精品解析：广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量监测数学试题

2024年春季期高二期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程求出集合，再求. 【详解】依题意，， 而，所以. 故选：C. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则一定有 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】若，，，，可判断A；由已知可得，判断B；作差法比较大小判断C；由不等式性可得，判断D. 【详解】对于A，若，，，，则，故A错误. 对于B，若，则，故B错误. 对于C，， 若，，则，即，所以C错误. 对于D，由，可知，即，所以，故D正确. 故选：D. 3. 已知命题，，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，根据函数的单调性求出其最大值可得，结合充分、必要条件的定义和选项即可求解. 【详解】因为，，所以在上恒成立， 只需在上的最大值小于， 因为在上单调递减，故在上的最大值为1， 所以. A：既不是充分条件，也不是必要条件，故A错误； B：因为所以是的一个必要不充分条件，故B正确； C：是的充要条件，故C错误； D：因为，所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：B. 4. 已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归方程估计，再根据残差定义列方程可得答案. 【详解】由线性回归方程，取，得， 又相应于点的残差为，， 解得. 故选：B. 5. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法总数有（ ） A. 432种 B. 240种 C. 192种 D. 96种 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列组合知识进行求解即可 【详解】根据题意，在“射”与“数”之间间隔一艺，先将“射”与“数”进行全排列， 从剩余的4艺中选择1个放在“射”与“数”中间，再将这三艺看做一个整体和剩余的3个元素进行全排列，这样的排课方法数为： 有种排课方法. 故选：C. 6. 袋中有6个球，其中红黄蓝紫白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，事件：甲、乙只有一人摸到红球， 则，， 因此，. 故选：A. 7. 已知上的可导函数的函数图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像的单调性，得到导函数的正负，再解不等式即可求解. 【详解】由函数的图象可得，当，时，， 当时，. 由①或② 解①得，，解②得，， 综上，不等式的解集为， 故选：A. 8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数a，b，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的特征可得，即可求解除以8所得的余数为7，即可求解. 【详解】已知 则 ，即除以8所得的余数为7， 显然2023除以8所得的余数为7，即b的值可以是2023. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：令，则，，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：由题意得，故， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：CD. 10. 已知随机变是服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在上是增函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态分布可求得，判断A；当时，，，判断B；易得在上是增函数，可判断C；计算可得，可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，， 当时，，则， 又，所以不成立，故B错误； 对于C：，当增大时，也增大，所以在上是增函数，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：ACD. 11. 若函数既有极小值又有极大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求导，根据题意可得，在上有两个不同的实数根，进而可以求解. 【详解】函数的定义域为，且， 既有极小值又有极大值， 在上有两个不同的实数根， ，， ，，，显然不一定成立. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中，________研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 【答案】甲 【解析】 【分析】根据相关系数的性质即可求解. 【详解】因为，所以这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 故答案为：甲. 13. 已知函数，则的定义域是________；单调增区间为________. 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法可得的定义域，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】由，解得，则定义域是， 令，其对称轴方程为，图象是开口向下的抛物线， 则在上为增函数， 又为定义域内的增函数，则的单调增区间为. 故答案为：；. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数，记为的导函数，若，则在点处的切线一般式方程为________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，得，从而求得函数的的周期为12，所以，得到切点坐标，再根据，求出切线斜率，进而可得切线方程. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以①，且为奇函数，， 所以②，由①②可得， 即的周期为12，且，所以， 又，，得， 所以在点处的切线方程为：，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中共有10项. （1）求展开式中各项系数之和； （2）求展开式中的常数项，并确定有理项有多少项. 【答案】（1） （2）；有5项. 【解析】 【分析】（1）由题意求出，令得所有项的系数之和； （2）求出展开式的通项，令解得可得常数项；令可得展开式中有理项. 【小问1详解】 由题意知，在的展开式中， 令.得：， 因此的展开式中，所有项的系数之和是； 【小问2详解】 展开式的通项： ， 令，解得， 因此展开式中的常数项， 要使为有理项，则， 因为时，， 所以展开式中有理项有5项. 16. 2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日（FitnessDay）是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑、短跑两类项目，该班级所有同学均参加活动，且男女同学人数比为，每位同学选择一项活动参加.统计数据如下表： 长跑 短跑 男同学 a 10 女同学 10 10 （1）求的值并依据小概率值的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与其性别相关； （2）赛后校记者团对参加长跑比赛的同学按性别采用分层随机抽样的方法抽取8名同学，再从这8名同学中抽取2名同学接受采访，记随机变量X表示抽到的2人中女生的人数，求X的布列与数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），认为选择跑步项目类别与学生性别无关. （2）分布列： 0 1 2 数学期望为 【解析】 【分析】（1）先求出a，根据卡方的计算公式计算，结合独立性检验的思想即可下结论； （2）的所有可能取值为0，1，2，根据超几何分布求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 依题意男女同学人数的比例为，所以，故， 零假设：选择跑步项目类别与学生性别无关， . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出不成立， 因此可以认为成立，即认为选择跑步项目类别与学生性别无关. 【小问2详解】 抽取8名同学中有6名男生，2名女生， 则的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 则的分布列为： 0 1 2 17. 已知函数 （1）求，，的值; （2），求a的值； （3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）. 【答案】（1）3；1； （2）或4. （3）答案见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据题意给的函数解析式直接求解即可； （2）分类讨论当、、时，根据求出对应的a值即可； （3）由函数解析式画出函数图象，结合图形即可得出函数的值域. 【小问1详解】 函数， ，，， . 【小问2详解】 ①当时，，（舍去）； ②当时，，解得， 又，； ③当时，，. 综上所述，的值为或4. 【小问3详解】 函数的图象，如图： 由图象可知，函数的值域为. 18. 甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为. （1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了Y局比赛，求随机变量Y的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大； （2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？ 【答案】（1）答案见解析，进行4局比赛的可能性最大. （2）答案见解析，采用五局三胜制. 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知：的所有可能取值为3，4，5，结合独立重复性实验求分布列和期望； （2）分别求五局三胜制和三局两胜制时，甲队获胜的概率，对比分析即可. 【小问1详解】 由题意可知：的所有可能取值为3，4，5，则有： ； ； ； 故的分布列为： 3 4 5 因为，所以进行4局比赛的可能性最大. 【小问2详解】 采用三局两胜时，甲获胜概率， 采用五局三胜时，甲获胜概率， 因为，所以如果我是甲队领队，采用五局三胜制. 19. 已知函数与函数的图象在处的切线斜率相同. （1）求实数的值； （2）证明：当时，； （3）设为正实数，讨论方程的解的个数. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，， 令， 则， 在其定义域内为单调递增函数， 又， 当时，， 即当时，； （3）当时，方程有1个解； 当时，方程有3个解. 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，根据题意可得，求解即可； （2），求导可判断函数的单调性，可证结论； （3）令，求导，令，可得，对分类讨论可判断的单调性，结合根的存在性定理可判断方程的解的个数. 【小问1详解】 ，， ，， 由题意可得，，，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，则定义域是， . 令，， （i）当时，，则， 在上单调递减，且， 在上存在1个零点； （ii）当时，， 设方程的两根分别为，，且， 则，， 有两个零点，，且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，且，则， 又因为，，且， 故有，由零点存在性定理可知， 在恰有一个零点，在也恰有一个零点， 易知是的零点，所以恰有三个零点； 综上所述，当时，方程有1个解； 当时，方程有3个解. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，通过构造函数，求导研究函数的单调性证明，是一种常见的主法与思路.考查方程的解的个数，通过构造函数，求导，分类讨论可得函数的单调区间，运用根的存在性定理可判断解的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春季期高二期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则一定有 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 3. 已知命题，，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2.9 5. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法总数有（ ） A. 432种 B. 240种 C. 192种 D. 96种 6. 袋中有6个球，其中红黄蓝紫白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 7. 已知上的可导函数的函数图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数a，b，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机变是服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在上是增函数 D. 11. 若函数既有极小值又有极大值，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中，________研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 13. 已知函数，则的定义域是________；单调增区间为________. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数，记为的导函数，若，则在点处的切线一般式方程为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中共有10项. （1）求展开式中各项系数之和； （2）求展开式中的常数项，并确定有理项有多少项. 16. 2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日（FitnessDay）是适应人民群众体育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活动，活动分为长跑、短跑两类项目，该班级所有同学均参加活动，且男女同学人数比为，每位同学选择一项活动参加.统计数据如下表： 长跑 短跑 男同学 a 10 女同学 10 10 （1）求的值并依据小概率值的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与其性别相关； （2）赛后校记者团对参加长跑比赛的同学按性别采用分层随机抽样的方法抽取8名同学，再从这8名同学中抽取2名同学接受采访，记随机变量X表示抽到的2人中女生的人数，求X的布列与数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数 （1）求，，的值; （2），求a的值； （3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的值域（无需写出理由）. 18. 甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为. （1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了Y局比赛，求随机变量Y的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大； （2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？ 19. 已知函数与函数的图象在处的切线斜率相同. （1）求实数的值； （2）证明：当时，； （3）设为正实数，讨论方程的解的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $