2.2 直线与圆的位置关系（十四大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

2.2 直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 (1)能用直线的方程、圆的方程解决具有一定综合性的数学问题和实际问题. (2)体会数形结合、函数与方程、转化与化归、特殊与一般等数学思想及方法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学素养. 1、理解并掌握直线与圆的位置关系的判断． 2、理解并掌握直线与圆相切的问题． 3、理解并掌握直线与圆的相交问题． 4、理解并掌握直线与圆的综合应用问题. 知识点01 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 【即学即练1】（2024·高二·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 知识点02 圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 【即学即练2】（2024·高三·湖北武汉·期末）若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 知识点03 求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【即学即练3】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 题型一：不含参数的直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·重庆·期末）直线l：与圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【典例1-2】（2024·高二·浙江嘉兴·期中）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【方法技巧与总结】 判定直线与圆的位置关系采用几何法比采用代数法的计算量要小得多，因此，我们一般采用几何法来解决直线与圆的位置关系的有关问题． 【变式1-1】（2024·高二·新疆喀什·期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交但直线过圆心 C．相交但直线不过圆心 D．相离 【变式1-2】（2024·高二·贵州·期中）圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 题型二：含参数的直线与圆的位置关系 【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为（    ） A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 【典例2-2】（2024·高二·安徽·开学考试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【方法技巧与总结】 通过判定直线过圆内一定点，从而转化为点与圆的位置关系． 【变式2-1】（2024·高二·广东·期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式2-2】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式2-3】（2024·高二·北京海淀·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 题型三：由直线与圆的位置关系求参数 【典例3-1】（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 【方法技巧与总结】 抓住了直线与圆的位置关系的代数或几何特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法． 【变式3-1】（2024·高二·湖北孝感·期中）已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高二·湖南长沙·开学考试）若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：求直线与圆的交点坐标 【典例4-1】（2024·高二·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【典例4-2】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【方法技巧与总结】 直接联立求解． 【变式4-1】（2024·高二·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-2】（2024·高三·安徽六安·阶段练习）若不等式的解集为区间，且,则（    ） A． B． C． D．2 题型五：求过圆上一点的切线方程 【典例5-1】（2024·高二·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 【典例5-2】（2024·高二·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【方法技巧与总结】 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【变式5-1】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 . 【变式5-2】（2024·高二·天津西青·阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为 . 题型六：求过圆外一点的切线方程 【典例6-1】（2024·高二·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【典例6-2】（2024·高二·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【方法技巧与总结】 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【变式6-1】（2024·高二·海南省直辖县级单位·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为 . 【变式6-2】（2024·高二·山西吕梁·阶段练习）过点与圆相切的直线方程为 ． 题型七：求切线长 【典例7-1】（2024·全国·模拟预测）若直线上仅存在一点，使得过点的直线与圆切于点，且，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【典例7-2】（2024·高二·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【方法技巧与总结】 利用切线长公式求解． 