专题01 数学与我们同行、有理数（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

专题01数学与我们同行、有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、算“24”点 【解惑】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【融会贯通】 1．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．算“24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）连接起来，使得运算结果为24，注意：每个数字只能用一次，请你用“5、5、5、1”这4个数字算“24点”，列出的算式是 ． 3．在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或-24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，分别代表11、12、13.现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3、-4、-6、10，请你帮助他写一个算式，使其运算结果等于24或-24 ． 类型二、绝对值方程 【解惑】解方程：． 【融会贯通】 1．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离． 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以x的值为或2． 例2：已知，求x的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以x的值为3或． 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)； (2)． 2．知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像，，都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． （1）表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． 知识应用： （1）求出下列未知数的值． ； ． （2）知识探究： 直接写出的最小值． 3．阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称-1，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：，，．从而在化简时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式．通过以上阅读，请你解决问题： (1)的零点值是__________． (2)化简代数式； (3)解方程． 类型三、循环小数化为小数 【解惑】借助方程可将循环小数化成分数．例如，在将化为分数时，可设．由…可知，…．所以．所以．解这个方程，得，即． (1)将化为分数，填写下面的空格： 设，由…可知，． 所以．所以______．解这个方程，得______． (2)将化为分数． 【融会贯通】 1．我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以． (1)填空： ； ； ； (2)将循环小数写成分数的形式． 2．先阅读下面材料，再完成任务： 【阅读理解】你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题，利用一元一次方程将化为分数，设，则，而 所以，化简得，解得．所以 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为分数为______；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程 3．阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是 解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，）．请你直接用含，的式子表示纯循环小数______． 类型四、绝对值“1”与“-1”化简 【解惑】请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【融会贯通】 1．已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．    (1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 2．已知a,b,c都不等于零，且的最大值是m，最小值为n，求的值． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 类型五、绝对值最值 【解惑】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为______． (2)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是______； ②当时，数a的取值范围是______，这样的整数a有______个； ③有最小值，最小值是______． 【融会贯通】 1．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数， 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，； 所以的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： （1）的最小值是______； （2）当为何值时，代数式的最小值是． 2．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点、，分别用数、表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是_____； (2)如果，那么的值是_____； (3)满足整数有____个； (4)如果，那么的值是_____； (5)的最小值是_____． 3．我们知道，|a|可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数－1的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点A用数a表示，则 ①若，那么a的值是_________． ②当_________时，有最小值，最小值是_________； ③有最小值，最小值是_________； ④求的最小值． 类型六、裂项求和 【解惑】问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)利用规律计算：； (2)问题拓展，求； (3)问题解决： 求的值． 【融会贯通】 1．观察下面算式的演算过程：                        …… （1）根据上面的规律，直接写出下面结果： ______________．     ____________． _________________．（为正整数） （2）根据规律计算： ． 2．请观察下列算式，找出规律并解决问题 =1-， =-， =-，  =- 则第10个算式是 = ； 根据以上规律解答下题： 若有理数a. b满足|a-1|+(b-3)2=0,试求：+++ …… +的值. 3．观察下列等式： ，，……， 将以上二个等式两边分别相加得： 用你发现的规律解答下列问题： (1)猜想并写出：_______； (2)直接写出下列各式的计算结果： 　①_______； 　②_______． (3)探究并计算： 　． 类型七、数列求和 【解惑】阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【融会贯通】 1．在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1． 根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020． 2．