精品解析：广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题

2024 年深圳市普通高中高一年级调研考试 数学 2024. 7 本试卷共 4 页， 19 小题， 淌分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前， 考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案值息点涂黑: 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案， 答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上: 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若 ，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知 中， ，若 ，且 三点共线， 则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 20 8. 已知函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 若复数满足，下列说法正确的是（） A. 的虚部为 B. C. D. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 “第一次的点数不大于3 ”， “第二次的点数不小于4 ”， “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件发生概率 B. 事件与事件相互独立 C. 事件 发生的概率 D. 事件与事件对立 11. 已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 不存在点，使与 所成角等于 C. 二面角正切值的取值范围为 D. 当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知，则______． 13. 若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为______________. 14. 已知圆为的外接圆，，则的最大值为______________. 四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，. （1）求; （2）若的面积为，求和. 16. 已知函数，函数的最小正周期为，且 （1）求函数的解析式: （2）求使成立的取值范围. 17. 如图， 是 的直径， ，点 是 上的动点， 平面 ，过点 作 ，过点 作 ，连接 . （1）求证： ； （2）求证：平面 平面 ； （3）当 为弧 的中点时，直线 与平面 所成角为 ，求四棱锥 的体积. 18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 19. 已知函数为上的奇函数.当时，(为常数)，. （1）当时，求函数的值域: （2）若函数图像关于点中心对称. ①设函数，求证:函数为周期函数; ②若对任意恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024 年深圳市普通高中高一年级调研考试 数学 2024. 7 本试卷共 4 页， 19 小题， 淌分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前， 考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案值息点涂黑: 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案， 答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上: 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】根据并集的含义知， 故选：D. 2. 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可． 【详解】函数的定义域为， 函数在上单调递增， 又，， 根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为． 故选：B . 3. 已知幂函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数单调性和充要条件的判定即可得到答案. 【详解】当“ ”时，根据幂函数性质知在上单调递增，则充分性成立； 反之，若“在上单调递增”则“”，必要性也成立， 故“”是“在上单调递增”的充分必要条件， 故选：C. 4. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】, 因为，则，即，于是 . 故选：B. 5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若 ，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】在正方体中，通过取平面和直线，即可判断出选项A，B，C的正误；对于选项D，根据条件，利用线面平行的性质及面面垂直的判定定理，即可判断出选项D的正误. 【详解】对于选项A，如图，在正方体中，取面为平面，直线为直线， 直线为直线，显然有，但不平行，所以选项A错误， 对于选项B，如图，在正方体中，取面为平面，直线为直线， 面为平面，有，但，所以选项B错误， 对于选项C，取面为平面，直线为直线，直线为直线， 因为，显然有，但，所以选项C错误， 对于选项D，因为，在内任取一点，过直线与点确定平面， 则，由线面平行的性质知，又，所以，又， 所以，所以选项D正确， 故选：D. 6. 已知 中， ，若 ，且 三点共线， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用平面向量基本定理，再根据三点共线的性质列式求参即可. 【详解】 因为所以， , 因为三点共线，所以, , 所以 . 故选：C. 7. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】方程两边同时除以得，利用“1的代换”即可求解. 【详解】为正实数，方程两边同时除以得， ， 当且仅当即时等号成立， 故 的最小值为. 故选：B. 8. 已知函数，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】得出函数奇偶性后，利用正弦函数的单调性可得的单调性，即可得解. 【详解】由，，故为奇函数， 则，， 函数在上单调递减，故在上单调递增， 则，即. 故选：A. 二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 若复数满足，下列说法正确的是（） A. 的虚部为 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算、复数虚部、共轭复数的概念以及复数模的计算公式一一分析即可. 