【变式7-1】（2024·高二·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·高二·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式7-3】（2024·高二·江苏镇江·期末）过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 题型八：已知切线求参数 【典例8-1】（2024·高二·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【典例8-2】（2024·高二·广东珠海·期末）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 【方法技巧与总结】 利用切线定义进行转化，建立等量方程进行求解． 【变式8-1】（2024·高二·湖北·阶段练习）过点与圆相切的两条直线垂直，则（    ） A． B．-1 C．1 D． 【变式8-2】（2024·高二·广东江门·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式8-3】（2024·重庆·模拟预测）已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：求弦长问题 【典例9-1】（2024·高二·重庆·期末）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【典例9-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求弦长问题主要使用几何方法，即解由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三角形，进一步求弦长． 【变式9-1】（2024·高二·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【变式9-2】（2024·高二·广东湛江·开学考试）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2024·高二·山西长治·期末）已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型十：已知弦长求参数 【典例10-1】（2024·高二·全国·期末）已知圆C过点，，，过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，若，则k的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例10-2】（2024·高三·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【方法技巧与总结】 利用弦长公式进行转化求解． 【变式10-1】（2024·高二单元测试）过圆内一点的最短的弦所在的直线方程是 . 【变式10-2】（2024·福建福州·高二校考期末）写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程 ． 【变式10-3】（2024·全国·高二专题练习）若直线截圆所得弦长，则的值为 . 题型十一：切点弦问题 【典例11-1】（2024·高三·全国·专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【典例11-2】（2024·高二·河南南阳·期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【方法技巧与总结】 求切点弦问题利用同构法求解． 【变式11-1】（2024·高二·河南漯河·期末）设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2024·高二·天津·期中）已知：，直线：，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2024·高二·河南安阳·阶段练习）已知点P在直线上，过点P的两条直线与圆分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型十二：最值问题 【典例12-1】（多选题）（2024·高二·湖南常德·阶段练习）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【典例12-2】（多选题）（2024·高二·重庆·期中）直线：，圆：，P是圆M上的动点，则（    ） A．过且与直线垂直的直线方程为 B．直线与圆相交 C．点P到直线的距离最大值是5 D．点P到直线的距离最小值是1 【方法技巧与总结】 利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y轴上的截距等． 【变式12-1】（2024·高二·全国·竞赛）已知点在圆上，则的最小值为 . 【变式12-2】（2024·高二·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 【变式12-3】（2024·高二·广东深圳·期末）已知平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点到直线的距离d的取值范围为 . 【变式12-4】（2024·高二·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为 ． 题型十三：三角形与四边形面积问题 【典例13-1】（2024·高二·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【典例13-2】（2024·高三·广东广州·开学考试）已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用弦长公式求解． 【变式13-1】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 . 【变式13-2】（2024·高二·四川乐山·期末）已知点是直线上一动点，与是圆C：的两条切线，M、N为切点，则四边形的最小面积为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【变式13-3】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ． 题型十四：与圆有关的存在性问题 【典例14-1】（2024·高二·福建三明·期末）已知，，若直线上存在点P使得，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例14-2】（2024·高二·重庆渝中·阶段练习）已知是圆：上两点，若存在满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 与圆有关的存在性问题，主要探讨在给定条件下，是否存在满足特定性质的圆，如相切、相交、内含或外离等。