阅读下列两段材料，回答下列各题： 材料一：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 材料二：求值：． 解：设，将等式两边同时乘以2得：将下式减去上式得即 （1）直接写出计算结果： （2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式： （且为正整数） （3）计算 3．阅读材料：求的值. 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： （1） （2） 类型八、数轴动点求t 【解惑】如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【融会贯通】 1．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 2．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 3．如图，在数轴上所对应的数为． （1）点与点相距4个单位长度，则点所对应的数为______． （2）在（1）的条件下，如图，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离． （3）如图，若点对应的数是10，现有点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由． 类型九、数轴新定义 【解惑】在数轴上，点表示的数为0，点表示的数为． 给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“闭距离”． 如图1，若，点表示的数为3，当点与点重合时，线段的长最大，值是4，则点与线段的“闭距离”为4． (1)如图2，在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为2． ①当时，点与线段的“闭距离”为___________； ②若点与线段的“闭距离”为3，求的值； (2)在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若线段上存在点，使得点与线段的“闭距离”为5，直接写出的最大值与最小值． 【融会贯通】 1．阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题： (1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ； (2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）． ①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ； ②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ． 2．阅读材料： 定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为–1，0，2，且满足，则点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)基础巩固：在A，B，C三点中，点_____________是点M，N的“倍分点”． (2)尝试应用：若数轴上点M是点A，D的“倍分点”，则点D在数轴上对应的数有_____________个． (3)灵活运用：若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点Р在点N的右侧，求此时点Р在数轴上表示的数． 3．定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离2倍，我们就称点是【，】的美好点． 例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为2.表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是【，】的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点．    如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．       (1)点，，表示的数分别是，6.5，11，其中是【，】美好点的是 ；写出【，】美好点所表示的数是 ． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 类型十、有理数的圈次方 【解惑】概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（）写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果： ； ； （2）下列关于除方说法中，错误的有 ；（在横线上填写序号即可） A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； D．圈n次方等于它本身的数是1或． 深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）归纳：请把有理数（）的圈（）次方写成幂的形式为： ； （4）比较： ．（填“”“”或“”） 【融会贯通】 1．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究 (1)直接写出计算结果：___________，__________； 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (2)试一试：仿照图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．___________；___________；___________． (3)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于___________； (4)算一算：． 2．规定：求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． (1)写出计算结果：＝______；＝______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈次方都等于 B．对于任何正整数， C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 D． (3)试一试：，，依照前面的算式，将，的运算结果直接写成幂的形式是______，______； (4)想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是：______； 3．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1；        B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．                        D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： (4)当取得最小值时，写出x的取值范围． 【一览众山小】 1．已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 2．已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 3．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④当时，式子有最小值，其中正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．“点”的游戏规则是：用“、、、”四种运算符号把给出的四个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是．例如：给出，，，这四个数，可以列式．以、、、这四个数用“、、、”四种运算符号列出算式为 ．（列出一种情况即可） 5．把循环小数写成分数形式为： ． 6．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足．