专题01 数学与我们同行、有理数（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

专题01数学与我们同行、有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、数轴比较大小 【解惑】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上的点分别表示实数，则 0（填写“>”、“<”或“=”）．    3．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示． 下面有四个推断： ①如果，则一定会有； ②如果，则一定会有； ③如果，则一定会有； ④如果，则一定会有． 所有合理推断的序号是 . 类型二、绝对值的非负性 【解惑】若，a一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 【融会贯通】 1．若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 2．若与互为相反数，则 ． 3．已知整数满足，则的值为 ． 类型三、数轴上两点之间的距离 【解惑】点、、、在数轴上的位置如图所示，点为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点C表示的数是5，点B是的中点，则点B表示的数是 ． 3．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    类型四、循环周期问题 【解惑】在一列数：中，，，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2024个数是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【融会贯通】 1．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2024应标在（    ） A．第505个正方形的左下角 B．第505个正方形的右下角 C．第506个正方形的左下角 D．第506个正方形的右下角 2．通过计算可知：，，，，，，，，…，则的个位数字是 ． 3．如图，周长为6个单位长度的圆的六等分点分别为，，，，，，点落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上的点是 ．    类型五、幻方问题 【解惑】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【融会贯通】 1．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或 B．或10 C．2或 D．2或 2．中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，将分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经把、这两个数填入了圆圈，则的值为 ．    3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是 ，的值是 ． 类型六、绝对值的化简 【解惑】数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于 ． 类型七、日历规律 【解惑】在日历上，某些数据满足一定的规律，如图是2024年1月份的日历，任选其中所含4个数字的方框部分，设方框右上角的数字为m，则下列说法正确的是（    ） A．方框左上角的数字为 B．方框左下角的数字为 C．方框右下角的数字为 D．方框中4个数字相加，和是 【融会贯通】 1．在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为，则下列叙述中正确的是（    ） A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 2．下图是某月份的日历，用一个方框圈出任意个数，设最中间一个数是，则用含的代数式表示这个数的和是 ．    3．如图是某月的日历，现有一个十字形框框出个数,请观察图形解答下列问题： (1)日历图中十字形框框出的个数之和是该十字形框正中间数的 倍； (2)如果用表示正中间的数，这个数的和等于 ，这个关系对其他这样的十字形框成立吗？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么? (4)如果将十字形框改为形框，你能发现哪些规律？ (5)你还能设计一个什么形状的包含数字规律的数框? 类型八、数轴折叠对称问题 【解惑】在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 【融会贯通】 1．小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示－3的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离2014（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A．－1006 B．－1007 C．－1008 D．－1009 2．如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数－1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题： （1）表示数－2的点与表示数 的点重合；表示数7的点与表示数 的点重合． （2）若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是 ；点B表示的数是 ． 3．综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 类型九、摆放木棍规律 【解惑】将木棒按如图所示的方式摆放，图形①中有5根木棒，图形②中有9根木棒，图形③中有13根木棒，…按此规律摆放下去．下列关于结论Ⅰ、Ⅱ判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：图形⑥有25根木棒； 结论Ⅱ：若图形中有589根木棒，则 A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 【融会贯通】 1．如图是用黑色棋子摆放而成的图案，其中第①个图中有3枚棋子，第②个图中有6枚棋子，第③个图中有11枚棋子，第④个图中有18枚棋子……按此规律，第⑦个图案黑色棋子的个数为（    ） A．36 B．49 C．51 D．65 2．如图，将一些大小相同，而颜色不同的黑白小球按如图所示的规律摆放，第n 个图形白球的个数为 ．（用含 n 的代数式表示） 3．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 类型十、有理数的分类 【解惑】把下列各数填入相应的集合内．，8，，，，，2，0，，，，，， 正数集合{　　　　　　　　　　　…}； 负数集合{　　　　　　　　　　　…}； 整数集合{　　　　　　　　　　　…}； 分数集合{　　　　　　　　　　　…}． 【融会贯通】 1．