这类问题通常需要运用圆的性质、几何关系以及代数方法，如方程联立、不等式求解等，来分析和判断满足条件的圆是否存在，并求解相关参数。 【变式14-1】（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知圆和两点，，若圆C上存在点P使得，则m的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式14-2】（2024·高二·山东烟台·期中）已知圆C：上总存在两个点到原点的距离为2，则圆C半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（2024·高二·重庆·阶段练习）设为直线上的动点，若圆上存在两点A，B，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·高二·安徽亳州·开学考试）设，则直线：与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交 2．（2024·高二·贵州铜仁·阶段练习）已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 4．（2024·高二·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 6．（2024·高二·广西·阶段练习）已知点在圆：上，点，，则当最大时，（    ） A． B．3 C．2 D． 7．（2024·高一·陕西渭南·期末）若直线与圆相切，则实数（    ） A．1 B． C． D．4 8．（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·江苏·专题练习）已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，当最小时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高二·海南省直辖县级单位·期中）已知实数x和y满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 11．（2024·高二·安徽·期中）直线：与圆相交、两点，则 ． 12．（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知直线经过点，圆，若直线与圆C相切，则直线的方程为 13．（2024·高三·陕西西安·阶段练习）过点且与圆：相切的直线方程为 14．（2024·河北邢台·模拟预测）已知直线上一点A，圆上一点B，则的最小值为 . 15．（2024·上海·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为 ． 16．（2024·高二·天津武清·期中）已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 17．（2024·高二·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 18．（2024·高二·陕西·开学考试）已知圆的方程为，点的坐标为． (1)求过点且与圆相切的直线的方程； (2)直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程． 19．（2024·高二·天津北辰·期末）已知直线，圆，表示函数的图象. (1)写出圆的圆心坐标； (2)求圆被直线截得的弦长； (3)若点P在圆上，点Q在N上，求的最小值. 20．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆C过点，，. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点. 21．（2024·高二·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 (1)能用直线的方程、圆的方程解决具有一定综合性的数学问题和实际问题. (2)体会数形结合、函数与方程、转化与化归、特殊与一般等数学思想及方法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学素养. 1、理解并掌握直线与圆的位置关系的判断． 2、理解并掌握直线与圆相切的问题． 3、理解并掌握直线与圆的相交问题． 4、理解并掌握直线与圆的综合应用问题. 知识点01 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 【即学即练1】（2024·高二·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【解析】由，所以直线恒过定点， 因为，所以点在圆的内部， 所以直线与圆相交. 故选：B. 知识点02 圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 【即学即练2】（2024·高三·湖北武汉·期末）若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 【答案】 【解析】因为点在圆上， 所以过的圆的切线方程和垂直， 因为，，所以，所以切线方程斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为： 知识点03 求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【即学即练3】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由得，圆心坐标是，半径是 直线：过定点，且在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由解得. 故选:B. 题型一：不含参数的直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·重庆·期末）直线l：与圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【解析】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 【典例1-2】（2024·高二·浙江嘉兴·期中）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为圆的半径为，圆心为， 所以圆心到直线的距离为，故直线与圆相切， 故选：C. 【方法技巧与总结】 判定直线与圆的位置关系采用几何法比采用代数法的计算量要小得多，因此，我们一般采用几何法来解决直线与圆的位置关系的有关问题． 【变式1-1】（2024·高二·新疆喀什·期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交但直线过圆心 C．相交但直线不过圆心 D．