若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，若t秒后C、D两点相距5个单位长度，则t的值为 ． 7．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：a5＝_________＝_________； (2)求的值； (3)求的值． 8．探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 9．已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值，______，______，______． (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． (3)在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 10．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01数学与我们同行、有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、算“24”点 【解惑】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【融会贯通】 1．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．算“24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）连接起来，使得运算结果为24，注意：每个数字只能用一次，请你用“5、5、5、1”这4个数字算“24点”，列出的算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】解答此题应根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数即可解决问题。 【详解】解： 故答案为：（答案不唯一）. 【点睛】此题考查对运算符号的熟练运用，有一定的技巧性，关键是掌握整数的四则混合运算. 3．在学习了《有理数及其运算》以后，小明和小亮一起玩“24点”游戏，规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24或-24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，分别代表11、12、13.现在小亮抽到的扑克牌代表的数分别是：3、-4、-6、10，请你帮助他写一个算式，使其运算结果等于24或-24 ． 【答案】 【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可解答. 【详解】=-24 故答案为：=-24（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键. 类型二、绝对值方程 【解惑】解方程：． 【答案】或． 【分析】本题主要考查解绝对值方程，分、、三种情况去绝对值，解一元一次方程即可． 【详解】解：（1）当时，有，得； （2）当时，有，无解； （3）当时，有，得． 所以方程的解为或． 【融会贯通】 1．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离． 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以x的值为或2． 例2：已知，求x的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以x的值为3或． 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)x的值为或3； (2)x的值为6或． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，及利用两点之间的距离解绝对值方程，理解数轴上两点之间的距离的表示是解题的关键． （1）可表示数轴上表示x的点到原点的距离，据此求解可得； （2）可表示数轴上与2对应的点的距离，据此求解可得． 【详解】（1）解：∵ 在数轴上与原点距离为3的点表示的数为和3， 所以x的值为或3； （2）解：∵ 在数轴上与2对应的点的距离为4的点表示的数为6和， 所以x的值为6或． 2．知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像，，都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． （1）表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． 知识应用： （1）求出下列未知数的值． ； ． （2）知识探究： 直接写出的最小值． 【答案】（1）①或；②或；（2）2． 【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数、绝对值的含义、数轴上两点间的距离等基础知识，明确相关概念是解题的关键． （1）表示在数轴上，数与数的距离为个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是和； 表示在数轴上，数与数的距离为个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是和． （2）根据表示数与表示数和的点之间的距离之和，当表示数的点处于表示和的点之间时，距离最小，可得答案． 【详解】解：（1）①因为， 所以或， 解得：或； 因为， 所以或， 解得：或； （2）表示数与表示数和的点之间的距离之和， 当a在3和5之间时距离之后最小，最小值为2， 的最小值是． 3．阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称-1，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：，，．从而在化简时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式．通过以上阅读，请你解决问题： (1)的零点值是__________． (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)3和-4 (2) (3) 【分析】（1）根据零点值得概念令 和，即可得到答案． （2）仿照材料例题，令，，三种情况，结合绝对值的意义化简即可得到答案． （3）由（２）可得的化简式，根据，，三种情况下的化简式解方程，结合 的范围可得方程的解． 【详解】（1）解： 根据题意可得，令 和 ，解得 或 的零点值是 或-4 （2）解：化简代数式时， 令 和 ，解得 和 当 时，原式 ； 当时，原式 ； 当 时，原式 ； 综上， （3）解：由（2）可得： 当时，可化简为： ，得 （与矛盾，不符合题意）； 当时，（不符合题意）； 当 时，可化简为： ，得 （符合的条件，符合题意）； 综上，可得的解为 【点睛】此题考查绝对值的意义，理解绝对值的几何意义，利用分类讨论思想是解题的关键． 类型三、循环小数化为小数 【解惑】借助方程可将循环小数化成分数．例如，在将化为分数时，可设．由…可知，…．所以．所以．解这个方程，得，即． (1)将化为分数，填写下面的空格： 设，由…可知，． 所以．所以______．解这个方程，得______． (2)将化为分数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意列出方程是解答本题的关键． （1）根据题意可得关于x的一元一次方程，求出其解即可； （2）根据阅读材料设，则，，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设，由…可知，． 所以．所以． 解这个方程，得； （2）设，则，， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．我们知道，反过来，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下：设，则，于是得，解方程得，所以． (1)填空： ； ； ； (2)将循环小数写成分数的形式． 