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置． 2．把下列各数按要求填入相应的集合中： ，0，2，，，，，． 正整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}． 3．判断下列各数，并把它们填写在相应的数集中． ，，，0，6.5，，6，，，，π (1)整数集合：｛           …｝ (2)分数集合：｛        …｝ (3)非负数集合：｛       …｝ (4)非正数集合：｛      …｝ (5)正有理数集：｛       …｝ 【一览众山小】 1．有三个实数为，且，在数轴上分别对应的点是点，若，那么可能是数轴原点的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点都不可能 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 4．点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 5．观察下列算式：……通过观察，用所发现的规律确定的个位数字是 ． 6．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行，各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中的值为 ． 7．把下列各数填入相应的大括号里：，，，，0，，，，10，． 正有理数集合{              …}； 非负整数集合{                 …}； 整数集合{                …}； 正分数集合{                …}． 8．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 9．现用棱长1cm的若干小立方体，按如图所示的规律在地上搭建若个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层，第二层…第层（为正整数），其中第一层摆放一个小立方体，第二层摆放4个小立方体，第三层摆放9个小立方体…，依次按此规律继续摆放． （1）求搭建第5个几何体需要的小立方体个数； （2）为了美观，若将每个几何体的所有露出部分（不包含底面）都喷涂油漆，已知喷涂1cm²需要油漆0.2g． ①求喷涂第5个几何体需要油漆多少g？ ②求喷涂第100个几何体需要油漆多少g？（用科学记数法表示） … 10．综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：    (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合； (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数的点与表示数______的点重合（用含的代数式表示）； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含的代数式表示）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01数学与我们同行、有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、数轴比较大小 【解惑】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，根据点在数轴上的位置，以及数轴上的数右边比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：； 故选C． 【融会贯通】 1．若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 根据图示，可得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图示，可得，， ，， ，， ， 选项A不符合题意； ，， ， ， 选项B符合题意； ，， ，， ， 选项C不符合题意； ， ， ， ， 选项D不符合题意． 故选：B． 2．如图，数轴上的点分别表示实数，则 0（填写“>”、“<”或“=”）．    【答案】> 【分析】由数轴上的数右边的数总是大于左边的数可以知道且，再根据有理数的运算法则即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用数轴比较数的大小的方法，以及有理数的运算法则． 3．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示． 下面有四个推断： ①如果，则一定会有； ②如果，则一定会有； ③如果，则一定会有； ④如果，则一定会有． 所有合理推断的序号是 . 【答案】①③/③① 【分析】利用数形结合思想，根据同号得正，异号得负，数轴上靠近右边的数大于左边的数等知识推理判断说明即可． 【详解】解：如图， 因为， 所以同号， 因为， 所以同号， 所以， 所以①正确； 因为， 所以同号， 因为， 所以可能同号，也可能异号， 所以②错误； 因为， 所以异号， 因为， 所以异号， 所以， 所以③正确； 因为， 所以异号， 因为， 所以可能同号，也可能异号， 所以④错误； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了数形结合思想，根据同号得正，异号得负，数轴上靠近右边的数大于左边的数，熟练掌握上述知识是解题的关键． 类型二、绝对值的非负性 【解惑】若，a一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据可以得到，即，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即a一定是非正数． 故选：B． 【融会贯通】 1．若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．若与互为相反数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握非负数和平方的非负性，以及只有符合不同的数互为相反数．先根据绝对值和平方的非负性，求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，与互为相反数， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 3．已知整数满足，则的值为 ． 【答案】0或 【分析】本题考查了绝对值的意义，整数的意义，分类计算即可． 【详解】∵，且整数， ∴或，或 ∴； 或； 或； 综上，的值为0或． 故答案为：0或． 类型三、数轴上两点之间的距离 【解惑】点、、、在数轴上的位置如图所示，点为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，先根据图形得到，表示出，再根据得出答案即可，数形结合是解题的关键． 【详解】解：∵点、、、在数轴上的位置如图所示，点为原点，，，点所表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴点所表示的数， 故选：B． 【融会贯通】 1．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C是解决本题的关键． 