相离 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离为，且圆心不在直线上， 所以直线与圆的位置关系为相交但直线不过圆心. 故选：C. 【变式1-2】（2024·高二·贵州·期中）圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为1， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相交. 故选：A. 题型二：含参数的直线与圆的位置关系 【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为（    ） A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 【答案】C 【解析】方法一:直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0， 该直线恒过定点(1，2). 因为， 所以点(1，2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部， 所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交. 方法二:圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1，0)，半径为3. 圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝， 所以直线与圆相交. 故选：C 【典例2-2】（2024·高二·安徽·开学考试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】C 【解析】直线即，过定点， 因为圆的方程为， 则， 所以点在圆内，则直线与圆相交. 故选：C 【方法技巧与总结】 通过判定直线过圆内一定点，从而转化为点与圆的位置关系． 【变式2-1】（2024·高二·广东·期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【解析】由题意知，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离. 故选：A. 【变式2-2】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【解析】点在圆外,故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交， 故选：C 【变式2-3】（2024·高二·北京海淀·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【解析】由题知，圆心坐标，半径， 将直线化为点斜式得， 知该直线过定点， 又，故该定点在圆内， 所以该直线与圆必相交. 故选：C 题型三：由直线与圆的位置关系求参数 【典例3-1】（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线恒过点， 由，得， 所以曲线表示圆心，半径为2的半圆，如图所示， 由图可知，当时，曲线与直线有两个相异的交点， 因为，，所以， 因为直线与半圆相切，所以，解得， 所以， 故选：B 【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 【答案】D 【解析】如图所示，圆的半径为2.设点在圆上运动. 圆心到直线的距离，令，则. ①当时，与直线平行且距离等于1的直线是，， 与圆的三个交点是，，，满足题意. ②当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，与圆的三个交点是，，，满足题意. 综上，. 故选：D. 【方法技巧与总结】 抓住了直线与圆的位置关系的代数或几何特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法． 【变式3-1】（2024·高二·湖北孝感·期中）已知直线：和圆：，圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆：上恰有三个点到直线：的距离为1， 所以与直线距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切， 又因为圆的半径为3，所以圆心到直线距离为2，即，解得. 故选：B. 【变式3-2】（2024·高二·重庆·阶段练习）直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，直线过定点， 曲线是以为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线的下端点为. 要使直线与曲线有两个交点，则直线应位于直线和切线之间（可以与重合），此时直线的斜率存在， 且，即且圆心到直线的距离小于半径. 由得，由得，所以. 故选：B. 【变式3-3】（2024·高二·湖南长沙·开学考试）若圆上恒有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得圆的圆心到直线的距离为， 要使得圆上恒有4个点到直线的距离为1， 需满足直线与圆相交，且与l平行且距离为1的两平行直线与圆也相交，如图示： 结合图示可知，圆的半径应大于圆心到直线的距离， 即实数r的取值范围是， 故选：A 题型四：求直线与圆的交点坐标 【典例4-1】（2024·高二·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】为直角，故在以为直径的圆上， 圆心为，半径为， 圆方程为，取得到或， 即点坐标为或. 故选：B. 【典例4-2】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆， 联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义. 联立，解得或，所以直线与有两个交点. 所以直线与曲线的交点个数为2个. 故选：B 【方法技巧与总结】 直接联立求解． 【变式4-1】（2024·高二·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或. 故选：C 【变式4-2】（2024·高三·安徽六安·阶段练习）若不等式的解集为区间，且,则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】如图所示： 因为表示以坐标原点为圆心，4为半径位于轴上方(含和轴交点)的半圆， 表示过坐标原点及第一三象限内的直线， 又因为不等式的解集为区间，且, 即半圆位于直线下方的区间长度为2， 所以， 所以直线与半圆的交点， 所以. 故选：C. 题型五：求过圆上一点的切线方程 【典例5-1】（2024·高二·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 【答案】 【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【变式5-1】（2024·高二·重庆·阶段练习）已知过点的直线与圆相切，则直线l的方程为 . 【答案】 【解析】由圆的方程知：，即， 将代入方程可知，点在圆上，且， 所以，因为直线与圆相切，所以直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 【变式5-2】（2024·高二·天津西青·阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为 . 【答案】 【解析】圆的圆心， ∵，则点在圆上，即点为切点， 则圆心到切点连线的斜率，可得切线的斜率， 故切线的方程，即. 故答案为：. 题型六：求过圆外一点的切线方程 【典例6-1】（2024·高二·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【解析】由圆的方程可得圆心，半径， 由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为； 当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即 所以，解得， 此时，切线方程为， 综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或. 【典例6-2】（2024·高二·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或 【解析】当直线斜率存在时，设切线的点斜式方程为：，圆心到直线的距离为， 化简得到，故； 另一条应为不存在的情况，即满足题意. 故答案为：或. 【方法技巧与总结】 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【变式6-1】（2024·高二·海南省直辖县级单位·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为 . 【答案】或 【解析】当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离，故不符， 当直线斜率存在时，设直线为， 即， 此时圆心到的距离， 即，即或. 故答案为：或. 【变式6-2】（2024·高二·山西吕梁·阶段练习）过点与圆相切的直线方程为 ． 【答案】或 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 题型七：求切线长 【典例7-1】（2024·全国·模拟预测）若直线上仅存在一点，使得过点的直线与圆切于点，且，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】依题意，记为坐标原点，连接，如图， 因为圆的圆心为，半径为，则， 又，所以， 因为点唯一，使得，所以直线与直线垂直， 所以，即. 故选：B． 【典例7-2】（2024·高二·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】A 【解析】圆即圆的圆心半径分别为， 点到圆心的距离为， 所以点向圆引的切线长是. 故选：A. 【方法技巧与总结】 利用切线长公式求解． 【变式7-1】（2024·高二·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 故选：A. 【变式7-2】（2024·高二·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆， 所以圆的圆心为，半径为， 因为与圆相切，切点为B， 所以，则， 因为， 所以. 故选：B. 【变式7-3】（2024·高二·江苏镇江·期末）过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】⊙M：的圆心，半径， 由，得， 由题意可得圆心到直线的距离， 即，解得. 故选：B. 题型八：已知切线求参数 【典例8-1】（2024·高二·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【解析】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 【典例8-2】（2024·高二·广东珠海·期末）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 【答案】AB 【解析】圆的圆心为，半径为. 由于直线与圆相切， 所以，解得或. 故选：AB 【方法技巧与总结】 利用切线定义进行转化，建立等量方程进行求解． 【变式8-1】（2024·高二·湖北·阶段练习）过点与圆相切的两条直线垂直，则（    ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【解析】， 设该圆的圆心为，半径为，设点为点， 如图所示：过与圆相切的直线为，切点为， 连接，显然， 由题意可知相切的两条直线垂直， 所以四边形是矩形，又因为， 所以四边形是正方形， 因此有， 故选：D 【变式8-2】（2024·高二·广东江门·期末）若直线与圆相切，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径， 依题意，，解得， 所以. 故选：A 【变式8-3】（2024·重庆·模拟预测）已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 圆心，半径， 过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N， 连接，如图， 由知，，又， 所以， 由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可， 即圆心到直线的距离， 解得， 故选：C 题型九：求弦长问题 【典例9-1】（2024·高二·重庆·期末）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【解析】将圆化为，圆心，半径， 因为，所以点在圆内， 记圆心到直线的距离为，则， 由图可知，当，即时，取得最小值， 因为， 所以的最小值为. 故选：C. . 【典例9-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线， 即，由，解得， 设，由于，所以在圆内， 圆的圆心为，半径，如图： 当时，最短，， 所以弦长的最小值为. 故选：C 【方法技巧与总结】 求弦长问题主要使用几何方法，即解由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三角形，进一步求弦长． 【变式9-1】（2024·高二·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【解析】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为. 故选：C． 【变式9-2】（2024·高二·广东湛江·开学考试）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为． 