第2章 圆与方程（单元测试）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

第2章 圆与方程（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】的标准方程为，故所求分别为，. 故选：A. 2．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【解析】由得， 则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称， 故由圆的对称性可知：圆心在直线上， 则. 故选：D. 3．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 4．已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以. 故选：C 5．已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以直线恒过定点，， 因为，所以点在圆内， 所以当时，弦最短, 设直线的斜率为，则, 所以直线的方程为，即. 故选：D. 6．已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为直线与圆相切，所以，解得， 由直线和圆相切， 所以或，解得或， 故实数的值为或. 故选：D. 7．已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由，得，化简得， 由，得，所以， 故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值， 此时线段的方程为，由并结合， 解得故此时点的坐标为. 故选：C. 8．已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆C：可化为， 则圆心，半径为， 由可得， 联立，解得， 直线l：恒过定点， 点在圆C内， 的最大值为， 当直线时，取得最小值，此时， ， 故线段AB长度的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．圆：与圆：没有公共点，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【解析】圆：的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3， 圆与圆没有公共点，则两圆外离或内含， 所以或，即或， 所以或或， 不满足要求，满足要求. 故选：BD. 10．已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 【答案】ABD 【解析】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确； 对于C，直线与轴垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时， 直线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，直线，圆心到直线的距离， 得，故D正确. 故选：ABD 11．已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【解析】对于A，由圆，圆， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆外切时，，解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与轴､轴分别交于点，点为圆的圆心，则的面积为 . 【答案】// 【解析】由题可得，所以. 因为圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：. 13．设点为圆上任意一点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】 如图，作出圆，因点是圆上一点，故可看成圆上的点与原点连线的斜率. 考虑直线与圆相切时，设切线斜率为，则圆心到直线的距离为， 解得，由图知要使过原点的直线与圆有公共点， 需使直线倾斜角不小于切线的倾斜角，或不超过切线的倾斜角， 故直线的斜率或，即的范围为. 故答案为：. 14．人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为 【答案】 【解析】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，， 则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 【解析】（1）由题意可知圆：的圆心坐标，半径， 当直线的斜率不存在时，直线过点.即的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为， 即化为一般式：，直线与圆相切，则， 即，解得，所以的方程为：，即. 综上，当直线与圆相切，直线的方程为或. （2）圆：的圆心坐标，半径， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得，圆的圆心为，半径为1. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆的圆心，，不符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为，即化为一般式：，圆心到直线的距离. 若直线与圆交于两点，，根据勾股定理可得，解得， 所以直线的方程为或 16．（15分） 已知直线，圆． (1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． (2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）变形为， ，，，故直线恒过． 又，在圆内，直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． （2）设圆心到直线l的距离为d，则，． 则，． 故． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设，，，， ，轨迹C是以为圆心，为半径的圆． （2）对于，满足，故在圆C内， 当时，存在弦PQ被点G平分； ，， 则， 当G，C，M三点共线，且C在GM中间位置时，面积最大， 面积最大为． 18．（17分） 已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 【解析】（1） 设中点为点，连接、、、， 由，得，则圆内含圆， 由垂径定理得：，，由切线可得， 可得（当且仅当直线为时都取等）， （当且仅当直线为时都取等）， 所以，于是，解得. （2）取中点，连接、、. 当时，和重合，由于，则， 而，， 则，解得：，当且仅当在线段上时取等， 所以的最大值为. 19．（17分） 如图，经过原点O的直线与圆相交于A，B两点，过点且与垂直的直线与圆M的另一个交点为D． (1)当点B坐标为时，求直线的方程； (2)记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标； (3)求四边形的面积S的取值范围． 【解析】（1）∵，， ∴的斜率为，又， ∴的斜率为，又， ∴直线的方程，即. （2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，又过原点， ∴设直线方程为，联立圆， 可得，设，， 则，又， ∴直线为， 令，可得x＝， ∴直线恒过x轴上定点； （3）作，，垂足分别为，与交于点， 设圆心到直线的距离平方为m，则，即， 设圆心到直线的距离平方为n， 根据圆的几何性质及平面几何知识易得点为中点，，则，即， 可得， ，又，， ∴四边形ABCD的面积为： ， 又，令， ∴，即， ∴四边形的面积S的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 圆与方程（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．3 3．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 5．已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 7．已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．圆：与圆：没有公共点，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 10．已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 11．已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线与轴､轴分别交于点，点为圆的圆心，则的面积为 . 13．设点为圆上任意一点，则的取值范围是 . 14．人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 16．（15分） 已知直线，圆． (1)证明：直线与圆总有两个交点，与m的取值无关． (2)是否存在m，使得直线l被圆C截得的弦长为，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 19．（17分） 如图，经过原点O的直线与圆相交于A，B两点，过点且与垂直的直线与圆M的另一个交点为D． (1)当点B坐标为时，求直线的方程； (2)记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标； (3)求四边形的面积S的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$