【答案】(1)，，1 (2) 【分析】（1）仿照题目中的方法列方程求解即可； （2）设，则，从而可得，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得，， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：，，1； （2）解：设，则， ∴， 解得，， ∴． 2．先阅读下面材料，再完成任务： 【阅读理解】你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法． 例题，利用一元一次方程将化为分数，设，则，而 所以，化简得，解得．所以 【问题探究】 (1)请仿照上述方法把化成分数为分数为______；（直接写出结果） (2)请类比上述方法，把循环小数化为分数，写出解题过程 【答案】(1) (2)，过程见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能选择适当的方法求解是解此题的关键． （1）设①，则②，得出，再求出x即可； （2）设，则，则，再求出x即可． 【详解】（1）解：设①，则②， ，得， 解得：， 即， 故答案为：； （2）解：设，则 而 ∴ 解得 ∴． 3．阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由，可知，，所以．解方程，得，于是 解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作，循环节的位数记作（例如对而言，，）．请你直接用含，的式子表示纯循环小数______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设，则，据此可得，解方程即可得到答案； （2）根据题意可知，循环位数是几位则乘以几个10得到一个数，再用这个数减去原循环小数后等于循环节组成的数，据此可得答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：由题意得， ∴， 故答案为：． 类型四、绝对值“1”与“-1”化简 【解惑】请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 【融会贯通】 1．已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足．    (1)比较大小： 0， 0， 0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)＜，＝ ，＜ (2) (3) 【分析】本题考查有理数的大小比较、数轴、绝对值等知识， （1）根据数轴上的点左边的数比右边的数小和，即可判断； （2）利用绝对值的性质化简即可解决问题； （3）利用绝对值的性质化简即可解决问题 【详解】（1）解：由数轴可得：， ∵， ∴，，； （2）解：原式＝ ＝ （3）解：原式＝ ＝ ＝ 2．已知a,b,c都不等于零，且的最大值是m，最小值为n，求的值． 【答案】-1；其中m=2,n=-2 【详解】试题分析：因为a,b,c符号不确定所以需要对其进行分类讨论,因为a,b,c在原式中的位置相同，所以随意给三个字母规定正负，讨论三个字母符号正负，计算最值 . 试题解析： ,分类讨论，a,b,c同正，原式=1+1+1-1=2,； a,b,c同负，原式=-1-1-1+1=-2； a,b,c两正一负，原式=1+1-1+1=2； a,b,c两负一正，原式=-1-1+1-1=-2. 所以m=2,n=-2，所以. 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 类型五、绝对值最值 【解惑】我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为______． (2)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是______； ②当时，数a的取值范围是______，这样的整数a有______个； ③有最小值，最小值是______． 【答案】(1) (2)①或8；②，6；③ 【分析】（1）根据绝对值的意义可得； （2）①利用绝对值定义知或，分别求解可得；②根据绝对值的几何意义可知时，，再由是整数，求出符合条件的的值即可；③根据题意分类讨论后可知当时，的最小值是2026． 本题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离；熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：若，那么的值为5或， 故答案为：； （2）①数轴上点用数表示，若，则或， 或， 故答案为：或8； ②表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和， 时，， 是整数， 的值有，，0，1，2，3，共6个， 故答案为：，6； ③表示数轴上表示的点与表示、3的点的距离之和， 当时，， 当时，， 当时，， 故当时，有最小值，最小值是， 故答案为：． 【融会贯通】 1．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数， 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，； 所以的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： （1）的最小值是______； （2）当为何值时，代数式的最小值是． 【答案】 （1）（2）为或 【分析】考查数轴上两点之间的距离． （1）把原式转化为看作是数轴上表示的点与表示和的点之间的距离最小值，即可求解； （2）根据原式的最小值为，得知此题为动点问题，因此通过数轴上表示的点的左边和右边，得到与的距离为的点即可． 【详解】（1）因为． 如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； （2）因为数轴上表示数的点到表示数的点的距离为，数轴上表示数的点到表示数的点的距离也为， 因此当为或时，原式的最小值是． 2．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点、，分别用数、表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是_____； (2)如果，那么的值是_____； (3)满足整数有____个； (4)如果，那么的值是_____； (5)的最小值是_____． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或； (5)． 【分析】（）根据绝对值的定义求解可得； （）根据绝对值的定义求解可得； （）根据绝对值的几何意义可知，时，求出符合条件的值即可； （）根据绝对值的几何意义进行当时和时两种情况讨论即可； （）表示数轴上到表示的点的距离之和，根据两点之间线段最短和绝对值的几何意义可知，当时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解； 本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：若，那么的值为或， 故答案为：； （2）∵， ∴或， ∴或， 故答案为: 或； （3）∵，且 ∴， ∵是整数， ∴的值有， ， ， ，， ，共个， 故答案为：； （4）由（）可得当时，，不符合题意； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 故答案为：或； （5）∵的中间一项是， ∴时， 原式有最小值，， 故答案为：． 3．我们知道，|a|可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数－1的点和表示数的点之间的距离是_________． (2)数轴上点A用数a表示，则 ①若，那么a的值是_________． ②当_________时，有最小值，最小值是_________； ③有最小值，最小值是_________； ④求的最小值． 【答案】(1)5，2 (2)①或；②，0；③；④ 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）①利用绝对值定义知或，分别求解可得； ②根据绝对值的意义可得； ③的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和，由两点之间线段最短即可求得答案； ④表示数轴上到表示、、……，的点的距离之和，根据两点之间线段最短和绝对值的几何意义可知：当时，原式有最小值，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是， 数轴上表示数-1的点和表示数的点之间的距离是， 故答案为：5，2； （2）数轴上点A用数a表示， ①若，则或， ∴或， 故答案为：或； ②∵表示数轴上到表示点a的数的点和表示的点的距离， ∴当时，有最小值，最小值是0； 故答案为：，0 ③∵的意义是表示数轴上到表示和表示的点的距离之和， 由两点之间线段最短可知：当时，有最小值，最小值为， 故答案为； ④∵的中间一项是 ， ∴当时，原式有最小值， ∴ ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 类型六、裂项求和 【解惑】问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)利用规律计算：； (2)问题拓展，求； (3)问题解决： 求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧． （1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可； （2）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可； （3）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意， ∵，，，， ∴ ； （2）解： ； （3）解：∵，； ，； ，； …… ， 所以原式 ． 【融会贯通】 1．观察下面算式的演算过程：                        …… （1）根据上面的规律，直接写出下面结果： ______________．     ____________． _________________．（为正整数） （2）根据规律计算： ． 【答案】（1），，；（2）． 【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得； （2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得． 【详解】（1）， ， ， 故答案为：，，； （2）原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键． 2．请观察下列算式，找出规律并解决问题 =1-， =-， =-，  =- 则第10个算式是 = ； 根据以上规律解答下题： 若有理数a. b满足|a-1|+(b-3)2=0,试求：+++ …… +的值. 【答案】；；. 【分析】根据所给的算式，可找出规律：；现根据所给的式子，利用两个非负数的和等于，则每一个非负数等于0，可求出、，再把、的值代入所求式子，利用公式进行计算即可． 【详解】解：=； ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要是寻找规律，再根据有理数的混合运算计算，并利用了两个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0的知识． 3．观察下列等式： ，，……， 将以上二个等式两边分别相加得： 用你发现的规律解答下列问题： (1)猜想并写出：_______； (2)直接写出下列各式的计算结果： 　①_______； 　②_______． (3)探究并计算： 　． 【答案】（1）； （2）①； ②； （3） 【详解】（1）从材料中可看出规律是； （2）直接根据规律求算式（2）中式子的值，即展开后中间的项互相抵消为零，只剩下首项和末项，要注意的是末项的符号是负号，规律为； （3）观察它的分母，发现两个因数的差为2，若把每一项展开成差的形式，则分母是2，为了保持原式不变则需要再乘以，即得出最后结果． 解：（1）=﹣； （2）①原式=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=； ②原式=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=； （3）原式=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=． 故答案为（1）﹣；（2）①；②． “点睛”此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 类型七、数列求和 【解惑】阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．设，然后两边同乘以3，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设 则 所以， 即． 【融会贯通】 1．在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1． 根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020． 【答案】 【分析】依据题例的方法乘2后，错位相减即可． 【详解】解：设, 则， 两式相减得： 即 【点睛】本题属于新定义运算，考查有理数的混合运算，读懂材料内容，理解题中错位相减的方法是解题关键． 2．阅读下列两段材料，回答下列各题： 材料一：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 材料二：求值：． 解：设，将等式两边同时乘以2得：将下式减去上式得即 （1）直接写出计算结果： （2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式： （且为正整数） （3）计算 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据除方的定义展开，直接计算即可； （2）根据除方的定义展开，化除法为乘法，再用乘方表示为=，运用此公式即可表达； （3）先化除方为乘方，再模仿材料二，运用整体思想、作差抵消即可算出. 【详解】解：（1）=, 故答案为：. （2）∵====， ∴， 故答案为：. （3）∵=， ∴原式=， 令， 则， ∴将下式减去上式得, ∴， 所以原式=. 【点睛】本题结合新定义考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确新定义的计算方法，把新定义的运算转化为熟悉的运算，第（3）问要注意，两等式相减后，左式为原式的2倍． 3．阅读材料：求的值. 解：设 将等式两边同时乘以2，得 将下式减去上式，得 即 请你仿照此法计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设M=，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案； （2）设N=，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案. 【详解】解：（1）根据材料，设M=①， ∴将等式两边同时乘以3，则3M=②， 由②①，得：， ∴； ∴. （2）根据材料，设N=③， ∴将等式两边同时乘以5，④， 由④③，得：， ∴； ∴. 【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． 类型八、数轴动点求t 【解惑】如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】此题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据数轴上的动点情况列方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可求解； （2）①根据追及问题的等量关系，利用点的运动距离减去点的运动距离，列方程即可；②根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （2）①根据题意得：， 解得：， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②当点与点相遇前距离为个单位长度， ， 解得：； 当点与点相遇后距离为个单位长度， ， 解得：， 答：当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 【融会贯通】 1．