故选：C． 【变式9-3】（2024·高二·山西长治·期末）已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心到直线的距离为，圆的半径为，易得直线方程为， 而，由勾股定理得，解得， 故圆的方程为，故C正确. 故选：C 题型十：已知弦长求参数 【典例10-1】（2024·高二·全国·期末）已知圆C过点，，，过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，若，则k的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆C：，易知，解得， 所以， 将，代入可得，，解得， 所以圆C的方程，则圆心C坐标为，半径为2. 设直线l：，则圆心到直线的距离， 又，则，即，整理得，解得， 所以k的最小值为，故C正确. 故选：C. 【典例10-2】（2024·高三·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】如图所示： 设坐标原点到直线的距离为，则. 设线段的中点为，则，根据勾股定理，有. 由，得，故，解得，故. 故选：B. 【方法技巧与总结】 利用弦长公式进行转化求解． 【变式10-1】（2024·高二单元测试）过圆内一点的最短的弦所在的直线方程是 . 【答案】 【解析】将圆的方程整理成标准方程得， 则圆心的坐标为，， 所以由圆的几何性质得，当所求直线与直线垂直时，弦最短， 此时所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. 故答案为： 【变式10-2】（2024·福建福州·高二校考期末）写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程 ． 【答案】或 【解析】圆的方程可化为，圆心为，半径． 当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心在直线上，弦长，不满足题意， 所以过点的直线的斜率存在，设过点的直线的方程为，即，则 圆心到直线的距为， 依题意，即，解得或， 故所求直线的方程为或． 故答案为：或． 【变式10-3】（2024·全国·高二专题练习）若直线截圆所得弦长，则的值为 . 【答案】或 【解析】圆心到直线的距离为 ， 由得，解得或， 故答案为：或 题型十一：切点弦问题 【典例11-1】（2024·高三·全国·专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：； 即直线的方程为. 故选：B. 【典例11-2】（2024·高二·河南南阳·期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为1， 由题意知，,,,, 所以,所以. 所以,且, 所以为等边三角形， 所以. 故选:C． 【方法技巧与总结】 求切点弦问题利用同构法求解． 【变式11-1】（2024·高二·河南漯河·期末）设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为,，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：，变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 【变式11-2】（2024·高二·天津·期中）已知：，直线：，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的方程为： ① 可化为：，则圆心M（1，1），半径为2. 点M到直线l的距离为 ∴直线l与相离，则如图所示，连接AM，BM. ∴要求的最小值，只需求的最小值. ∴当时，取得最小值，即：取得最小值. ∴ ∴ 即： 联立 解得 ∴ ∵， ∴A，B也在以PM为直径的圆上. 又∵以PM为直径的圆的方程为： （或用圆的标准方程求解为：） 即： ② ∴②-①得： 故选：D. 【变式11-3】（2024·高二·河南安阳·阶段练习）已知点P在直线上，过点P的两条直线与圆分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，圆，其圆心为，因为、是圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上，又由，，则以为直径的圆的方程为：，即，联立可得 ，即直线的方程为. 又在上，故，所以圆心O到直线AB的距离，故当，取最大值 . 故选：B 题型十二：最值问题 【典例12-1】（多选题）（2024·高二·湖南常德·阶段练习）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】A选项，变形为， 圆心为，半径为， 设， 故， 故当时，取得最大值，最大值为，A错误； B选项，， 故当时，取得最大值，最大值为，B正确； C选项，设，即， 联立与得， 令，解得， 故的最大值为，C错误； D选项，， 故当时，取得最大值，最大值为 故选：ACD 【典例12-2】（多选题）（2024·高二·重庆·期中）直线：，圆：，P是圆M上的动点，则（    ） A．过且与直线垂直的直线方程为 B．直线与圆相交 C．点P到直线的距离最大值是5 D．点P到直线的距离最小值是1 【答案】BC 【解析】直线：的斜率为， 圆：的圆心，半径， 过且与直线垂直的直线方程为，即，故A错误； 圆心直线：的距离，故直线与圆相交，故B正确； 点P到直线的距离最大值是，故C正确； 直线与圆相交，则点P到直线的距离最小值是0，故D错误. 故选：BC. 【方法技巧与总结】 利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y轴上的截距等． 【变式12-1】（2024·高二·全国·竞赛）已知点在圆上，则的最小值为 . 【答案】-2 【解析】圆的方程可化为，所以圆心为，半径为， 求的最小值，即为求的最小值和的最大值， 令，表示原点与的连线的斜率，所以当与圆相切时， ，解得或，故的值最大为， 由解得切点为. 令与圆有交点， ， 而要取的最小值，即时满足切点为. 故最小，最小值为-2. 故答案为：-2. 【变式12-2】（2024·高二·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 【答案】 【解析】 如图，连接，因为，与圆相切， 所以， 设，所以， 整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动， ，当且仅当在时等号成立， 所以答案为：. 【变式12-3】（2024·高二·广东深圳·期末）已知平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点到直线的距离d的取值范围为 . 