2.4 有理数的乘除法（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版2024新教材）

2.4有理数的乘除法 【考点1 两个有理数的乘法运算】 【考点2 多个有理数的乘法运算】 【考点3 倒数】 【考点4 有理数的除法运算】 【考点5 有理数乘除混合运算】 【考点6有理数乘除混合运算的应用】 知识点1：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点2：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【考点1 两个有理数的乘法运算】 【典例1】计算的结果等于（    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B．5 C．1 D． 【变式1-2】计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-3】已知两个有理数，，如果且，那么（    ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 【考点2 多个有理数的乘法运算】 【典例2】计算： (1)； (2)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； 【变式2-3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【考点3有理数乘法运算定律】 【典例3】能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) 【变式3-1】简便运算 【变式3-2】下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【变式3-3】用简便方法进行计算 (1) (2) (3) 知识点3： 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点4 ：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【考点4 倒数】 【典例4】已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【变式4-1】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【变式4-3】若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，求的值 【考点5 有理数的除法运算】 【典例5】计算：； 【变式5-1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)； (7) ； (8)； (9)； (10)． 【变式5-2】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)； (5)． 【考点6 有理数乘除混合运算】 【典例6】计算： (1) (2)； 【变式6-1】计算： (1) (2)； (3) (4)． 【变式6-2】计算： (1) (2) 【变式6-3】计算： (1) ． (2)． (3)． (4)． 1．的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D．2 3．数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A．8 B． C．2 D． 5．计算的结果是（    ） A．12 B．3 C． D． 6．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．将转化为乘法运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如下图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ①；        ②； ③    ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．简便运算 (1) (2) 10．计算：． 11．计算 (1) (2) 12．已知：有理数a，b，c在数轴上的位置如图，解答下列问题． (1)填空：______0，______0， (2)______； (3)计算的值． 13．有10筐苹果，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正负数来表示 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 2 1 2 1 3 (1)10筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，10筐苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若苹果每千克售价元，则出售这10筐苹果可卖多少元？（结果保留整数） (4)该果园实行采摘计千克工资制，每采摘1千克苹果元，超额部分每千克奖励元，那么应付采摘10筐苹果工人的工资总额是多少元？ 14．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单） (1)这七天中，送餐量最高的是星期__________，这天送餐__________单． (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐的单数． (3)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴2元；超过单但不超过单的部分，每单补贴4元；超过单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周的工资收入． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4有理数的乘除法 【考点1 两个有理数的乘法运算】 【考点2 多个有理数的乘法运算】 【考点3 倒数】 【考点4 有理数的除法运算】 【考点5 有理数乘除混合运算】 【考点6有理数乘除混合运算的应用】 知识点1：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点2：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【考点1 两个有理数的乘法运算】 【典例1】计算的结果等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B．5 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式1-2】计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1-3】已知两个有理数，，如果且，那么（    ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法、加法，熟练掌握和灵活应用有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．由有理数的乘法法则，判断出，异号，再用有理数加法法则即可得出结论． 【详解】解： ， ，异号， ， 正数的绝对值较大， 故选：D． 【考点2 多个有理数的乘法运算】 【典例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，正确掌握有理数乘法的计算法则是解题的关键． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)0 【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数乘法的简便运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据有理数乘法运算中乘法的交换律和结合律进行简便运算； （2）根据有理数乘法法则中任何数乘以0都得0． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数乘法法则“同号得正、异号得负”、多个因数相乘时符号规律“奇负偶正”、任何数乘以0都得0是解题的关键． 【变式2-3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)1； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查多个有理数的乘法运算，正确计算是解题的关键． 【考点3有理数乘法运算定律】 【典例3】能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查有理数的运算： （1）分数连乘，能约分的要先约分． （2）利用乘法的分配律． （3）括号里面的分数的分母恰好和括号外面的整数约分，则利用乘法的分配律计算． （4）将看成，这样就可以利用乘法的分配律计算． （5）将看成，这样利用乘法的分配律，正好可以和分数约分． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 【变式3-1】简便运算 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律的运算，先把提出来，即原式整理得，再运算括号内，即可作答． 【详解】解： 【变式3-2】下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2)7623 (3)8686 (4)48 【分析】本题考查了分数的混合运算，以及有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律得出，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （3）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-3】用简便方法进行计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)101 (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律是关键； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据乘法分配律可以解答本题； （3）根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 知识点3： 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 知识点4 ：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【考点4 倒数】 【典例4】已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，是数轴上原点表示的数． (1)分别直接写出，，，的值； (2)的值是多少？ 【答案】(1)，，，； (2)或 【分析】（1）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，，互为相反数，得到，根据，互为倒数，得到，根据的绝对值等于，所以，是数轴上原点表示的数，所以； （2）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，将、、、代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，互为相反数， ， ，互为倒数， ， 的绝对值等于， ， 是数轴上原点表示的数， ； （2）解：①当时， ∴， ②当时， ∴， 的值为或． 【变式4-1】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案． 【详解】解： ∴的倒数为， 故选：C． 【变式4-2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【答案】或 【分析】根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，互为相反数的两个数的绝对值相等，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题可知， 当时，原式； 当时，原式． ∴原式的值为或． 