专题03 分式与二次根式【好题汇编】-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河北专用）

专题03 分式与二次根式 分式部分 1．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案． 【详解】解：设，，， ∵矩形， ∴，， ∴，，， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 2．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键． 4．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可 【详解】 ∵x和y互为倒数 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1 5．（2021·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可． 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 6．（2020·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵a≠b， ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 二次根式部分 7．（2023·河北·中考真题）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】把代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键． 8．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A.，故错误； B.，故正确； C.，故错误； D.，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 9．（2021·河北·中考真题）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案． 10．（2021·河北·中考真题）若取1.442，计算的结果是（    ） A．-100 B．-144．2 C．144.2 D．-0.01442 【答案】B 【分析】类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可． 【详解】 故选B． 【点睛】本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键． 11．（2020·河北·中考真题）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（    ） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 【答案】B 【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形． 【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c， 由勾股定理，得， A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：； B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：； C、∵3+4≠5，则不符合题意； D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：； ∵， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题． 12．（2020·河北·中考真题）已知：，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解． 【详解】∵ ∴a=3,b=2 ∴6 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 13．（2024·河北张家口·三模）若与互为相反数，且，均不为0，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的求值，根据相反数的定义得到，将分式化简后，进行计算即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 14．（2024·河北石家庄·三模）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法，根据同分母分式的减法计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故选：D ． 15．（2024·河北保定·一模）若分式与的值相等，则m的值不可能是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程及分式有意义的条件，考查学生的运算能力、推理能力． 根据题意得，解得，再根据分式有意义的条件，得出，即，求解即可． 【详解】解：由题得：， 解得． 又∵， ∴，则． 故选：C． 16．（2024·河北邯郸·模拟预测）对于分式，有下列结论： 结论一：当时，； 结论二：当时，； 结论三：若，则． 其中正确的结论是（    ） A．结论一 B．结论二 C．结论二、结论三 D．结论一、结论二 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件、分式的化简、解分式方程，将代入分式计算即可判断结论一；根据得分式方程，求解即可判断结论二；分式和化为，再根据得，即可判断结论三． 【详解】解：当时，，则分式无意义，故结论一不符合题意； 当时，即，解得：， 检验，当时，则是分式方程得解，故结论二符合题意； ， 若，则，即， ∴，故结论三不符合题意； 综上，正确的结论是结论二， 故选：B． 17．（2024·河北邯郸·二模）若为整数，则使分式的值为整数的的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简分式，然后利用整数的整除性求到的值即可求解． 【详解】解： ， 要使分式值为整数，且x为整数， ， 又， ，， 整数的的个数有1，，，共3个， 故选：B． 18．（2024·河北唐山·三模）若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简求值，倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据分式的减法进行计算，再化简，结合倒数的定义，最后求得答案． 【详解】，互为倒数， 故选：D． 19．（2024·河北唐山·三模）已知，则常数，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查异分母分式的加法，将等式左边利用异分母分式的加法进行求解，根据恒等式，求出的值即可． 【详解】解：， ∴， 解得：； 故选A． 20．（2024·河北唐山·三模）在推导过程：对于非零实数，∵，∴，要使推导过程成立，则□和○中分别应填（   ） A．，1 B．，0 C．，0 D．，1 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂运算法则，解题的关键是熟练掌握同底数幂除法运算法则和零指数幂运算法则，根据零指数幂和同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 21．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和，若的长为整数，则的值为（    ） A．1 B．9 C．3或9 D．1或7 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的加减，结合已知条件列式并进行变形是解题的关键． 由题意列式可得，整理后可得，然后进行变形即可解答． 【详解】解：∵点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和， ∴, ， ∵的长为整数， ∴或9． 故选C． 22．（2024·河北邯郸·二模）若运算的结果不是分式，则“（    ）”内的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘除法和整式，根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案． 【详解】解： ∵运算的结果为不是分式， ∴“（    ）”内的式子一定有a的单项式， ∴只有A项符合， 故选：A． 23．（2024·河北邢台·一模）嘉淇在化简分式：时，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 已知嘉淇的解答过程是错误的，则他开始出现错误的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则计算并判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据运算法则，开始出现错误的步骤是第二步， 正确的是， 故选：． 24．（2024·河北石家庄·一模）如图所示，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确的情况下，则撕坏的部分中“■”代表的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算，用结果除以，再加上1即为“■”代表的式子． 【详解】解：由题意，得：“■”代表的是； 故选：A． 25．（2024·河北邯郸·三模）当a为正整数时，对于整式 下列两种说法： 甲：整式P、Q的公因式为a；          乙． 的值随着a的增大逐渐趋近于1． 其中正确的是 （        ） A．甲、乙都对 B．甲不对、乙对 C．甲对、乙不对 D．甲、乙都不对 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，分式的性质，掌握因式分解是解题的关键. 【详解】解：由题意可知, ∴整式的公因式为，故甲不对 ∵ ∴当a的逐渐增大，趋近于1，故乙正确 故选:B 26．（2024·河北石家庄·二模）李老师在黑板上出了一道题目，计算：．下面是三位同学的解答过程： 小明：原式； 小亮：原式； 小华：原式． 则关于以上三位学生的解答，下列说法正确的是（    ） A．只有小明的解答正确 B．只有小亮的解答正确 C．小明和小亮的解答都不正确 D．小明和小华的解答都正确 【答案】D 【分析】本题考查了分式的减法运算法则，掌握分式的加减运算法则是解题的关键； 根据三位学生解答过程可知小亮进行了“去分母”，因为是分式运算，需要进行化简和通分，再进行加减，不是分式方程，所以小亮的错误，而小明和小华分别进行了分式加减运算，故正确． 【详解】解法一： ； 解法二： ． 故选． 27．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 【答案】 2 或或 【分析】本题考查了分式的混合运算的应用； （1）根据题意，可以分别写出两块试验田的单位面积，然后比较大小即可． （2）根据“两种小麦种植后产量相同”得出关于的一元一次方程，解方程得，根据题意，即可求解． 【详解】解：（1）由图可得， “丰收1号”单位面积的产量为： “丰收2号”单位面积的产量为： ∵ ∴ ∴， 即“丰收2号”小麦单位面积产量高， 故答案为：． （2）依题意， 解得： ∵，为正整数， ∴或或． 28．（2024·河北石家庄·二模）（1）已知代数式：与可以合并，则 ， ． （2）先化简，再求值：，其中和为（1）中的值． 【答案】（1）2，；（2）， 【分析】本题考查了同类项、分式的化简求值，熟练掌握同类项的定义以及分式的混合运算法则是解此题的关键． （1）由题意得出与是同类项，推出，，求解即可得出答案； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再将（1）中和的值代入计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵代数式：与可以合并， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，； （2） ， 由（1）可得，，原式． 29．（2024·河北保定·二模）（1）计算： （2）嘉琪与小明通过计算发现的结果是个定值．下面是这两位同学的部分说理过程： 解：原式 解：原式 ①嘉琪同学解法的依据是__________，小明同学解法的依据是__________；（填序号） A．乘法分配律；    B．乘法交换律；    C．分式的基本性质；    D．等式的基本性质． ②请选择其中一种解法，求出这个定值． 【答案】（1）；（2）①C，A；② 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、实数的运算等知识点， （1）先计算乘方和乘法，然后计算加减法即可； （2）①嘉琪同学解法的依据是分式的基本性质，小明同学解法的依据是乘法分配律，本题得以解决；②选择嘉琪或小明，根据分式的运算法则计算即可； 熟练掌握其运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1） ， （2）①嘉琪同学解法的依据是分式的基本性质，小明同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：C，A； ②嘉琪的做法： 原式 ， 或小明的做法： 原式 ． 30．（2024·河北沧州·一模）将克糖放入一杯水中，得到克糖水（）． (1)糖水的浓度为_____________； A．        B．        C． (2)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_________； (3)请证明（2）中的不等式成立． 【答案】(1)B (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）根据“糖水浓度糖糖水”，即可求解； （2）先表示出加入克糖后，糖水的浓度为：，根据糖水变甜，浓度变大，得出； （3）利用作差法进行证明即可． 