【详解】，则其虚部为，故A错误； ，，故BC正确； ，而，则两者不等，故D错误. 故选：BC. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 “第一次的点数不大于3 ”， “第二次的点数不小于4 ”， “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件发生的概率 B. 事件与事件相互独立 C. 事件 发生的概率 D. 事件与事件对立 【答案】ABC 【解析】 【分析】列举所有的基本事件，由古典概型公式即可求解选项A，C，由相互独立事件的定义即可求解选项B，由对立事件的定义分析选项D. 【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，则有 ， ， ， ， ， ，共不同结果，即， 对于A，事件包含的样本点有种，故，故A正确； 对于B，事件包含的样本点有种，故， 事件包含的样本点有种，故， 因为，所以事件相互独立，故B正确； 对于C，事件包含的样本点有种，故，故C正确； 对于D，事件与事件有重复的样本点， 故事件与事件不对立，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 不存在点，使与 所成角等于 C. 二面角正切值的取值范围为 D. 当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接找出最近距离为为中点，计算即可；对于B，找出最大，最小的临界状态值即可解决；对于C，找出二面角的平面角，再用锐角三角函数即可；对于D，设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可． 【详解】对于A， 最小值时，中点.作个草图，取中点，连接． 此时，故A正确． 设与所成的角为θ，当与重合时，， 当在中点时，．则存在点 ，使. 即存在点，使与 所成角等于 .故B错误． 如图，过中点作于，则为二面角的平面角， 因此，故C正确． 设三棱锥的外接球的球心为，显然平面，为等腰直角三角形，外心为M， 则O可以由M沿着方向移动即可,O一定在上． 为中点时，半径，于是． 在中有，解得， 于是球表面积为.故D正确． 故选：ACD. 【点睛】知识点点睛：本题考查了正方体性质，点线面位置关系辨别，空间两点间的距离最值，异面直线夹角，二面角的问题，三棱锥的外接球问题．同时考查空间想象、逻辑推理、数形结合、转化计算能力.综合性较强，属于难题. 三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式可得. 故答案为： 13. 若 ，不等式 恒成立，则的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数得，令，求出函数在上的最大值即可求解. 【详解】，不等式 恒成立， 则，即，恒成立， 令，由图知在上单调递减，在上单调递增， 又，故，则. 故答案为： . 14. 已知圆为的外接圆，，则的最大值为______________. 【答案】3 【解析】 【分析】先利用正弦定理求出外接圆半径，取的中点，连接，则，变形得到，当三点共线时，取得最大值，求出答案. 【详解】设圆的半径为，则，解得， 因为，所以， 取的中点，连接，则， 故， ， 当三点共线时，取得最大值，最大值为， 故的最大值为. 故答案为：3 四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，. （1）求; （2）若的面积为，求和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到，则； （2）根据三角形面积公式即可得值，再利用余弦定理即可得到值. 【小问1详解】 由正弦定理：，那么，由于， 则，则，且，故. 【小问2详解】 由于，则， 根据余弦定理：， 那么. 16. 已知函数，函数的最小正周期为，且 （1）求函数的解析式: （2）求使成立的的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性与零点计算即可得； （2）借助正弦函数图象性质计算即可得. 【小问1详解】 由，，则， 又，即，即， 又，则，即； 【小问2详解】 若，即， 即有， 即， 故的取值范围为. 17. 如图， 是 的直径， ，点 是 上的动点， 平面 ，过点 作 ，过点 作 ，连接 . （1）求证： ； （2）求证：平面 平面 ； （3）当 为弧 的中点时，直线 与平面 所成角为 ，求四棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可； （2）由线线垂直到线面垂直，再证明面面垂直； （3）图中有线面垂直，可以利用两个三棱锥的差，来计算所求的四棱锥的体积即可. 【小问1详解】 由于为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以; 【小问2详解】 由（1）得，，，且平面， 所以平面，又由于平面，那么， 又因为，，平面， 所以平面，又由于平面，那么平面平面； 【小问3详解】 由（2）可知：平面，而直线与平面所成角为， 那么，且， 所以且， 那么 在中，，得， 所以 那么， ，则. 18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【答案】（1），85 （2） （3）得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【小问1详解】 由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、. 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为. 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，且，则. 根据方差定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 19. 已知函数为上的奇函数.当时，(为常数)，. （1）当时，求函数的值域: （2）若函数的图像关于点中心对称. ①设函数，求证:函数为周期函数; ②若对任意恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）代入，，得到，再二次性质求出当时，，最后根据复合函数单调性得； （2）①运算得，则可证明；②求出，然后转化为求最大，最小即可. 【小问1详解】 由于函数为上奇函数，那么，且， 则，则，则； 那么，由，则， 而函数为奇函数，那么时，， 综上所述:当时，， 由复合函数单调性可知:则. 【小问2详解】 ①由于，且， 由于，则， 那么， 则为上周期为2的函数. ②由（1）可知，当时，，时，， 那么时，； 时，； 那么； 若要最大，仅需最大，最小， 从而考虑如下临界：由于，令， 则，此时； ； 当时，， ， 那么， 令（舍去）； 同理，时，， ， 那么， 令（舍去）； 从而， 那么的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问的关键是求出，再求出的临界值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $