精品解析：广东省茂名市2023-2024学年高二下学期教学质量监测数学试卷

2024年茂名市普通高中高二年级教学质量监测 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，根据集合的交集运算进行求解. 【详解】由题可得，则， 故选：B 2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】 ,对应点为 , 位于第二象限,选B. 3. 函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性得函数为奇函数，故排除C,D，在根据时，排除B,进而得答案. 【详解】因为， 所以是奇函数，排除C，D. 当时，，，排除B. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4. 已知直线与抛物线：交于两点，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案. 【详解】将与抛物线联立得， 设， 显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点， 则. 故选：B. 5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与其前项和的性质求解即可. 【详解】设该等差数列中有项，其中偶数项有项，奇数项有项， 设等差数列的前项和为，则， 等差数列，，，解得， ，此数列项数是项. 故选：. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到，解出即可. 【详解】由可得且，则为偶函数， ， 因为在上单调递减，在上单调递增，则恒成立， 则在单调递减，在单调递增， ，解得或. 故选：D. 7. 函数，（，）满足，且在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入解出，再利用整体法得到，解出即可. 【详解】， ，因为，，则 因为在区间上有且仅有3个零点，且在零点0之前的三个零点依次为， 则，解得. 故选：C. 8. 如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法不正确的是（ ） A. 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点到平面的距离是定值判断B；由空间向量数量积的运算律计算判断C；求出外接球半径计算判断D. 【详解】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，正方体中，当时，面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，B正确； 对于C，当时，， 而，则 ，因此不垂直于，不存在，使得平面，C错误； 对于D，显然平面，则三棱锥与以线段为棱的长方体有相同的外接球， 令球半径为，则， 球的表面积，解得，D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，进而确定球半径求解. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，不共线且，则下列结论一定正确的是（ ） A. 或 B. C. D. ，在上的投影向量相等 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量垂直的向量表示即可判断AB；根据向量加减法的几何意义或者根据向量数量积的运算律即可判断C；举出反例即可判断D. 【详解】对AB，，A选项错误；B选项正确； 对C，由向量加法和减法的几何意义，是矩形的两条对角线长度是相等的，选项C正确； 或者由，则， 则，则，则，故C正确； 对D，根据矩形性质知，在上在上的投影向量的模不一定相等， 如图所示：，且， ，在上的投影向量分别为，故D选项错误. 故选：BC. 10. 掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，，记事件“”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 与互斥 【答案】AC 【解析】 【分析】列出所有满足题意的情况，根据古典概型公式即可判断A；求出事件，，的情况，再利用条件概率公式即可判断BC；再根据互斥事件的判定方法即可判断D. 【详解】掷一枚质地均匀的骰子两次的可能结果共有36种. 对A，事件“”的可能结果有6种， 即，选项A正确； 对B，事件“为偶数”的可能结果有种， 事件“为偶数且”的可能结果有5种， ，选项B错误； 对C，事件“为奇数”的可能结果有18种， 事件“为奇数且”的可能结果有2种.，选项C正确； 对D，样本点为时，说明与不互斥，选项D不正确. 故选：AC. 11 已知函数，其中实数，，且，则（ ） A. 当时，没有极值点 B. 当有且仅有3个零点时， C. 当时，为奇函数 D. 当时，过点作曲线的切线有且只有1条 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，直接代入求导即可得到其极值点；对B，求导得到的单调性，再根据其零点个数得到不等式组，解出即可；对C，代入，化简即可；对D，设切点，求出切线方程，代入，再转化得，转化为直线与的交点个数问题. 【详解】对A，当时，， 则，当时，， 当或时，， 所以分别是函数的极大值点和极小值点，选项A错误； 对B，当时，， 当，，当或时，， 即在上单调递减，在和上单调递增. 当有且仅有3个零点时，且得， 得，故B正确； 对C，当时，， ， 设，定义域为，且， 所以为奇函数，选项C正确； 对D，，不在曲线上. 设过点的曲线切线的切点为，， 过点的曲线切线的方程为， 又点在的切线上，有， 即，设，， 当或时，单调递减， 当时，单调递增， 则，， ，根据图象知与只有一个交点，选项D正确. 故选；BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是设出切点坐标，写出切线方程，将代入切线方程得，最后转化为直线与函数的交点个数问题. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆锥的底面直径为，母线长为2，则此圆锥的体积是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即可求出答案. 【详解】记圆锥的底面半径为，母线为，高为， 则，， 故答案为：. 13. 已知数列是首项为，公比为的等比数列，且，则的最大值为______. 【答案】99 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和，然后借助数列单调性求解即得. 【详解】依题意，，则， 数列的前n项和，显然数列是递增数列， 而， 所以使得成立的的最大值为99. 故答案为：99 14. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，利用勾股定理得到 ，则得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可. 【详解】依题意，设，则， 因为点在以为直径的圆上，则， 在Rt中，，则， 故或(舍去)，所以， 则，故， 所以在中，， 整理得，则，则，则， 故的渐近线方程为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到，最后再利用余弦定理得到齐次方程， 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，正三棱柱中，为边的中点. （1）证明：平面； （2）若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，利用线面平行的判定即可证明； （2）利用等体积法求出，再建立合适的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用面面角的夹角公式即可. 