2.3圆与圆的位置关系学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第2章——圆与方程 A 第2章 圆与方程 2.3 圆与圆的位置关系 【学习目标】 1．能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系； 2．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法； 3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题． 【温顾·习新】 思考　(1)圆与圆相切包含哪几种情况？ (2)两圆相交时，如何求出公共弦所在的直线方程？ 填空　圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d r1＋r2 d r1＋r2 |r1－r2| d r1＋r2 d |r1－r2| d |r1－r2| (2)代数法：通过两圆方程联立方程组的公共解的个数进行判断． (3)两圆的公切线位置的5种情况(如图所示)． ①外离时，有 条公切线，分别是 条外公切线， 条内公切线； ②外切时，有 条公切线，分别是 条外公切线， 条内公切线； ③相交时，有 条公切线，都是外公切线； ④内切时，有 条公切线； ⑤内含时，无公切线． 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系． 做一做　圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【研讨·拓展】 【例1】已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系． 【变式1-1】已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0． (1)当m为何值时，圆C1与圆C2外切？ (2)当圆C1与圆C2内含时，求m的取值范围． 【变式1-2】(多选)若圆C1：(x－a)2＋y2＝r2(r>0)与圆C2：x2＋y2＝4r2(r>0)相切，则实数a的值可以为(　　) A．±3r B．±r C．±4r D．±2r 【变式1-3】圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A．4 B．6 C．16 D．36 【变式1-4】到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条． 【例2】已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________． 【变式2-1】若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(　　) A．21 B．19 C．9 D．－11 【变式2-2】(多选)若半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程可以是(　　) A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6 C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36 【例3】已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，判断两圆是否相交，若相交，求公共弦所在直线的方程及公共弦长． 【变式3-1】求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝截得的弦长． 【变式3-2】已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1，2)，则点Q的坐标为________． 【变式3-3】(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　) A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 【例4】已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0． (1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值； (2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程． 【变式4-1】圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________． 【变式4-2】分别求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点且满足下列条件的圆的方程．(1)过原点；(2)面积最小． 【例5】已知点A(1,0)，B(1,6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于(　　) A．－3或3 B．57 C．－3或57 D．3或57 【变式5-1】在平面直角坐标系Oxy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点(0,1)的距离为2，则实数a的取值范围是______________． 【例6】设圆C1 ，C2 都和两坐标轴相切，且都过点 ，则两圆的圆心距|C1C2|等于(　　) A．32 B．16 C．8 D．1 【例7】为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1，O2，O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h＝6 mm(如图所示)，则R＝________ mm． 【例8】已知圆M与圆N：2＋2＝r2关于直线y＝x对称，且点D在圆M上． (1)判断圆M与圆N的位置关系； (2)设P为圆M上任意一点，A，B，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的角平分线，且交AB于G，求证：△PBG与△APG的面积之比为定值． 【总结提炼】 1．掌握1个知识点：圆与圆的位置关系． 2．重点掌握2种方法：(1)圆与圆的位置关系的判断方法；(2)求两圆公共弦长的方法． 3．重视1个易错点：判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而漏解． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·4· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$