2.2 绝对值和相反数（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版2024新教材）

2.2 绝对值和相反数 【考点1 相反数的概念和表示】 【考点2 相反数的性质运用】 【考点3 化简多重符号】 【考点4 绝对值的定义】 【考点5 利用绝对值的性质化简】 【考点6绝对值分非负性】 【考点7绝对值的几何意义】 知识点1 ：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【考点1 相反数的概念和表示】 【典例1】的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【变式1-1】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】与互为相反数，那么m等于（　　） A． B．1 C． D． 【变式1-3】下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和3 B．与 C．4与 D．5与 【考点2 化简多重符号】 【典例2】化简得（    ） A．8 B． C． D． 【变式2-1】下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】化简 ． 【考点3 相反数的性质运用】 【典例3】已知与互为相反数，则a的值为 ． 【变式3-1】若a、b互为相反数，则a+b+2的值为 ． 【变式3-2】若与互为相反数，则的值为 ． 【变式3-3】若x+1与x﹣5互为相反数，则x＝ ． 知识点2:绝对值 （1）定义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值，通常用|a|表示数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐ 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【考点4 绝对值的定义】 【典例4】的绝对值是（    ） A． B．4 C． D． 【变式4-1】在下列各数中，比小的数是（   ） A．2 B．0 C． D． 【变式4-2】计算的结果是（    ） A． B．3 C． D． 【变式4-3】已知在数轴上点A表示的数为，则点A与原点之间的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【考点5 利用绝对值的性质化简】 【典例5】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【变式5-1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【变式5-2】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【变式5-3】有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0． (2)化简：． 【变式5-4】有理数，，在数轴上的位置如图. (1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0； (2)化简：. 【考点6绝对值非负性】 【典例6】如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式6-1】若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【变式6-2】a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【变式6-3】若与互为相反数，则的值为 ． 【考点7绝对值的几何意义】 【典例7】先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【变式7-1】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为 根据以上材料回答下列问题： (1)若，则______，，则______ (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是______ (3)若，则x的值为多少？ 【变式7-2】．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【变式7-3】数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 1．的相反数是（   ） A． B． C． D．2 2．四个数，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．10 3．一个数的绝对值等于，则这个数是（    ） A． B． C． D． 4．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（    ） A． B． C．1 D． 5．2024年2月8日，某地记录到四个时刻的气温（单位：）分别为，0，5，，其中最低的气温是（    ） A． B．0 C．5 D． 6．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和2 B．2和 C．3和 D．3和 7．如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 8．我市去年冬季里某一天的气温为，下列气温（单位：℃）不在这一范围的是（    ） A．0 B． C． D．2 9．已知为有理数，则的最小值为 ． 10．若，则 ， ． 11．若，则 ． 12．如果，则 ． 13．比较大小： (填“”、“”或“”)． 14．关于的方程的解是 ． 15．已知数轴上两点对应的数分别为，y，且y是的最小值，点P为数轴上一点，且原点O是的中点，点C是的三等分点，则点C在数轴上表示的数是 ． 16．如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，且a，b表示的数满足． (1)______，_______； (2)若点A、B分别以3个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，两点同时移动． ①当点A运动到6对应的点时，求A、B两点间的距离； ②经过多长时间A、B两点相距5个单位长度？ 17．探究与应用 【阅读材料】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索分析】 （1）数轴上表示5和的两点之间的距离是________． （2）若，则在数轴上有理数x对应的点与对应的点之间的距离为________，________． 【操作应用】小明在纸上画了一条数轴进行操作探究． （3）折叠纸面，若1对应的点与对应的点重合，则4对应的点与________对应的点重合． （4）折叠纸面，若4对应的点和对应的点重合，则： ①8对应的点和________对应的点重合； ②若点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B左侧，两点间的距离为且A，B两点经折叠后重合，试求a，b的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 绝对值和相反数 【考点1 相反数的概念和表示】 【考点2 相反数的性质运用】 【考点3 化简多重符号】 【考点4 绝对值的定义】 【考点5 利用绝对值的性质化简】 【考点6绝对值分非负性】 【考点7绝对值的几何意义】 知识点1 ：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【考点1 相反数的概念和表示】 【典例1】的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，根据“绝对值相同、符号相反的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 【变式1-1】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 【变式1-2】与互为相反数，那么m等于（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据定义计算判断即可．