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 【答案】(1)， (2)①点M对应的数为：，点N对应的数为：；②的长度与无关，长度为 【分析】本题是数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）①由题意可得、的长度，从而由点、对应的数即可求出点、对应的数；②根据题意可得点对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断． 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点对应的数为：， 又， 点对应的数为：， 故答案为：，； （2）①由动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，则，， 又，， ，， 点对应的数为：，点对应的数为：； ②的长度与无关，理由如下： 由于， 点对应的数为：， 则， 即的长度与无关，长度为． 2．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 3．如图，在数轴上所对应的数为． （1）点与点相距4个单位长度，则点所对应的数为______． （2）在（1）的条件下，如图，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离． （3）如图，若点对应的数是10，现有点从点出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点从点出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒．在运动过程中，到的距离、到的距离以及到的距离中，是否会有某两段距离相等的时候？若有，请求出此时的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）或2；（2）4或12；（3）有，2.4或4或或6或3 【分析】（1）分类讨论，分别求出点B在点A左侧以及点B在点A右侧时点B所对应的数即可． （2）分类讨论，分别求出点B对应的数为2和－6时，A、B两点之间的距离即可． （3）由题可知：点表示的数为，点表示的数为，分别表示出AP、BQ、PQ、PB，分三类讨论，分别求出①当时，②当时，③当时对应的t的值． 【详解】（1）点在点左侧时， 为：， 点在点右侧时， 为：， 综上所述，点对应的数为或2． （2）①当对应的数为时， ：个单位，（秒）， ：， ∴； ②当对应的数为2时， ：个单位，（秒）， ：， ． 综上所述，，两点之间的距离为4或12． （3）在运动过程中，会有两段距离相等的时候， 由题可知：点表示的数为， 点表示的数为， ∴， ， ， ， 分三种情况： ①当时， 为中点或与重合， 若为中点，如图， 则， 即， 解得， 若与重合，如图， 则， 即， 解得． ②当时， 为中点或，重合， 若为中点，如图， 则， 即， 解得， 若，重合，则（不合题意） ③当时， 为中点或，重合， 若为中点，如图， 则， 即， 解得， 若，重合， 则， 即， 解得． 综上所述，当或4或或6或3时，线段，，中存在两条线段相等． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间距离的表示方法，熟记数轴上两点间距离的表示方法以及分类讨论思想的运用是解题关键． 类型九、数轴新定义 【解惑】在数轴上，点表示的数为0，点表示的数为． 给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“闭距离”． 如图1，若，点表示的数为3，当点与点重合时，线段的长最大，值是4，则点与线段的“闭距离”为4． (1)如图2，在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为2． ①当时，点与线段的“闭距离”为___________； ②若点与线段的“闭距离”为3，求的值； (2)在该数轴上，点表示的数为，点表示的数为，若线段上存在点，使得点与线段的“闭距离”为5，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1)①2；②或5 (2)m的最大值为4，最小值为 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴知识． （1）①认真读懂题意，按照“闭距离”的定义计算；②读懂题意，已知“闭距离”的值，求出m的取值； （2）按照m的正负值分情况讨论，计算出最大值、最小值． 【详解】（1）解：①根据题意可知，时，A到的最大值为的长， ∵， ∴点A与线段的“闭距离”为2， 故答案为：2； ②∵B点到的“闭距离”为3， ∴当时，， 当时，， ∴m的值为或5； （2）解：∵点C表示的数为，点D表示的数为，在线段上存在点G，使得点G与线段的“闭距离”为5， ∴当时，可得不等式组， ， 解得：， 当时，可得不等式组， ， 解得： 综上所述，或 ∴m的最大值为4，最小值为． 【融会贯通】 1．阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题： (1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ； (2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）． ①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ； ②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ． 【答案】(1) (2)， (3)①，②，， 【分析】（1）根据新定义求解； （2）根据新定义设未知数列方程求解； （3）①依题意，设B表示的数为，根据新定义得，再结合m为整数，即可作答； ②依题意，得点C和点D分别表示的数为，，根据新定义列不等式组求解，结合n为整数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得， 所以则点M表示的数为； 故答案为：； （2）解：设点A表示的数为， 因为A、B两点的距离为9（A在B的左侧）， 所以点B表示的数为， 因为A、B两点的“雅中点M”表示的数为2， 故， 解得，那么， 所以点A表示的数为，点B表示的数为， 故答案为：； （3）解：①依题意，设B表示的数为， 因为设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”， 所以， 因为m为整数， 所以为整数， 则或 故整数m的值为：，， 故答案为：； ②因为点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离， 所以点C和点D分别表示的数为，， ∵O可以为点A与点B的“雅中点”， ∴， 故， 因为B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）， 所以B表示的数为， 所以， 即， 解得， 因为n为整数， 则，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，结合数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键． 2．阅读材料： 定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为–1，0，2，且满足，则点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)基础巩固：在A，B，C三点中，点_____________是点M，N的“倍分点”． (2)尝试应用：若数轴上点M是点A，D的“倍分点”，则点D在数轴上对应的数有_____________个． (3)灵活运用：若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点Р在点N的右侧，求此时点Р在数轴上表示的数． 【答案】(1)B (2)4 (3)①；②或24 【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案； （2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案； （3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点B是点M，N的“倍分点”． 