【答案】 【解析】设，则， 两边平方得，整理得， 则点在以为圆心半径为的圆上运动， 圆心到直线的距离为， 则点到直线的距离d的取值范围为 故答案为： 【变式12-4】（2024·高二·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】直线：即，过定点 直线：即，过定点 又，故， 则点在以线段为直径的圆上， 即点的轨迹为，即， 假设存在点，使恒成立，设 则，整理得， 与的轨迹对照得，解得， 即存在点，使，即， 所以， 即的最小值为. 故答案为：. 题型十三：三角形与四边形面积问题 【典例13-1】（2024·高二·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【解析】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 【典例13-2】（2024·高三·广东广州·开学考试）已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 圆C：，即圆C：，圆心坐标，半径为3； 由题意过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B， 可知四边形PACB的面积是两个全等的三角形的面积的和，因为，， 显然PC最小时四边形面积最小， 即，所以 所以四边形PACB的面积的最小值为， 故选：B. 【方法技巧与总结】 利用弦长公式求解． 【变式13-1】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 . 【答案】 【解析】由题意得，直线的斜率存在，设，，直线MN的方程为，与联立，得，，得，，.因为，所以，则，于是，（由点A及C在y轴上可判断出，同号） 所以，两式消去，得，满足，所以. 故答案为： 【变式13-2】（2024·高二·四川乐山·期末）已知点是直线上一动点，与是圆C：的两条切线，M、N为切点，则四边形的最小面积为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】由题意知，圆C：的圆心,半径， 因为与是圆C：的两条切线， 所以， , 则， 当最小时，也最小, 又点是直线上一动点， 故圆心到直线的距离，为的最小值， 此时， 则此时四边形的面积也最小， 最小值为. 故选：C. 【变式13-3】（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是 ． 【答案】/ 【解析】由圆，即， 可得圆心坐标为，半径为， 因为钝角的面积为，可得， 解得，因为，所以， 可得， 设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得， 根据点到直线的距离公式，解得． 故答案为：． 题型十四：与圆有关的存在性问题 【典例14-1】（2024·高二·福建三明·期末）已知，，若直线上存在点P使得，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线上存在点使得， 所以点在以，为直径的圆上，但点不能是、， 由，为直径的圆，可得圆心为,半径为，即圆, 要使得，只需直线与圆有公共点，但公共点不能是,， 因为圆心到直线的距离为， 所以，解得， 当直线与圆有公共点为,时，则直线为轴，即. 综上所述：实数k的取值范围为. 故选:B. 【典例14-2】（2024·高二·重庆渝中·阶段练习）已知是圆：上两点，若存在满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆：可化为，则其半径为，， 如上图，对于直线上任意一点， 当均为圆的切线时最大， 由题意，即时，此时为满足题设条件的临界点， 此时有. 当在临界点之间移动时，有，即， 即有：，解得：. 故选：B. 【方法技巧与总结】 与圆有关的存在性问题，主要探讨在给定条件下，是否存在满足特定性质的圆，如相切、相交、内含或外离等。这类问题通常需要运用圆的性质、几何关系以及代数方法，如方程联立、不等式求解等，来分析和判断满足条件的圆是否存在，并求解相关参数。 【变式14-1】（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知圆和两点，，若圆C上存在点P使得，则m的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【解析】设点 圆C上点P使得， , 又，, ，即 ，其意义表示为到原点的距离， 又点在圆上,可知, 故选：B. 【变式14-2】（2024·高二·山东烟台·期中）已知圆C：上总存在两个点到原点的距离为2，则圆C半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆心为，半径为，则原点到的距离， 要使总存在两个点到原点的距离为2， 若原点在圆外，则； 若原点在圆上，即，满足； 若原点在圆内，则； 综上，圆C半径r的取值范围是. 故选：C 【变式14-3】（2024·高二·重庆·阶段练习）设为直线上的动点，若圆上存在两点A，B，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心到直线的距离， 即直线与圆相交，当点在圆及内部时， 该圆上存在两点A，B，使， 当点在圆外时，过点作圆的切线，为切点，显然是最大的， 则只需即可，此时，，而也符合要求， 因此，即，又，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 1．（2024·高二·安徽亳州·开学考试）设，则直线：与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交 【答案】C 【解析】因为，所以，即直线恒过定点； 因为点恰在上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切. 故选：C. 2．（2024·高二·贵州铜仁·阶段练习）已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，则圆心为，半径， 因为，在中，， 所以，所以点的轨迹方程为，即圆心为，半径， 又直线上存在点， 所以直线与有交点，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：D． 3．（2024·高二·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为. 故选:C. 4．（2024·高二·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由圆的切线性质，四边形的面积    。 当时，最小，所以四边形的面积最小， 此时 所以. 故选：B. 5．（2024·高二·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】圆:,即圆心半径 切线长为 故选:B. 6．（2024·高二·广西·阶段练习）已知点在圆：上，点，，则当最大时，（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【解析】，， 过，的直线方程为，即， 圆：的圆心坐标为， 圆心到直线的距离， 则直线AB和圆C相离. 