先用含a的式子表示出点C，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为， ， ， 解得或4， ， ， 故选：A． 2．如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点C表示的数是5，点B是的中点，则点B表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了数轴上两点的中点计算公式，根据数轴上两点中点计算公式求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C在数轴上，点A表示的数是，点C表示的数是5，点B是的中点， ∴点B表示的数是， 故答案为：． 3．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    【答案】或/或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离，可分为“当点运动到点右侧时”和“当点运动到点左侧时”两种情况讨论，根据“点到点的距离与点到点的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵在点运动过程中，点到点的距离与点到点的距离比是， ∴， 当点运动到点右侧时，， ∴此时点表示的数是； 当点运动到点左侧时，， ∴此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或， 故答案为：或． 类型四、循环周期问题 【解惑】在一列数：中，，，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2024个数是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查的是数字规律类问题，通过计算可以发现这列数的变化规律，再根据变化规律解答即可． 【详解】解：根据题意可得：，，，，，，，，， 则该结果是以6个数为一个周期． ， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2024应标在（    ） A．第505个正方形的左下角 B．第505个正方形的右下角 C．第506个正方形的左下角 D．第506个正方形的右下角 【答案】C 【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解． 【详解】解：根据图形上数字的变化规律， 每个图形上有4个数，所以2024÷4=506， 所以数2025应标在第506个正方形的左下角． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 2．通过计算可知：，，，，，，，，…，则的个位数字是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数字类的规律，正确理解题意找到规律是解题的关键． 先根据题意得到这一列数的个位数字是2、4、6、8进行循环出现的，然后根据2024除以4的商的情况求解即可． 【详解】解：，个位数字是2， ，个位数字是4， ，个位数字是8， ，个位数字是6， ，个位数字是2， ，个位数字是4， ，个位数字是8， ，个位数字是6， ∴可以得到这一列数的个位数字是2、4、8、6进行循环出现的， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，即6， 故答案为：6． 3．如图，周长为6个单位长度的圆的六等分点分别为，，，，，，点落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上的点是 ．    【答案】E 【分析】本题考查了数轴．找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系，解题的关键是由于圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合． 【详解】解：由图形可知，旋转一周，点B对应的数是1，点C对应的数是0，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为， 继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为． ∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点E重合． 故答案为：E． 类型五、幻方问题 【解惑】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的音乐，根据题意出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 如图：根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选D． 【融会贯通】 1．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或 B．或10 C．2或 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键．根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，从而求出d的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或， 当时，，此时， 当时，，此时． ∴的值为或10． 故选：B． 2．中国古代数学书《数术拾遗》是最早记载有关幻方的文字．如图是一个简单的幻方模型，将分别填入图中的圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等，若已经把、这两个数填入了圆圈，则的值为 ．    【答案】2 【分析】先设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可先求出b，再根据，求出d和e，最后求出a和c，即可求出的值． 【详解】解：设d左边的圆圈内数字为e，另一个圆圈内数字为f， 根据题意可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵已填、，而且， ∴e、d只能从中选， ∴或， 当时，符合题意； 当时，不符合题意，舍去； ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握． 3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是 ，的值是 ． 【答案】 －3 3 【分析】本题主要考查了有理数的运算，先设中间的四个的右上的数字为p，左下的数字为q，再根据题意列出关系式，整理可得答案． 【详解】设中间的四个的右上的数字为p，左下的数字为q， 根据题意，得，， 将上式变形得，． 故答案为：，3． 类型六、绝对值的化简 【解惑】数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算． 先确定的符合以及大小，然后再取绝对值即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴判断式子符号，绝对值的意义，正确去绝对值符号是解题关键．由数轴可知，，，进而得到，据此去绝对值符号即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ， ， 故选：A． 2．若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ， 故答案为：． 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查根据数轴上点的位置化简绝对值，根据数轴上点的位置得到式子的正负，再结合绝对值的性质化简即可得到答案； 【详解】解：由数轴可得， ，， ∴，， ∴原式， 故答案为：． 类型七、日历规律 【解惑】在日历上，某些数据满足一定的规律，如图是2024年1月份的日历，任选其中所含4个数字的方框部分，设方框右上角的数字为m，则下列说法正确的是（    ） A．方框左上角的数字为 B．方框左下角的数字为 C．方框右下角的数字为 D．方框中4个数字相加，和是 【答案】D 【分析】此题考查了列代数式和整式的加减运算，弄清日历结构是解答本题的关键．根据右上角的数字为a，可知左上角的数字比右上角的数字小1，左下角的数字比右上角的数字大6，右下角的数字比右上角的数字大7，由此可作判断． 【详解】解：A、左上角的数字为，故不正确； B、左下角的数字为，故不正确； C、右下角的数字为，故不正确； D、方框中4个位置的数相加，正确． 故选：D． 【融会贯通】 1．在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为，则下列叙述中正确的是（    ） A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【分析】此题考查了列代数式和整式的加减运算，数字的变化规律，由特殊到一般，得出一般性结论解决问题．根据右上角的数字为a，可知右上角的数字比左上角的数字大1，左下角的数字比右上角的数字大6，右下角的数字比右上角的数字大7，由此可作判断． 【详解】解：A、因为右上角的数字为，所以右上角的数字为，故本选项不符合题意； B、因为右上角的数字为，所以左下角的数字为，故本选项不符合题意； C、因为右上角的数字为，所以右下角的数字为，故本选项不符合题意； D、方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故本选项符合题意． 故选：D． 2．下图是某月份的日历，用一个方框圈出任意个数，设最中间一个数是，则用含的代数式表示这个数的和是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，注意月历中日期和日期的关系，设出一个日期后将其他日期表示出来然后求解． 【详解】解：设最中间一个是x，另外8个可表示为：，，，，，，，， ∴这9个数的和可表示为：． 故答案为：． 3．如图是某月的日历，现有一个十字形框框出个数,请观察图形解答下列问题： (1)日历图中十字形框框出的个数之和是该十字形框正中间数的 倍； (2)如果用表示正中间的数，这个数的和等于 ，这个关系对其他这样的十字形框成立吗？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗?为什么? (4)如果将十字形框改为形框，你能发现哪些规律？ (5)你还能设计一个什么形状的包含数字规律的数框? 【答案】(1) (2)，成立； (3)成立，见解析 (4)形框框出的个数之和是该形框正中间数的倍 (5)还能设计一个正方形或形或形数框（答案不唯一） 【分析】本题考查探究与表达规律，整式的加减，解答关键是通过观察得到数字变化规律． （1）求得框出的5个数之和即可得出结论； （2）用a表示出其它4个数，再利用整式加法法则求和，进而可得结论； （3）根据（2）中求解可得结论； （4）设中间数为b，再利用b表示出其它6个数，然后利用整式加法法则求和，进而可得结论； （5）根据日历数字分布特点可和得出其它数框． 【详解】（1）解：∵， ∴日历图中十字形框框出的个数之和是该十字形框正中间数的5倍， 故答案为：5； （2）解：如果用表示正中间的数，则左右两个数为，，上下两个数为，， 则这个数的和为，这个关系对其他这样的十字形框成立， 故答案为：； （3）解：由（2）知，这个关系对任何一个月的日历都成立，因为任何一个日历都具有这种排列规律：一星期有7天，这个方框中下一行位置所对的数正好比其对应的上一行的数多7，且同一行相邻两个数正好相差1； （4）解：如果将十字形框改为形框，则中间数为b，则左右两个数为，，左边数的上下两数为，，右边数的上下两数为，， ∴这7个数的和为， 即形框框出的个数之和是该形框正中间数的倍； （5）解：根据日历数字排列规律，还能设计一个正方形或形或形数框等． 类型八、数轴折叠对称问题 【解惑】在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】 本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，图1中的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点C表示的数． 【详解】解：图1：， 图2：，    ， 点C表示的数是：， 故选：C． 【融会贯通】 1．小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示－3的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离2014（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A．－1006 B．－1007 C．－1008 D．－1009 【答案】C 【详解】依题意得：两数是关于1和-3的中点对称， 即关于（1-3）÷2=-1对称； ∵A、B两点之间的距离为2014且折叠后重合，则A、B关于-1对称，又A在B的左侧， ∴A点坐标为：[（-2）-2014]÷2=-1008, 故选C． 2．如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数－1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题： （1）表示数－2的点与表示数 的点重合；表示数7的点与表示数 的点重合． （2）若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是 ；点B表示的数是 ． 【答案】 6 －3 －4 8 【分析】（1）先判断出表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称，即可得出答案； （2）先判断出点A和点B到表示数2的点的距离为6，即可得出结论． 【详解】解：（1）由折叠知，表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称， ∴表示数－2的点与表示数6的点关于数2的点对称， 表示数7的点与表示数－3的点关于数2的点对称， 故答案为：6，－3； （2）∵折叠后点A与点B重合， ∴点A与点B关于表示数2的点对称， ∵A，B两点之间距离为12， ∴点A和点B到表示数2的点的距离都为6， ∴点A表示的数为2－6=－4，点B表示的数为2＋6=8， 故答案为：－4，8． 【点睛】本题考查了折叠的性质和数轴上两点间的距离，找出对称点是解题的关键． 3．综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动 一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换 ①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ． ③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键． （1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题． （2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题． 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3； …， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时， ， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时， 可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知， ， 则折点所表示的数为1． 因为， 所以表示5的点与表示的点重合． 故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同， 所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013． 故答案为：，1013． ③由折叠可知， ， 因为点M、N表示的数分别是、8， 所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3， 所以． 因为，， 所以点P表示的数为． 故答案为：． 类型九、摆放木棍规律 【解惑】将木棒按如图所示的方式摆放，图形①中有5根木棒，图形②中有9根木棒，图形③中有13根木棒，…按此规律摆放下去．下列关于结论Ⅰ、Ⅱ判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：图形⑥有25根木棒； 结论Ⅱ：若图形中有589根木棒，则 A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 【答案】C 【分析】本题考查图形变化的规律．依次求出图形中木棒的根数，根据发现的规律对两个结论进行判断即可． 【详解】解：由所给图形可知，图形①中木棒的根数为：； 图形②中木棒的根数为：； 图形③中木棒的根数为：； …， 所以图形n中木棒的根数为根， 当时， （根）， 即图形⑥中木棒的根数为25根． 故结论Ⅰ正确． 令， 解得． 故结论Ⅱ错误． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图是用黑色棋子摆放而成的图案，其中第①个图中有3枚棋子，第②个图中有6枚棋子，第③个图中有11枚棋子，第④个图中有18枚棋子……按此规律，第⑦个图案黑色棋子的个数为（    ） A．36 B．49 C．51 D．65 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探索，第②个图形比第①个图形多3个，第③个图形比第②个图形多5个，依次得出规律，计算即可． 【详解】根据图形可得：第一个图形为：个；第二个图形为：（个）；第三个图形为：（个）；第四个图形为：（个）； 则第7个图形为：（个）， 故选：C． 2．如图，将一些大小相同，而颜色不同的黑白小球按如图所示的规律摆放，第n 个图形白球的个数为 ．（用含 n 的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形规律的探索，用代数式表示图形规律；找到白球数量的规律是解题的关键；第1个图形白球个数为，第2个图形白球个数为，第3个图形白球个数为，第4个图形白球个数为，……，由此得第n 个图形白球的个数为，最后计算即可． 【详解】解：第1个图形白球个数为， 第2个图形白球个数为， 第3个图形白球个数为， 第4个图形白球个数为， ……， 第n 个图形白球的个数为， 而， 故答案为：． 3．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解． 【详解】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 类型十、有理数的分类 【解惑】把下列各数填入相应的集合内．，8，，，，，2，0，，，，，， 正数集合{　　　　　　　　　　　…}； 负数集合{　　　　　　　　　　　…}； 整数集合{　　　　　　　　　　　…}； 分数集合{　　　　　　　　　　　…}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类：有理数分为整数和分数；有理数分为正有理数、0、负有理数；整数分为正整数、0、负整数．根据有理数的分类在所给的数中分别找出正数、负数、整数、分数． 【详解】正数集合{8，，，2，，，，　…}； 负数集合{，，，， …}； 整数集合{，8，2，0，， …}； 分数集合{，，，，，， …}． 【融会贯通】 1．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类．正数集合与整数集合的交集是正整数集合．注意数字0，它不属于正数和负数，是整数．根据正数及整数的概念进行区分判断，两个集合里都含有的数就是符合条件的数． 【详解】解：，9，0，，，，1300中， 属于正数的有：9，3.14，，1300； 属于整数的有：，9，0，1300． 所以既是正数也是整数的是9，1300． 填入数字如下图所示： 2．把下列各数按要求填入相应的集合中： ，0，2，，，，，． 正整数集合：{ …}； 负分数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}． 【答案】；，，；； 【分析】 本题考查了有理数的分类，按照要求填入对应的有理数即可，注意非负数为正数和0，是解题的关键． 【详解】 解：正整数集合：{}； 负分数集合：{，，}； 整数集合：{}； 非负数集合：{}， 故答案为：；，，；；． 3．判断下列各数，并把它们填写在相应的数集中． ，，，0，6.5，，6，，，，π (1)整数集合：｛           …｝ (2)分数集合：｛        …｝ (3)非负数集合：｛       …｝ (4)非正数集合：｛      …｝ (5)正有理数集：｛       …｝ 【答案】(1)，0，6， (2)，，6.5，，，， (3)，0，6.5，6，，，π (4)，，0，， (5)，6.5，6，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．根据整数、分数、非负数、正有理数以及负数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：整数集合：｛，0，6，…｝ 故答案为：，0，6； （2）解：分数集合：｛，，6.5，，，，，…｝ 故答案为：，，6.5，，，，； （3）解：非负数集合：｛，0，6.5，6，，，π…｝ 故答案为：，0，6.5，6，，，π； （4）解：非正数集合：｛，，0，，，…｝ 故答案为：，，0，，； （5）解：正有理数集：｛，6.5，6，，，…｝ 故答案为：，6.5，6，，； 【一览众山小】 1．有三个实数为，且，在数轴上分别对应的点是点，若，那么可能是数轴原点的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点都不可能 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴以及绝对值．利用数轴上的点与实数一一对应，分别把A点，B点，C点看作是数轴的原点，得到的结论与题目是否符合，即可． 【详解】如果点A是原点，那么，此时，不符合题意； 如果点B是原点， ，不符合题意； 如果点C是原点，那么，， ∴A、B、C三点都不可能是原点． 故选：D． 2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是观察各点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小． 根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案． 【详解】解：由图可得：，且， ∴A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴； 则． 故选A． 4．点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 【答案】4 【分析】根据平移规律计算，，解答即可，本题考查了数轴上的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】根据平移规律，得，， 故点B表示的数是4， 故答案为：4． 5．观察下列算式：……通过观察，用所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查数字的规律探索，根据已知幂的结果找出个位数的周期性规律，进而分析判断即可．根据已知确定数字的周期规律是解题的关键． 【详解】观察可得规律：的个位数字每4次一循环， ∵余2，， ∴的个位数字是4． 故答案为：4． 6．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行，各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中的值为 ． 【答案】 【分析】先计算出第一列的和，得各行各列以及对角线上的三个数字之和均为，则，即可得． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是理解题意和掌握有理数的加减运算的运算法则． 7．把下列各数填入相应的大括号里：，，，，0，，，，10，． 正有理数集合{              …}； 非负整数集合{                 …}； 整数集合{                …}； 正分数集合{                …}． 【答案】3.5，，，10，；0，10；，0，10；3.5，，， 【分析】 本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据正有理数，非负整数，整数，正分数的定义可得出答案． 【详解】解：正有理数集合{，，，10，，…}； 非负整数集合{ 0，10，…}； 整数集合{，0，10，…}； 正分数集合{，，，，…}． 故答案为：，，0.03，10，；0，10；，0，10；，，0.03，． 8．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 9．现用棱长1cm的若干小立方体，按如图所示的规律在地上搭建若个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层，第二层…第层（为正整数），其中第一层摆放一个小立方体，第二层摆放4个小立方体，第三层摆放9个小立方体…，依次按此规律继续摆放． （1）求搭建第5个几何体需要的小立方体个数； （2）为了美观，若将每个几何体的所有露出部分（不包含底面）都喷涂油漆，已知喷涂1cm²需要油漆0.2g． ①求喷涂第5个几何体需要油漆多少g？ ②求喷涂第100个几何体需要油漆多少g？（用科学记数法表示） … 【答案】（1）55；（2）①17g；② 【分析】（1）根据题意可直接列式求解； （2）①根据题意先求出喷漆第5个几何露出部分（不含底面）的面积，进而求解即可； ②根据题意第100个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积，进而求解即可． 【详解】解：（1）搭建第5个几何体的小立方体的个数； （2）①喷漆第5个几何露出部分（不含底面）的面积为：（cm²），（g）； ②由题意可得： 喷漆第1个几何露出部分（不含底面）的面积为：， 喷漆第2个几何露出部分（不含底面）的面积为：， 喷漆第3个几何露出部分（不含底面）的面积为：， 喷漆第4个几何露出部分（不含底面）的面积为：， …… 喷漆第n个几何露出部分（不含底面）的面积为：， ∴第100个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积， 所以所需要的油漆量． 【点睛】本题主要考查有理数的运算及科学记数法，熟练掌握有理数的运算及科学记数法是解题的关键． 10．综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：    (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合； (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数的点与表示数______的点重合（用含的代数式表示）； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)6， (3)图③剪切处对应的点所表示的数为或． 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题． （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，中心点表示的数为0，即0与之间的距离等于0与1之间的距离，于是可得表示的点与表示的点重合； （2）折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2，可得出所求即可； （3）根据题意画出草图，通过计算可得出剪切处对应的点所表示的数的值． 【详解】（1）解：由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）解：折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2， 与2之间的距离为：，则表示与的点重合的点为：； m与2之间的距离为：，则表示与m的点重合的点为：； 故答案为：6，； （3）解：如图，由题意得，，    ∴， ∴剪切处D对应的点所表示的数； 剪切处C对应的点所表示的数； 综上：图③剪切处对应的点所表示的数为或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$