【小问1详解】 连接，与交于点，连接， 分别为边的中点，； 又平面平面，平面. 【小问2详解】 ， 正三棱柱中，平面，， 又是正三角形，是边的中点，， 又，且平面，平面， 取的中点，则两两垂直， 故以为原点，分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系； 则， ， 记平面，平面的法向量分别为， 则，，即，， 故可取，则， ， 又二面角所成的平面角是锐角，故其余弦值为. 16. 已知函数，. （1）若在点处的切线的斜率为1，求的极值； （2）若，证明：当时，. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由求出，再由导数求出极值即可； （2）令，得，再构造函数，利用导数求出可得的单调性，结合在上范围情况可得答案. 【小问1详解】 ， 若在点处的切线的斜率为1，则，解得， 所以，， 令，解得， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以在有极小值，，无极大值； 【小问2详解】 若，则， 令， 所以， 令，则， 当时，，所以单调递减，所以， 即，所以在上单调递增， 所以， 可得，即. 17. 锐角中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再利用两角和正弦公式展开化简即可得到，则得到角的大小； （2）记，则，再利用余弦定理得或，再分类讨论即可. 【小问1详解】 由正弦定理得： ， ， ，又， ，又. 【小问2详解】 记，则； 由余弦定理，即， ，或， 时，角对的边最大，且， 则是钝角，舍去； 时，角对的边最大，且，符合. 又； ，又， ， . 18. 已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为. （1）求的方程； （2）设，直线（且）与交于不同的两点，，若直线与交于另一点，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）； （2）过定点，定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）首先得到，再根据离心率和关系即可得到方程组，解出即可； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算直线的方程，令化解即可. 【小问1详解】 由题意可得，， 又由，得， 所以的方程为. 【小问2详解】 显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 由消去整理得， ， 所以， 直线的方程为， 根据的对称性可知，若直线恒过定点，则定点在轴上， 令，解得 所以直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再写出直线的表达式，令计算为定值即可. 19. 某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为，答错的概率都为，且每次答对与否相互独立.记第次答题得分为. （1）求； （2）求（）的分布列和期望； （3）在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.②从第1次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大. 【答案】（1） （2）分别列见解析， （3）方案② 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）首先分析出得可能取值，再按步骤列出分布列，最后利用期望公式和等比数列求和公式即可； （3）选择方案①，计算出的值，选择方案②，计算出，两者比较大小即可. 【小问1详解】 由题意可知表示事件“第1次答错，第2，3次均答对”， 【小问2详解】 可取且表示事件“第次答错”， 所以， 当时，， 表示事件“第次答错，第次均答对”， 所以，， 表示事件“第次都答对” ， 所以 所以的分布列为： 1 2 4 【小问3详解】 若选择方案①，只可能为2，4，即:， 表示事件“第1次答错，第2次答对”， 表示事件“第2次答错，第3、4次均答对"， 因、互斥，所以 若选择方案②，只可能为1，2，4，即:， 表示事件“第1次答对”； 表示事件“第1、2次均答对”， 而第1次答对的话，游戏已结束，故不需要考虑这种情况； 表示事件“第1次答错，第2，3，4次均答对”； 因为与互斥，所以 ， 所以应该选择方案②. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是得到，再利用等比数列的性质得到，最后列出分布列，再求出期望即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年茂名市普通高中高二年级教学质量监测 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 4. 已知直线与抛物线：交于两点，则（ ） A. B. 5 C. D. 5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 7. 函数，（，）满足，且在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法不正确的是（ ） A 时，平面 B. 时，四面体的体积为定值 C. 时，，使得平面 D. 若三棱锥外接球表面积为，则 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，不共线且，则下列结论一定正确的是（ ） A. 或 B. C. D. ，在上的投影向量相等 10. 掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，，记事件“”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 与互斥 11. 已知函数，其中实数，，且，则（ ） A. 当时，没有极值点 B. 当有且仅有3个零点时， C. 当时，为奇函数 D. 当时，过点作曲线的切线有且只有1条 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆锥底面直径为，母线长为2，则此圆锥的体积是______. 13. 已知数列是首项为，公比为的等比数列，且，则的最大值为______. 14. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，正三棱柱中，为边的中点. （1）证明：平面； （2）若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 16. 已知函数，. （1）若在点处切线的斜率为1，求的极值； （2）若，证明：当时，. 17. 锐角中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，求的值. 18. 已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为. （1）求的方程； （2）设，直线（且）与交于不同的两点，，若直线与交于另一点，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 19. 某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为，答错的概率都为，且每次答对与否相互独立.记第次答题得分为. （1）求； （2）求（）的分布列和期望； （3）在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.②从第1次开始，若第次得分刚好为时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$