精品解析：广东省梅州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

梅州市高中期末考试试卷（2024.7） 高二数学 注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充分必要 4. 小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试．已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 展开式中的常数项为（ ） A. 6 B. 18 C. D. 6 （ ） A. B. 4 C. D. 2 7. 若制作一个容积为的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为（ ）（） A. 2 B. C. D. 4 8. 已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则 附：． a 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多 B. 用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65 C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关 D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关 11. 已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为37 B. 的最小值为 C. 处导数等于0 D. 当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则均值________． 1 0 P 0.5 0.3 q 13. 写出在处的切线方程为的一个二次函数________． 14. 摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间的函数表达式________；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，图象关于直线对称，且相邻两个零点的距离为． （1）求ω和φ的值； （2）若，，求的值． （3）若，使得关于x的不等式成立，求实数m的取值范围． 16. 某网上购物平台为了提高某商品的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据： 单价x/元 180 190 200 210 220 月销量y/个 57 52 42 32 27 （1）根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； （2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元） 参考公式：．参考数据：． 17. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）函数在区间上为单调函数，求a的取值范围． 18. 如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有两个易堵点，处出现堵车概率为，且当出现堵车时，出现堵车的概率为；当不堵车时，出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是． （1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率； （2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率； （3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？ 19. 设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件： ①，且Q中至少有两个元素； ②对于任意，当，都有； ③对于任意，若，则； 则称集合Q为集合P的“耦合集”． （1）若集合，求集合P1的“耦合集”； （2）集合，且，若集合存在“耦合集”． （i）求证：对于任意，有； （ii）求集合的“耦合集”的元素个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 梅州市高中期末考试试卷（2024.7） 高二数学 注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集结合一元二次不等式求，再根据交集运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：B. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题分析判断. 【详解】由题意可知：为，. 故选：D. 3. 若，，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充分必要 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可得结论. 【详解】由，得不出， 所以“”是“”不充分条件， 又，得不出， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：C. 4. 小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试．已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取对立事件，结合独立事件概率乘法公式求得，即可得结果. 【详解】记其通过面试为事件A， 若其未通过面试，则在三分线外投篮没有命中，且在罚球点处投篮也没有命中， 则， 所以. 故选：C. 5. 展开式中的常数项为（ ） A. 6 B. 18 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理分析运算即可. 【详解】由题意可知：展开式中的常数项为. 故选：A. 6. （ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据利用倍角公式和辅助角公式可得，再利用诱导公式运算求解. 【详解】由题意可得： ， 即. 故选：B. 7. 若制作一个容积为的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为（ ）（） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设容积为的无盖正四棱柱容器底面边长，则高为，表面积为，利用导数可求最小值. 【详解】设容积为的无盖正四棱柱容器底面边长，则高为， 则容器的表面积为， 则，令，得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以当，取最小值，所以最小值为， 所以底面边长为，所用材料最省. 故选：D. 8. 已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，根据独立事件概率乘法公式求，进而结合条件概率公式分析求解. 【详解】记“两袋中各取一个球，恰好一红一蓝”为事件A， “从两袋中各取一个球，红球来自与甲袋”为事件B， 则， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正态曲线的均值、方差和概率分别判断各个选项； 【详解】对于A，根据正态曲线可知甲类水果的平均质量乙类水果的平均质量，A正确； 对于B，根据正态曲线可知，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，所以，B错误； 对于C，D，根据正态曲线图像可知所以，C错误，D正确； 故选：AD. 10. 某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则 附：． a 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多 B. 用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65 C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关 D. 