2024年暑期初高中数学衔接讲义-首项系数不为1的十字相乘法

首项系数不为1的十字相乘法 形如的二次三项式 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数不为1； (2) 二次项系数和常数项均可以分解为两个因子的乘积； (3) 对二次项系数和常数项进行因子分解，寻找不同的因子组合，通过交叉相乘再相加，其结果等于一次项系数。 形如的二次三项式十字相乘法说明： 反过来有，. 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把二次项系数分解得到的写到第一列，常数项分解得到的写到第二列，写成的形式，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成. 鉴于此，此类型的十字相乘要遵循“拆两头，凑中间”的原则。 （1）当常数项为正数时，应把它分解为两个同号因子的积，因子的符号与一次项系数的符号相同； （2） 当常数项为负数时，应把它分解为两个异号因子的积，使十字连线上绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同． 补充说明：（1）当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数变为正数，然后再按照上述方法求解即可； （2）十字相乘法在对二次项系数和常数项进行分解时，可能有多种情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定该二次三项式能否用十字相乘法分解以及找到正确的分解方式． 例题讲解 把下列各式因式分解： （1） （2） （3） （1）解：二次项系数为正，可以直接进行分解，；常数项为正，一次项系数为负，应把它分解为两个负因子。接下来对这两种情况进行组合，有和两种情况，这里按斜线交叉相乘再相加，第一种情况为，第二种情况为，显然第二种情况满足等于一次项系数，故按照第二种情况进行横向抄写分解有：。 （2）解：二次项系数为正，可以直接进行分解，，有多种分解方法；常数项为负，应把它分解为两个异号因子。接下来对以上情况进行多种组合，发现这种情况刚好满足等于一次项系数，故按照这种情况进行横向抄写分解，有：。 （3）解：对于该式，可以看成关于的二次三项式，这时一次项系数是，常数项是。二次项系数为正，可以直接进行分解，常数项为负，应把它分解为两个异号因子，且有多种情况。接下来对以上情况进行多种组合，发现这种情况刚好满足等于一次项系数，故按照这种情况进行横向抄写分解，有：。 自我检测 把下列各式因式分解： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 参考答案：（1）（2） （3）（4） （5）（6） 学科网（北京）股份有限公司 $$