （2）根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BE＝CD，结合图形解答即可． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∵BE⊥MN， ∴∠CBE+∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：AD＝BE+DE， 理由如下：∵△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，BE＝CD， ∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE． 20．（2022秋•拱墅区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系； （3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数式表示）． 【分析】（1）由于DE⊥AB，那么∠AED＝90°，则有∠ACB＝∠AED，联合∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，利用AAS即可证明△ACD≌△AED，再根据全等三角形的性质即可得解； （2）由△ACD≌△AED，证得DC＝DE，然后根据HL判定Rt△CDF≌Rt△EDB，得到∠CFD＝∠B，再根据邻补角的定义等量代换即可得解； （3）由AC＝AE，CF＝BE，根据AB＝AE+BE，AC＝AF+CF即可得解． 【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴∠C＝∠AED＝90°， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC＝AE； （2）解：∠B+∠AFD＝180°，理由如下： 由（1）得：△ACD≌△AED， ∴DC＝DE， 在Rt△CDF和Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴∠CFD＝∠B， ∵∠CFD+∠AFD＝180°， ∴∠B+∠AFD＝180°； （3）解：由（2）知，Rt△CDF≌Rt△EDB， ∴CF＝BE， 由（1）知AC＝AE， ∵AB＝AE+BE， ∴AB＝AC+BE， ∵AC＝AF+CF， ∴AB＝AF+2BE， ∵AB＝m，AF＝n， ∴BE＝（m﹣n）． 21．（2023秋•北仑区期末）如图，已知AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：AC＝AE； （2）若∠B＝36°，∠APC＝72°． ①求∠E的度数； ②求证：CP＝CE． 【分析】（1）证明△BAC≌△DAE（ASA），由全等三角形的性质得出结论； （2）①由三角形外角的性质求出∠CAE＝40°，由全等三角形的性质得出AC＝AE，由等腰三角形的性质可求出答案； ②证明△ACP≌△ACE（AAS），由全等三角形的性质得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（ASA）， ∴AC＝AE； （2）①解：∵∠B＝36°，∠APC＝72°， ∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝72°﹣36°＝36°， ∴∠CAE＝36°， ∵△BAC≌△DAE， ∴AC＝AE， ∴∠ACE＝∠E＝×（180°﹣∠CAE）＝×（180°﹣36°）＝72°； ②证明：∵△BAC≌△DAE， ∴∠ACB＝∠E， ∴∠ACB＝∠ACE，∠APC＝∠E， 在△ACP和△ACE中， ， ∴△ACP≌△ACE（AAS）， ∴CP＝CE． 22．（2021秋•新化县期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE； （2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论． 【解答】（1）证明： ∵BD⊥DE，CE⊥DE， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝DA， ∴DE＝AE+DA＝BD+CE； （2）解：成立，证明如下： ∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a， ∴∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝DA， ∴DE＝AE+DA＝BD+CE． 23．（2023秋•金华期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°. 问题解决 任务1 △OBO与△COE全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【分析】任务1：理由AAS可以证明△OBO与△COE全等； 任务2：理由△BOD≌△OCE，得到BD＝OE＝1.4m，EC＝OD＝1.8m，进而可求出当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面高度． 【解答】解：任务1：∵BD⊥OA，CE⊥OA， ∴∠ODB＝∠OEC＝90°， ∵∠BOC＝90°，∠BOD+∠EOC＝90°，∠BOD+∠DBO＝90°， ∴∠OBD＝∠EOC， 在△BOD和△OCE中， ， ∴△BOD≌△OCE（AAS）； 任务2：设OA的延长线与地面交于M，如图， ∵△BOD≌△OCE， ∴BD＝OE＝1.4m，EC＝OD＝1.8m， ∴EM＝OD+DM﹣OE＝1.8+1﹣1.4＝1.4（m）． 24．（2023秋•桐乡市月考）阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD，若△ABD的面积为10，求△ABC的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH、AB交于点E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAB＝∠DAC． ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°． 在△ADE和△ADC中，， ∴△ADE≌△ADC（依据1） ∴ED＝CD（依据2），S△ADE＝S△ADC， ∵，． … 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是 　两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA）　，　全等三角形的对应边相等　； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E．若CE＝6，求BD的长． 【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案； 任务二：先推出△ADE≌△ADC（ASA），得出S△ADE＝S△ADC，ED＝CD，进而可得S△BDE＝S△BDC，即可得到答案； 应用：延长CE、BA交于点F，先推出△FBE≌△CBE（ASA），得到EF＝CE＝6，进而可得CF＝EF+EC＝12，再推出△ABD≌△ACF（ASA），即可得出结论． 【解答】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等； 故答案为：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等； 任务二：剩余部分如下： ∴S△BDE＝S△BDC， ∴S△ADE+S△BDE＝S△ADC+S△BDC， ∴S△ABC＝2S△ABD＝20； 应用：延长CE、BA交于点F， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵CE⊥BE， ∴∠BEF＝∠BEC＝90°， 在△FBE和△CBE中， ， ∴△FBE≌△CBE（ASA）， ∴EF＝CE＝6， ∴CF＝EF+EC＝12， ∵∠BEF＝∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°， ∴∠ABD＝∠ACF， 在△ABD和△ACF中， ， ∴△ABD≌△ACF（ASA）， ∴BD＝CF＝12． 25．（2023秋•利川市校级月考）如图，AB⊥AD，AB＝AD，AC⊥AE，AC＝AE． （1）如图1，∠BAC、∠ADE、∠AED之间的数量关系为 　∠BAC＝∠ADE+∠AED　； （2）如图2，点F为DE的中点，连接AF． ①求证：BC＝2AF． ②判断BC与AF的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）证明∠DAB＝∠CAE＝90°，则可得出结论； （2）①延长AF至M，使FM＝AF，连接ME，证明△AFD≌△MFE（SAS），得出AD＝ME，∠ADF＝∠MEF，证明△AEM≌△CAB（SAS），由全等三角形的性质得出AM＝BC，则可得出结论； ②延长FA交BC于点N，由全等三角形的性质得出∠MAE＝∠ACB，证出∠ANC＝90°，则可得出结论． 【解答】（1）解：∵AD⊥AB，AC⊥AE， ∴∠DAB＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠DAE＝180°， ∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°， ∴∠BAC＝∠ADE+∠AED， 故答案为：∠BAC＝∠ADE+∠AED； （2）①证明：延长AF至M，使FM＝AF，连接ME， ∵F为DE的中点， ∴DF＝EF， ∵∠AFD＝∠MFE， ∴△AFD≌△MFE（SAS）， ∴AD＝ME，∠ADF＝∠MEF， ∴AD∥EM， ∴∠DAE+∠AEM＝180°， ∵∠DAE+∠BAC＝180°， ∴∠AEM＝∠BAC， ∵AD＝AB，AD＝ME， ∴AB＝ME， 又∵AE＝AC， ∴△AEM≌△CAB（SAS）， ∴AM＝BC， ∴BC＝2AF； ②解：BC⊥AF， 延长FA交BC于点N， ∵△AEM≌△CAB， ∴∠MAE＝∠ACB， ∵∠EAC＝90°， ∴∠MAE+∠NAC＝90°， ∴∠ACB+∠NAC＝90°， ∴∠ACB+∠NAC＝90°， ∴∠ANC＝90°， ∴AF⊥BC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$