故答案为：B． （2）解：设点D在数轴上所表示的数为x． 根据题意，得． ①当时，． ∴．解得或． ②当时，． ∴．解得或． 综上所述，点在数轴上对应的数有4个． 故答案为：4． （3）解：根据题意，得， ①当时，． ∵点Р在点N的右侧， ∴此时点Р在数轴上表示的数为． ②当时，． ∵点Р在点N的右侧， ∵此时点Р在数轴上表示的数为24． 综上所述，点Р在数轴上表示的数为或24． 【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键． 3．定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离2倍，我们就称点是【，】的美好点． 例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为2.表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是【，】的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点．    如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．       (1)点，，表示的数分别是，6.5，11，其中是【，】美好点的是 ；写出【，】美好点所表示的数是 ． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）根据美好点的定义，，，，只有点符合条件， 故答案为：． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，点的右侧不存在满足条件的点，点和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图1，    当时，，点对应的数为，因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2，    当时，，点对应的数为，因此秒； 第三种情况，为【，】的美好点，点在左侧，如图3，    当时，，点对应的数为，因此秒； 第四种情况，为【，】的美好点，点在左侧，如图4，    当时，，点对应的数为，因此秒； 第五种情况，为【，】的美好点，点在左侧，如图5，    当时，，点对应的数为，因此秒； 第六种情况，为【，】的美好点，点在，左侧，如图6，    当时，，因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧，    当时，，因此秒， 第八种情况，    为【，】的美好点，点在右侧， 当时，，因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 类型十、有理数的圈次方 【解惑】概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（）写作，读作“的圈次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果： ； ； （2）下列关于除方说法中，错误的有 ；（在横线上填写序号即可） A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数； D．圈n次方等于它本身的数是1或． 深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）归纳：请把有理数（）的圈（）次方写成幂的形式为： ； （4）比较： ．（填“”“”或“”） 【答案】（1） ，；（2）D；（3）（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可解答； （2）利用a的圈n次方的意义，逐一判断即可解答； （3）仿照上边的例题，把有理数的除方运算转化为乘方运算，进行计算即可解答； （4）利用（3）的结论，进行计算即可解答； 【详解】（1）； ； 故答案为：1；； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故A不符合题意； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故B不符合题意； C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故C不符合题意； D．圈n次方等于它本身的数是1，的圈偶数次方等于1，的圈奇数次等于，故D符合题意； 故选：D； （3）， 故答案为：； （4）∵， ， ∴， 故答案为：； 【融会贯通】 1．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 初步探究 (1)直接写出计算结果：___________，__________； 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (2)试一试：仿照图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．___________；___________；___________． (3)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于___________； (4)算一算：． 【答案】(1)， (2)，， (3) (4) 【分析】（1）（2）根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算； （3）根据（1）（2）得出规律； （4）根据（3）的规律求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ； 故答案为：，，； （3）解：， 故答案为：； （4）解： ． 【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． 2．规定：求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作：“的圈次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． (1)写出计算结果：＝______；＝______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈次方都等于 B．对于任何正整数， C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 D． (3)试一试：，，依照前面的算式，将，的运算结果直接写成幂的形式是______，______； (4)想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是：______； 【答案】(1)，； (2)D (3)，； (4) 【分析】（1）根据除方的运算法则进行计算即可； （2）根据除方的定义即可判断答案； （3）根据除方的运算法则进行计算即可； （4）由（3）总结归纳得出规律即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）设，则， A说法是正确的； ， B说法是正确的； 设，则， 当为偶数时，是偶数，，当是奇数时，是奇数，， C说法是正确的； ，， ， D说法是错误的， 故答案为：D． （3）， ， 故答案为：，； （4）由（3）可归纳得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的运算，理解新定义除方，总结归纳运算规律是解题关键． 3．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1；        B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．                        D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： (4)当取得最小值时，写出x的取值范围． 【答案】(1)1， (2)D (3)12 (4) 【分析】（1）根据规定运算，直接计算即可； （2）根据新定义逐项判断； （3）先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可； （4）分，，，，四种情况分别讨论，再合并结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ；； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，， 且， 则，故正确； D．1和的圈n次方都等于它本身，，或1，故错误； 故选D； （3） ； （4）， 1、当时， ， 当时，， 最小值为； 2、当时， ； 3、当时， ， ； 4、当时， ， 当时，， 最小值为； 综上：的最小值为，的取值范围是． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． 【一览众山小】 1．已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将代入方程，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得或． 故选：C． 2．已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 3．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④当时，式子有最小值，其中正确结论的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较法则，绝对值等知识，首先判断出，，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷的优势． 【详解】由题意得，， ∴①；故原结论正确； ②；故原结论错误； ③，故原结论正确； ④∵表示x到a的距离加上x到b的距离加上x到c的距离， ∴当时，式子有最小值，故原结论错误； 故正确结论有①③共2个． 故选：B． 4．“点”的游戏规则是：用“、、、”四种运算符号把给出的四个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是．例如：给出，，，这四个数，可以列式．以、、、这四个数用“、、、”四种运算符号列出算式为 ．（列出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：（答案不唯一）． 5．把循环小数写成分数形式为： ． 【答案】 【分析】利用换元的方法即可求解，具体过程见详解． 【详解】解：设，① ∴，② 用②①得，， ∴，即， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查无限循环小数化分数的方法，掌握换元法求无限循环小数化分数的方法是解题的关键． 6．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足．若点C从原点出发以3个单位/秒的速度向点A运动，同时点D从原点出发以2个单位/秒的速度向点B运动，当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动，直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止，若t秒后C、D两点相距5个单位长度，则t的值为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查绝对值的非负性．数轴上点的表示及线段和差表示线段长．先求出的值，再根据运动时间分情况讨论的长，列式求解即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∵若t秒后C、D两点相距5个单位长度，根据题意得： 点到达时运动时间为（秒），点到达时运动时间为（秒）， 点从原点出发反向先到达点所用时间为（秒）， 根据题意分情况讨论： ①当时，点对应的数为，点对应的数为， 此时，解得：， ②当时，点对应的数为，点对应的数为， 此时，解得：（舍）， ③当时，点对应的数为，点对应的数为， 此时，解得：或， 综上所述：秒，秒，秒后C、D两点相距5个单位长度， 7．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 解答下列问题： (1)按以上规律写出第5个等式：a5＝_________＝_________； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由前面4个等式的规律可得第5个等式的规律，即可完成求解； （2）利用（1）中的规律即可完成求解； （3）利用（1）中规律，把每一项拆成两个分数的差的形式，即可求解． 【详解】（1）解：由前面4个等式的规律，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题是规律探索问题及其应用，考查有理数的混合运算，寻找到规律是解题的关键． 8．探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【答案】（1）①1； ②1；③1；④1 （2）①1；②1；③64 【分析】（1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： 计算即可． 【详解】解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = = 【点睛】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键． 9．已知：是最小的正整数，且、、满足，请回答问题： (1)请直接写出、、的值，______，______，______． (2)、、所对应的点分别为、、，点为一动点，其对应的数为，点在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． (3)在（1）（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，， (2)当时，；当时， (3)不变，2 【分析】（1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负性求解； （2）根据点所在的位置结合绝对值的意义进行化简，然后按照整式加减运算法则进行计算； （3）根据运动方向和运动速度分别表示出点，，在运动过程中所表示的数，然后利用数轴上两点间的距离公式列式计算． 【详解】（1）解：由于是最小的正整数， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）因为点在到之间运动时，且点所对应的数为，所以， 当时，，，， 所以 ； 当时，，，， 所以 ； （3）不变，由题意，得 秒钟过后点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， 所以，， 所以． 所以的值是不随着时间的变化而改变的，其值为2． 解：（1）因为是最小的正整数，所以， 因为，所以，， 所以，，所以的值为，的值为1，的值为5， 故答案为：，，； 【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查整式加减的应用，非负数的性质、理解数轴上点所对应数的表示，应用数形结合思想解题是关键． 10．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)G；－4或－16 (2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件， 故答案是：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16． 故答案为：－4或－16； （2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6， 当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧， 当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒， 第八种情况， N为【M，P】的美好点，点P在M右侧， 当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【点睛】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$