【点睛】本题考查相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义以及代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式4-3】若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，求的值 【答案】或 【分析】根据，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，求出，，，分两种情况代入原式计算即可． 【详解】解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2， ，，， 当时，， 当时，， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值、有理数的加减混合运算，掌握混合运算的顺序，相反数、倒数、绝对值性质的熟练应用是解题关键． 【考点5 有理数的除法运算】 【典例5】计算：； 【答案】21 【分析】先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律，进行计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查有理数的乘法和除法，解题关键在于掌握运算法则． 【变式5-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) (5)5 (6) (7) (8) (9)27 (10) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ； （9）解：原式 ； （10）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，1、除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除（0除以任何一个非0的数，都得0）． 【变式5-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】①②③根据有理数的除法运算法则计算即可； ④⑤几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【点睛】本题考查有理数的除法，有理数的乘法．有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，注意：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0；特别注意有多个数相除时，一般先将除法转化为乘法再进行运算．有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．理解和掌握有理数除法、乘法法则是解题的关键． 【考点6 有理数乘除混合运算】 【典例6】计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 【变式6-1】计算： (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2)180 (3) (4) 【分析】（1）把原式化为，再利用乘法的分配律进行计算即可； （2）先确定符号，再把除法化为乘法，再计算即可； （3）先确定符号，再把除法化为乘法，再计算乘法即可； （4）先确定符号，再把除法化为乘法，再计算乘法即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3） ； （4） ； 【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，熟记乘除混合运算的运算顺序是解本题的关键． 【变式6-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则和交换律进行计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再利用有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘除法法则和交换律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式6-3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)16 (2) (3)1 (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了乘除的混合运算，解题的关键是熟记混合运算顺序与乘除运算法则． 1．的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查倒数的意义，根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答． 【详解】解：． 的倒数是， 故选：D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 3．数轴上的两点所表示的数分别为a，b，且满足，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法、有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴a，b同号， ∵， ∴， 故选：B． 4．计算的结果是（    ） A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】题目主要考查有理数的乘除法混合运算，按照从左到右的顺序计算即可，熟练掌握运算法则是解题关键 【详解】解：， 故选：D 5．计算的结果是（    ） A．12 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法．根据有理数的除法法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 6．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A、∵，故选项A错误； B、∵，故选项B错误； C、∵，故选项C正确； D、∵，故选项D正确； 故选：C． 7．将转化为乘法运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，利用除法法则即可得到结果． 【详解】解： 故选：C． 8．有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如下图所示，则下列各式正确的个数有（   ） ①；        ②； ③    ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴进行的相关计算，数形结合并明确绝对值等的化简法则，是解题的关键．先由数轴观察得出,据此逐项计算验证即可. 【详解】解：∵由数轴可得：，， ∴，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，， ∵， ∴，即，故④正确； 综上，正确的个数为个． 故选：． 9．简便运算 (1) (2) 【答案】(1)25 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练乘法分配律简便计算． （1）运用乘法分配律简算； （2）先将变形为，再根据乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．计算：． 【答案】72 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，先计算除法运算，再计算加法运算即可． 【详解】解： ； 11．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为省略加号的和的形式，再利用加法的运算律进行简便运算即可； （2）先确定符号，再把除法化为乘法运算，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，乘除混合运算，熟记各自的运算法则与运算顺序是解本题的关键． 12．已知：有理数a，b，c在数轴上的位置如图，解答下列问题． (1)填空：______0，______0， (2)______； (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)1； (3)0． 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以将题目中的绝对值去掉． （1）根据数轴可以得到，，从而可以判断出题目中前两个式子的正负情况，并求出第三个式子的值； （2）根据（1）中得到的，，可以将所求式子化简； （3）根据（1）中得到的，，可以将所求式子化简． 【详解】（1）解：由图数轴可得， ，， ， 故答案为：； （2）解：由图数轴可得， ，， ； 故答案为：1； （3）由图数轴可得， ，， ． 13．有10筐苹果，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正负数来表示 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 2 1 2 1 3 (1)10筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ (2)与标准重量比较，10筐苹果总计超过或不足多少千克？ (3)若苹果每千克售价元，则出售这10筐苹果可卖多少元？（结果保留整数） (4)该果园实行采摘计千克工资制，每采摘1千克苹果元，超额部分每千克奖励元，那么应付采摘10筐苹果工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1)千克 (2)不足1千克 (3)623元 (4)元 【分析】(1)用超出的最大重量减去不足的最小重量，计算即可． （2）求标准变化量的和，正，则超出；负，则不足计算即可． （3）用总重量乘以单价计算即可． （4）根据每采摘1千克苹果元，超额部分每千克奖励元，分类计算即可． 本题考查了有理数的加减乘除的混合运算，正确理解题意，明白变化量的意义，掌握正确的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，最重的一筐比最轻的一筐重（千克）． 即10筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重千克． （2）根据题意，得（千克）． 即10筐苹果中，总重量不足1千克． （3）根据题意，得（千克）． 即10筐苹果中，总重量不足1千克． 故总重量为：（千克）． 故出售这10筐苹果可卖(元), 故出售这10筐苹果可卖元． （4）根据每采摘1千克苹果元，超额部分每千克奖励元， 列式，得 （元）． 应付采摘10筐苹果工人的工资总额是元． 14．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单） (1)这七天中，送餐量最高的是星期__________，这天送餐__________单． (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐的单数． (3)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴2元；超过单但不超过单的部分，每单补贴4元；超过单的部分，每单补贴6元．求该外卖小哥这一周的工资收入． 【答案】(1)日； (2)该外卖小哥这一周平均每天送餐单 (3)该外卖小哥这一周的工资收入是元 【分析】（1）比较各数值的大小，最大数值的当天即为送餐量最高； （2）先求出这些数值的平均数，再与相加，即可作答； （3）先算出不超过单的单数，再与相乘，算出超过单不超过单的单数，再与相乘，算出超过单的单数，再与相乘，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，∵ ∴（单） ∴这七天中，送餐量最高的是星期日，这天送餐单 （2）解： （单） （3）解： （元）． 所以该外卖小哥这一周的工资收入是元． 【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及有理数的加减混合运算，有理数的除法运算等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$