本题考查了相反数的定义即只有符号不同的两个数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵与互为相反数， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1-3】下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和3 B．与 C．4与 D．5与 【答案】C 【分析】本题考查相反数定义．根据题意逐一对选项分析再利用相反数定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵绝对值相同，符号相反的两个数互为相反数， ∴A选项不符相反数定义，故不互为相反数， ∴B选项不符相反数定义，故不互为相反数， ∴D选项不符相反数定义，故不互为相反数， ∴C选项符合相反数定义，故互为相反数， 故选：C． 【考点2 化简多重符号】 【典例2】化简得（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号，多重符号化简方法：一个数前面有偶数个“”号，结果为正；一个数前面有奇数个“”号，结果为负；0前面无论有几个“”号，结果都为0，由此进行计算即可，熟练掌握多重符号化简方法是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2-1】下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多重符号化简的法则，逐一计算即可． 【详解】解：A、，选项正确； B、，选项错误； C、，选项错误； D、，选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查多重符号化简．熟练掌握多重符号的化简法则，是解题的关键． 【变式2-2】下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别化简判断即可． 【详解】A．，化简错误，不符合题意； B． ，化简正确，符合题意； C． ，化简错误，不符合题意； D． ，化简错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“”号，结果为正，一个数前面有奇数个“”号，结果为负，0前面无论有几个“”号，结果都为0． 【变式2-3】化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相反数，解题的关键是切记求一个数的相反数只需这个数前面加上一个负号就可以了，若原数带有符号（不论正负），则应先添括号，根据相反数的定义即可得到答案． 【详解】解： ； 故答案为：． 【考点3 相反数的性质运用】 【典例3】已知与互为相反数，则a的值为 ． 【答案】5 【分析】根据相反数的性质即可列式求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查相反数的定义与性质与一元一次方程的求解，解题的关键是熟知：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【变式3-1】若a、b互为相反数，则a+b+2的值为 ． 【答案】2 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数，互为相反数，可知，将其代入即可求得结果． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，整体进行代入求值是本题的主要思路． 【变式3-2】若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】4 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：由题意可得出，， ∴ ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的知识点是相反数的定义以及求代数式的值，利用已知条件得出是解此题的关键． 【变式3-3】若x+1与x﹣5互为相反数，则x＝ ． 【答案】2 【分析】根据已知条件：代数式x+1和x-5互为相反数，列方程，然后即可求解． 【详解】解：∵代数式x+1和x-5互为相反数， ∴x+1=-（x-5）， 移项，得 x+x=5-1， 合并同类项，得 2x=4， 系数化为1，得 x=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握，解答此题的关键是根据代数式x+1和x-5互为相反数列方程，难度适中． 知识点2:绝对值 （1）定义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值，通常用|a|表示数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐ 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 【考点4 绝对值的定义】 【典例4】的绝对值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查是绝对值的概念，根据绝对值的概念，数轴上的数离开原点之间的距离叫做这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【详解】解：， 故选：B． 【变式4-1】在下列各数中，比小的数是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较，比较有理数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．根据负数都小于零，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 比小的数是， 故选：D． 【变式4-2】计算的结果是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、相反数，负数的绝对值等于它的相反数，由此可解． 【详解】解：， 故选A． 【变式4-3】已知在数轴上点A表示的数为，则点A与原点之间的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】点与原点之间的距离即到原点的距离．本题考查了数轴，关键是掌握用绝对值求两点间距离． 【详解】解：依题意，， ∴则点A与原点之间的距离为2 故选：D． 【考点5 利用绝对值的性质化简】 【典例5】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 【变式5-1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 【变式5-2】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，代数式的符号的判定，绝对值的化简，有理数的加减运算的应用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，，从而去绝对值，即可得到答案． 【详解】解：依题意，得 ，， ． 故答案为：． 【变式5-3】有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，_____0，____0． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较、数轴以及绝对值，牢记有理数大小比较的法则是解题的关键． （1）观察数轴可知，由此即可得出结论； （2）由结合绝对值的定义，即可得出的值． 【详解】（1）解：观察数轴可知：， 故答案为：； （2）∵， 【变式5-4】有理数，，在数轴上的位置如图. (1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0； (2)化简：. 【答案】(1)＜，＜，＞ (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减和有理数的大小比较，整式的加减． （1）由数轴可得，，再根据有理数的加减法法则即可解答； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）由数轴可得：，， ∴，，． 故答案为：＜，＜，＞ （2）∵，， ∴ ． 【考点6绝对值非负性】 【典例6】如果，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值及平方非负性的应用，由题意得是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴ 故选：A 【变式6-1】若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴； 则． 故选A． 【变式6-2】a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练的掌握相反数的定义． 根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式，求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 解得， ∴． 故答案为3． 【考点7绝对值的几何意义】 【典例7】先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【答案】(1)，2或 (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和数轴上两点的距离； （1）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （2）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （3）根据题意结合数轴计算可得答案； 弄清题意熟知数轴上两点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即， 或， 那么为或2； 故答案为：，2或； （2），表示点到和2的距离相等，即点A为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等； 故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得： ， 的值为； 故答案为：． 【变式7-1】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为 根据以上材料回答下列问题： (1)若，则______，，则______ (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是______ (3)若，则x的值为多少？ 【答案】(1)5或，1 (2)，3 (3)或5 【分析】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据表示数轴上表示x的点到2的距离为3，表示数轴上表示x的点到表示4和的距离相等，得出答案； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据所提供的绝对值意义，即可解答． 【详解】（1）解：表示数轴上表示x的点到2的距离为3， 或， 解得或， 表示数轴上表示x的点到表示4和的距离相等，因此到4和距离相等的点表示的数为， 故答案为：5或，1； （2）解：，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 因此x的最大值为3，最小值为； 故答案为：，3； （3）解：当时， ，去绝对值为：， ； 当时，去绝对值为：（不成立）； 当时，去绝对值为：， ， 综上，或5． 【变式7-2】．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在； 根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； 根据题意对去绝对值即可求解； 根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：． （3）， 数的点位于的左边或的右边， 或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时， ，当时，取得最小值为； 当时， ，当时，取得最小值为； 当时， ，当接近时，取得最小值接近为； 当时， ，当接近时，取得最小值接近； 综上可得，式子的最小值为． 故答案为：． 【变式7-3】数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1) (2)1或 (3)5 (4)4，15 (5)5， 【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答； （2）直接解绝对值方程即可解答； （3）当x在表示数1与两点之间时，的值最小，据此即可解答； （4）可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和，据此即可解答； （5）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． 故答案为： （2）解： 或 或 故答案为： 1或 （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点x到1与两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当x在1与之间时，的最小值为5． 故答案为：5； （4）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和， ∴当x为4时，有最小值， ∴的最小值为． 故答案为：4，15． （5）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值； 当时，有最小值； 故答案为：5，． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 1．的相反数是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确判断的前提． 根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选：D． 2．四个数，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：， 最小的数是， 故选：A． 3．一个数的绝对值等于，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义．根据题意，一个数的绝对值等于，则这个数是即可． 【详解】解：一个数的绝对值等于 这个数是． 故选：C． 4．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴的位置距离原点最近， 故选：B． 5．2024年2月8日，某地记录到四个时刻的气温（单位：）分别为，0，5，，其中最低的气温是（    ） A． B．