【详解】（1）解：糖水的浓度为：， 故选：B； （2）再往杯中加入克糖后，糖水的浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了， ， 故答案为：； （3）证明： ，， ，， ， 即． 31．（2024·河北邯郸·二模）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动减去，同时区就会自动加上，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是4和，如图． 例如：第一次按键后，，两区分别显示： (1)从初始状态按2次后，若区、区的代数式的值相等，求的值； (2)已知，从初始状态按4次后，若把区的代数式作分子，区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简． 【答案】(1)或者 (2) 【分析】本题考查了数字类规律问题、分式的化简和解一元二次方程的知识， （1）根据题意列出算式，再进一步得出一元二次方程，解方程即可； （2）根据A区、B区的计算结果列出分式，结合完全平方公式进行化简即可． 【详解】（1）A区显示的结果为：； B区显示的结果为：， 根据区、区的代数式的值相等可得：， 整理得：， 解得：，， 即的值为或者； （2）设从初始状态按4次后， A区显示的结果为：； B区显示的结果为：， 根据题意有分式：， 化简结果为：． 32．（2024·河北唐山·二模）若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 故选：C． 33．（2024·河北邢台·模拟预测）若是正整数，则a不可能的值为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，根据被开方数能开平方的知识点进行解题即可． 【详解】解：A、，故不是正整数，符合题意； B、，故是正整数，不符合题意； C、，故是正整数，不符合题意； D、，故是正整数，不符合题意； 故选：A． 34．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是利用二次根式的性质化简及二次根式的乘法，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 先根据二次根式的性质化简，再将、的值代入即可求解． 【详解】解：． 故选：． 35．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，考查学生的运算能力，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算二次根式的减法，再计算除法即可． 【详解】 ， 故选：B． 36．（2024·河北保定·二模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式乘法，把已知条件式两边同时乘以即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 37．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 38．（2024·河北邯郸·二模）（m，n为整数），则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及加减运算，根据题意得，然后计算，最后对应位置数字相等即可得出，代入求解即可，熟练掌握二次根式的化简及加减运算是解题关键 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C 39．（2024·河北沧州·三模）计算：，若使计算结果最小，则“”中的符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；把各个运算符合填入计算得到结果，判断即可． 【详解】解：， ， ， “”中的符号是． 故选：C． 40．（2024·河北保定·一模）关于的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握运算法则是解题的关键，利用二次根式的乘法法则以及逆用逐项判定即可． 【详解】解∶A．，计算正确，但不符合题意； B，计算正确，但不符合题意； C．，原计算不正确，符合题意； D． ，计算正确，但不符合题意； 故选：C． 41．（2024·河北石家庄·一模）下列算式结果最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算．计算出各个选项中式子的结果，然后观察，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 42．（2024·河北邯郸·模拟）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，估算无理数的大小，将化简为是解题的关键． 先利用二次根式的乘法法则与二次根式的性质求出，再利用夹值法即可求出的范围． 【详解】解：． 即． 故选：B． 43．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则的平方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减，算术平方根，平方根； 根据二次根式的加减求出，然后根据算术平方根和平方根的关系得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的平方根为， 故选：D． 44．（2024·河北邯郸·三模）如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为 宽为 的矩形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的面积是 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，矩形的性质，圆的面积公式，根据题意得出周长，进而求得圆的半径，根据圆的面积公式，即可求解． 【详解】解：这根铁丝的周长为 ∴将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则半径为 ∴面积为 故选：B． 45．（2024·河北石家庄·三模）计算的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段． 【答案】 ② 【分析】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算、实数与数轴，先根据二次根式的乘法求出式子的值，再估算出，从而得出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴，即，故这个数落在了数轴上的②段， 故答案为：，② ． 46．（2024·河北石家庄·三模）我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上，如图是小悦同学的参赛作品（单位：）． （1）小悦的作品 （填“是”或“否）符合参赛标准； （2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为 （彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）．    【答案】 是 19.7 【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式列式计算即可； （2）根据长方形的周长公式列式计算即可． 【详解】解：（1）由题意可知， ∵， ∴小悦的作品符合参赛标准． 故答案为：是； （2）由题意可得， ∴需要彩条的长度约为． 故答案为：． 47．（2024·河北保定·二模）发现：数轴上从左至右排列的三个数，若每相邻的两个数相差为1，则中间的数的平方与两边的数的积的差为定值． 验证：（1）______，______，______． 探究：（2）设“发现”中的中间的数为n，请论证“发现”中的结论的正确性． 【答案】（1）1，1，1；（2）结论正确，证明见解析 【分析】本条考查了整式的乘法运算，实数的混合运算及二次根式的乘法运算． （1）根据实数的混合运算法则即二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）根据题意，设“发现”中的中间的数为n，则两边的数分别为，根即题意列出式子，计算验证即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）设“发现”中的中间的数为n，则两边的数分别为， 依题意，得． 48．（2024·河北石家庄·二模）已知两个实数：和． (1)计算：； (2)若m为正整数，与这两个数的平方和小于m，求m的最小值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查实数的运算，求一元一次不等式的整数解： （1）利用分母有理化进行求解即可； （2）根据题意，列出不等式，求出不等式的整数解即可． 【详解】（1）解：； （2）由题意得： 解得 ∴m取最小正整数值6． 49．（2024·河北唐山·二模）有个填写数字的游戏：在“”中的每个内，填入数字（可重复使用），然后计算结果． (1)计算：； (2)若，请推算□内的数字； (3)若三个内从左往右依次填入入三个数，请你直接写出计算结果（计算结果要求用科学记数法表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，二次根式的混合运算，幂的运算； （1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． （2）根据题意可得□内的数字为:，进而根据二次根式的乘法进行计算即可求解； （3）根据题意列出算式，进而根据幂的运算进行计算，最后表示成科学记数法的形式，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）□内的数字为: ∴□内的数字为1； （3）解： 50．（2024·河北唐山·三模）在数学中，每一个数字都可以用含有运算符号“+，，×，÷”的等式表示，如，，，等等．请仿照示例，解决下列问题： (1)将表示为一个负数与一个正数的和； (2)将表示为两个无理数的积； (3)嘉嘉将表示为，请你求出的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查的 是实数的运算，二次根式的乘法运算，方程的应用，理解题意是关键； （1）根据实数的加法法则写表达式即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则写表达式即可； （3）根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：（答案不唯一）； （3）解：由题可得， 解得． 试卷第2页，共28页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式与二次根式 分式部分 1．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 3．（2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2021·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．（2020·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 二次根式部分 7．（2023·河北·中考真题）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 8．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2021·河北·中考真题）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 10．（2021·河北·中考真题）若取1.442，计算的结果是（    ） A．-100 B．-144．2 C．144.2 D．-0.01442 11．（2020·河北·中考真题）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（    ） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 12．（2020·河北·中考真题）已知：，则 ． 13．（2024·河北张家口·三模）若与互为相反数，且，均不为0，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．不确定 14．（2024·河北石家庄·三模）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D．3 15．（2024·河北保定·一模）若分式与的值相等，则m的值不可能是（    ） A． B．0 C． D． 16．（2024·河北邯郸·模拟预测）对于分式，有下列结论： 结论一：当时，； 结论二：当时，； 结论三：若，则． 其中正确的结论是（    ） A．结论一 B．结论二 C．结论二、结论三 D．结论一、结论二 17．（2024·河北邯郸·二模）若为整数，则使分式的值为整数的的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 18．（2024·河北唐山·三模）若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 19．（2024·河北唐山·三模）已知，则常数，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 20．（2024·河北唐山·三模）在推导过程：对于非零实数，∵，∴，要使推导过程成立，则□和○中分别应填（   ） A．，1 B．，0 C．，0 D．，1 21．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和，若的长为整数，则的值为（    ） A．1 B．9 C．3或9 D．1或7 22．（2024·河北邯郸·二模）若运算的结果不是分式，则“（    ）”内的式子可能是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·河北邢台·一模）嘉淇在化简分式：时，解答过程如下： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 已知嘉淇的解答过程是错误的，则他开始出现错误的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 24．（2024·河北石家庄·一模）如图所示，某同学不小心将分式运算的作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确的情况下，则撕坏的部分中“■”代表的是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·河北邯郸·三模）当a为正整数时，对于整式 下列两种说法： 甲：整式P、Q的公因式为a；          乙． 的值随着a的增大逐渐趋近于1． 其中正确的是 （        ） A．甲、乙都对 B．甲不对、乙对 C．甲对、乙不对 D．甲、乙都不对 26．（2024·河北石家庄·二模）李老师在黑板上出了一道题目，计算：．下面是三位同学的解答过程： 小明：原式； 小亮：原式； 小华：原式． 则关于以上三位学生的解答，下列说法正确的是（    ） A．只有小明的解答正确 B．只有小亮的解答正确 C．小明和小亮的解答都不正确 D．小明和小华的解答都正确 27．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（其中为大于的整数），两块试验田的小麦都收获了．    （1）丰收 号（填“1”或者“2”）小麦的单位面积产量高； （2）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，其中“丰收1号”小麦面积为（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少，若两种小麦种植后产量相同（小麦试种的单产量与实验田一致），当时，符合条件的的值为 （直接写出结果）． 28．（2024·河北石家庄·二模）（1）已知代数式：与可以合并，则 ， ． （2）先化简，再求值：，其中和为（1）中的值． 29．（2024·河北保定·二模）（1）计算： （2）嘉琪与小明通过计算发现的结果是个定值．下面是这两位同学的部分说理过程： 解：原式 解：原式 ①嘉琪同学解法的依据是__________，小明同学解法的依据是__________；（填序号） A．乘法分配律；    B．乘法交换律；    C．分式的基本性质；    D．等式的基本性质． ②请选择其中一种解法，求出这个定值． 30．（2024·河北沧州·一模）将克糖放入一杯水中，得到克糖水（）． (1)糖水的浓度为_____________； A．        B．        C． (2)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水更甜了，用不等式表示加糖前后的浓度关系为_________； (3)请证明（2）中的不等式成立． 31．（2024·河北邯郸·二模）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动减去，同时区就会自动加上，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是4和，如图． 例如：第一次按键后，，两区分别显示： (1)从初始状态按2次后，若区、区的代数式的值相等，求的值； (2)已知，从初始状态按4次后，若把区的代数式作分子，区的代数式作分母得到一个分式，请将这个分式化简． 32．（2024·河北唐山·二模）若二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（2024·河北邢台·模拟预测）若是正整数，则a不可能的值为（    ） A． B． C．2 D．8 34．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 35．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 36．（2024·河北保定·二模）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 37．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（2024·河北邯郸·二模）（m，n为整数），则（    ） A． B． C．1 D．2 39．（2024·河北沧州·三模）计算：，若使计算结果最小，则“”中的符号是（    ） A． B． C． D． 40．（2024·河北保定·一模）关于的变形，不正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（2024·河北石家庄·一模）下列算式结果最小的是（    ） A． B． C． D． 42．（2024·河北邯郸·模拟）若，则（    ） A． B． C． D． 43．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知，则的平方根为（    ） A． B． C． D． 44．（2024·河北邯郸·三模）如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为 宽为 的矩形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的面积是 （      ） A． B． C． D． 45．（2024·河北石家庄·三模）计算的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段． 46．（2024·河北石家庄·三模）我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上，如图是小悦同学的参赛作品（单位：）． （1）小悦的作品 （填“是”或“否）符合参赛标准； （2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为 （彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）．    47．（2024·河北保定·二模）发现：数轴上从左至右排列的三个数，若每相邻的两个数相差为1，则中间的数的平方与两边的数的积的差为定值． 验证：（1）______，______，______． 探究：（2）设“发现”中的中间的数为n，请论证“发现”中的结论的正确性． 48．（2024·河北石家庄·二模）已知两个实数：和． (1)计算：； (2)若m为正整数，与这两个数的平方和小于m，求m的最小值． 49．（2024·河北唐山·二模）有个填写数字的游戏：在“”中的每个内，填入数字（可重复使用），然后计算结果． (1)计算：； (2)若，请推算□内的数字； (3)若三个内从左往右依次填入入三个数，请你直接写出计算结果（计算结果要求用科学记数法表示）． 50．（2024·河北唐山·三模）在数学中，每一个数字都可以用含有运算符号“+，，×，÷”的等式表示，如，，，等等．请仿照示例，解决下列问题： (1)将表示为一个负数与一个正数的和； (2)将表示为两个无理数的积； (3)嘉嘉将表示为，请你求出的值． 试卷第2页，共28页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$