如图所示： 由图形可得：当过的直线与圆相切时，满足最小或最大. ， . 故选：B 7．（2024·高一·陕西渭南·期末）若直线与圆相切，则实数（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【解析】由圆知，圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为圆的半径即： ， 所以， 故选：C. 8．（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以． 故选：B． 9．（2024·高二·江苏·专题练习）已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，当最小时，直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆，即为， 所以圆心，半径． ． 要使最小，则需最小，此时PM与直线l垂直． 直线PM的方程为，即， 联立，解得，即． 则以PM为直径的圆O的方程为． 直线AB为圆M与圆O公共弦所在直线， 联立 相减可得直线AB的方程为． 故选：A． 10．（多选题）（2024·高二·海南省直辖县级单位·期中）已知实数x和y满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AD 【解析】设，变形为，此式表示圆上一点 与点 连线的斜率， 由 ，可得，此直线与圆有公共点，则 ， 解得，故 的最大值为，最小值为.故A正确，B错误， 令并将其变形为， 问题可转化为斜率为的直线在经过圆上的点时在轴上的截距的最值. 当直线和圆相切时在轴上的截距取得最大值和最小值， 所以，解得 ， 所以的最大值为，最小值为. 故C错误； 表示圆 上的点到坐标原点的距离， 原点到圆心的距离， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为 ，故D正确， 故选：AD. 11．（2024·高二·安徽·期中）直线：与圆相交、两点，则 ． 【答案】 【解析】由解得或，不妨令， 所以. 故答案为： 12．（2024·高二·重庆黔江·阶段练习）已知直线经过点，圆，若直线与圆C相切，则直线的方程为 【答案】或 【解析】将圆的方程化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径， 因为，所以点在圆外， 当直线的斜率不存在时，即直线为， 圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 整理：，解得， 所以直线为，即， 综上所述：直线的方程为或. 13．（2024·高三·陕西西安·阶段练习）过点且与圆：相切的直线方程为 【答案】或 【解析】圆：即，圆心为，半径， 当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线为，即，则， 解得，所求切线方程为， 综上可得过点与圆相切的直线方程为或. 故答案为：或 14．（2024·河北邢台·模拟预测）已知直线上一点A，圆上一点B，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】圆， 所以圆心坐标为，半径， 又直线， 所以圆心到直线的距离为 ， 所以的最小值为， 故答案为：. 15．（2024·上海·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，不妨取，使得，所以， 整理得：. 此方程与为同一方程，所以，解得：，即. 所以（当且仅当P、B、C三点共线时等号成立） 此时. 所以的最小值为. 故答案为：. 16．（2024·高二·天津武清·期中）已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 【答案】（任意一个也对） 【解析】的圆心为，半径为， 则圆心到的距离为， 则， 故，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得， 故或 故答案为：（任意一个也对） 17．（2024·高二·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【解析】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或. 18．（2024·高二·陕西·开学考试）已知圆的方程为，点的坐标为． (1)求过点且与圆相切的直线的方程； (2)直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程． 【解析】（1）圆心坐标，半径为2， 当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 则，即，解得， 此时直线的方程为； 综上，直线的方程为或； （2）显然直线的斜率存在， 设其方程为，即， 由（1）可知，圆心到直线的距离为， 由垂径定理可知，， 则，解得或， 则直线直线的方程为或． 19．（2024·高二·天津北辰·期末）已知直线，圆，表示函数的图象. (1)写出圆的圆心坐标； (2)求圆被直线截得的弦长； (3)若点P在圆上，点Q在N上，求的最小值. 【解析】（1）由圆，可得圆心坐标为. （2）由（1）知圆心坐标为，半径为， 可得圆心到直线的距离为， 又由圆的弦长公式，可得弦长为. （3）由圆心，设是函数图象上任意一点，则， 则， 当时，可得，所以的最小值. 20．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆C过点，，. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F（EF与MN不重合），证明：直线EF过定点. 【解析】（1）设圆C的方程为， 则，解得， 所以圆C的方程为， 故圆C的标准方程为； （2），所以直线，点，， 设点，，， 所以，，所以， 又，，所以 又E，F在圆C上，所以，， 消去，可得①， 当EF斜率存在时设直线EF的方程为， 联立， 消元y可得， 则， 可代入①，得， 解得或， 当时，直线恒过， 当，直线恒过，此时EF与MN重合，舍去， 直线斜率不存在时，，即，解得或（舍去）， 综上：直线EF过点成立. 21．（2024·高二·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 【解析】（1）设圆心为，设圆的半径为， 圆心到轴的距离为，且圆轴弦长为，则，① 且有②， 联立①②可得或， 所以，圆的方程为或. （2）因为半径小于，则圆的方程为， 由圆的几何性质得即，所以， 设，则， 所以，即的轨迹方程是. （3）设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是， 因为直线的斜率为，则，则，， 所以，，因此，， 又E到的距离，， 所以，，故恒为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$