0 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小的比较的实际应用，有理数大小比较法则为：正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小；由此法则比较出两个负数的大小即可完成． 【详解】解：， ， 即最小， 故选：A． 6．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和2 B．2和 C．3和 D．3和 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的绝对值和相反数，熟练掌握基本知识是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、，和2互为相反数，故本选项符合题意； B、，2和不是互为相反数，故本选项不符合题意； C、3和不互为相反数，故本选项不符合题意； D、，所以3和不是互为相反数，故本选项不符合题意． 故选：A． 7．如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答． 【详解】解： ，， ∵ ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 8．我市去年冬季里某一天的气温为，下列气温（单位：℃）不在这一范围的是（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义及大小比较，根据温度的定义，根据数的大小关系确定答案即可． 【详解】解：我市去年冬季里某一天的气温为，不在这一范围的是， 故选：B． 9．已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 10．若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以． 故答案为：，． 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 12．如果，则 ． 【答案】4或/或4 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．由绝对值的性质可得，，求解即可获得答案． 【详解】解：因为， 所以，， 解得或． 故答案为：4或． 13．比较大小： (填“”、“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简多重符号，进而根据正数的大小比较即可判断大小． 【详解】解： ∴ 故答案为：． 14．关于的方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程．分，和时三种情况讨论，分别列得方程，再解方程可得． 【详解】解：当时， ，解得； 当时, ，此方程无解； 当时, ，解得； 故答案为：或． 15．已知数轴上两点对应的数分别为，y，且y是的最小值，点P为数轴上一点，且原点O是的中点，点C是的三等分点，则点C在数轴上表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，有理数的加减计算，先根据绝对值的几何意义求出的最小值为2，即，进而求出点P表示的数为，再分当点C是靠近点A的三等分点时，当点C是靠近点B的三等分点时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵表示的是数轴上表示x的数到表示和表示的数的距离之和， ∴当时有最小值，最小值为， ∴， ∵原点O是的中点， ∴点P表示的数为， ∴， ∵点C是的三等分点， ∴当点C是靠近点A的三等分点时，点C表示的数为， 当点C是靠近点B的三等分点时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数为或， 故答案为：或． 16．如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，且a，b表示的数满足． (1)______，_______； (2)若点A、B分别以3个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，两点同时移动． ①当点A运动到6对应的点时，求A、B两点间的距离； ②经过多长时间A、B两点相距5个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①1，②2秒或7秒 【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，即可得出a，b的值； （2）①利用时间等于路程除以速度，可求出点A运动的时间，结合点B的运动速度及出发点，可求出此时点B对应的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出A，B两点间的距离；②当运动时间为t秒时，点A对应的数为，点B对应的数为，根据两点相距5个单位长度，可得出关于t的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵a，b表示的数满足， ∴，， ∴，． 故答案为：，． （2）点A运动到6对应的点所需时间为(秒)， 此时点B运动到的位置为， ∵， ∴A，B两点间的距离为1． 当运动时间为t秒时，点A对应的数为，点对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 故经过2秒或7秒，两点相距5个单位长度． 【点睛】本题主要考查动点问题，涉及偶次方的非负性、绝对值的非负性，两点之间的距离以及解一元一次方程的应用，解题的关键是能用代数式表示点的位置． 17．探究与应用 【阅读材料】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索分析】 （1）数轴上表示5和的两点之间的距离是________． （2）若，则在数轴上有理数x对应的点与对应的点之间的距离为________，________． 【操作应用】小明在纸上画了一条数轴进行操作探究． （3）折叠纸面，若1对应的点与对应的点重合，则4对应的点与________对应的点重合． （4）折叠纸面，若4对应的点和对应的点重合，则： ①8对应的点和________对应的点重合； ②若点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B左侧，两点间的距离为且A，B两点经折叠后重合，试求a，b的值． 【答案】（1）6；（2）1；或；（3）；（4）①；②a，b的值为， 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数．熟练掌握绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）根据绝对值的意义进行求解作答即可； （3）由题意知，对称点为，进而可得4对应的点与对应的点重合； （4）①由题意知，对称点为，根据8对应的点和对应的点重合，计算求解即可；②由题意知，点A、点B到对称点的距离相等，且为，然后根据点A表示的数为，点B表示的数为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，数轴上表示5和的两点之间的距离是， 故答案为：6． （2）解：∵， ∴在数轴上有理数x对应的点与对应的点之间的距离为1， ∴或， 故答案为：1；或． （3）解：∵折叠纸面，若1对应的点与对应的点重合， ∴对称点为， ∴4对应的点与对应的点重合， 故答案为：； （4）①解：∵折叠纸面，4对应的点和对应的点重合， ∴对称点为， ∴8对应的点和对应的点重合， 故答案为：； ②解：∵两点间的距离为，且A，B两点经折叠后重合， ∴点A、点B到对称点的距离相等，且为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴a，b的值为，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$