根据小概率值独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意分析相应的人数，即可判断A；对于B：求相应的频率，用频率估计概率，分析判断；对于CD：可得列联表，求，结合独立性检验的思想分析判断. 【详解】由题意可知：抽取的女生人数为，抽取的男生人数为， 对于女生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为； 对于男生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为； 对于选项A：因为，所以可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多，故A正确； 对于选项B：其热爱阅读的频率为， 用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.63，故B错误； 对于选项CD：根据题意可得列联表 性别 热爱阅读 合计 是 否 女生 64 16 80 男生 50 50 100 合计 114 66 180 零假设：学生是否热爱阅读与性别无关， 则， 根据根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立， 所以可以认为学生是否热爱阅读与性别有关，故C正确，D错误； 故选：AC. 11. 已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有（ ） A. 的最大值为37 B. 的最小值为 C. 在处导数等于0 D. 当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知可得可判断A；可判断B；由已知可得在处导数等于0，判断C；设，所以点的轨迹为直线，令，则的轨迹方程为，进而求最小值判断D. 【详解】对于A：， 当时，最大值为，故A错误； 对于B：， 当且仅当时取等号，故B正确； 对于C：因为函数，当且仅当，取得最小值，所以在处导数等于0，故C正确； 对于D：设，所以点的轨迹为直线， 令，则的轨迹方程为， 又表示点与的距离的平方， 又， ，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则均值________． 1 0 P 0.5 0.3 q 【答案】0.3## 【解析】 【分析】根据分布列是性质结合期望的公式列式求解. 【详解】由题意可得：，解得. 故答案为：0.3. 13. 写出在处的切线方程为的一个二次函数________． 【答案】（满足均可）. 【解析】 【分析】设二次函数，根据题意可得，运算求解即可. 【详解】设二次函数，则， 由题意可得：，例如取，则. 故答案为：（满足均可）. 14. 摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间的函数表达式________；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作辅助线，分析可知，根据图形结合直角三角函数分析求解. 【详解】设标记点为，圆心为，作，如图所示： 旋转时间，则，则， 可得， 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是理解摆线的定义，分析可知：，结合几何图形分析求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，图象关于直线对称，且相邻两个零点的距离为． （1）求ω和φ的值； （2）若，，求的值． （3）若，使得关于x的不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）实数的取值范围为 【解析】 【分析】（1）利用周期可求，由函数图象关于直线对称，可求； （2）由已知可得，进而可求得，利用可求值； （3）求得，可求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为相邻两个零点的距离为，所以周期为，所以，所以， 所以，函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 所以，又，所以； 【小问2详解】 所认，，所以， 所以，因为，所以， 又，所以， 所以， ； 【小问3详解】 因为，又， 则有，所以， 由，使得关于的不等式成立， 所以，实数的取值范围为． 16. 某网上购物平台为了提高某商品的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据： 单价x/元 180 190 200 210 220 月销量y/个 57 52 42 32 27 （1）根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； （2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元） 参考公式：．参考数据：． 【答案】（1） （2）196 【解析】 【分析】（1）利用表中的数据先求出，，再把表中数据代入公式求得，从而即可求得回归直线方程； （2）由总利润等于销售单价减去进货价再乘以月销售量，易得总利润函数，再利用二次函数的最值求得单价. 【小问1详解】 由表中数据求得：，， 则 故关于的回归直线方程为. 【小问2详解】 设每月的总利润， 因为抛物线的对称轴方程为， 所以该拖把月利润最大时，该商品的单价为196元. 17. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）函数在区间上为单调函数，求a的取值范围． 【答案】（1）函数有极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值； （2）求导，分类讨论函数在区间上的单调性，结合导数与原函数单调性之间的关系分析求解. 小问1详解】 若，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为，且， 若函数在区间上为单调函数，则有： 当函数在区间上为单调递增函数，则，可得， 原题意等价于对任意恒成立， 可知在区间上为单调递增函数， 当时，取到最小值1，可得； 当函数在区间上为单调递减函数，则，可得， 原题意等价于对任意恒成立， 可知在区间上为单调递增函数， 当时，取到最大值6，可得； 综上所述：或， 所以a的取值范围为. 18. 如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有两个易堵点，处出现堵车的概率为，且当出现堵车时，出现堵车的概率为；当不堵车时，出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是． （1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率； （2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率； （3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？ 【答案】（1） （2） （3）选择了主干道Ⅱ行驶较好 【解析】 【分析】（1）设堵车次数，分析可知，结合二项分布分析求解； （2）设相应事件，结合条件概率分析求解即可； （3）根据（1）（2）中的结论，分别求平均堵车时间，对比分析即可. 【小问1详解】 若李明选择了主干道Ⅱ行驶，设堵车次数为， 由题意可知：， 所以其恰遇到一次堵车的概率. 【小问2详解】 若李明选择了主干道Ⅰ行驶，设堵车的事件分别为， 可知， 则， 可得，， ，， 所以其遇到堵车的概率. 【小问3详解】 若李明选择了主干道Ⅱ行驶，由（1）可知：， 所以平均拥堵时间为分钟； 若李明选择了主干道Ⅰ行驶，记堵车次数为， 由（2）可得： ，，， 则， 所以平均拥堵时间为分钟； 因为，所以选择了主干道Ⅱ行驶较好. 19. 设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件： ①，且Q中至少有两个元素； ②对于任意，当，都有； ③对于任意，若，则； 则称集合Q为集合P的“耦合集”． （1）若集合，求集合P1的“耦合集”； （2）集合，且，若集合存在“耦合集”． （i）求证：对于任意，有； （ii）求集合的“耦合集”的元素个数． 【答案】（1）或或 （2）（i）证明见详解；（ii）5 【解析】 【分析】（1）根据题意直接运算求解即可； （2）（i）根据②可得的可能元素，再结合③分析证明；（ii）根据题意分析可知，同理可得，结合题意分析求解即可. 【小问1详解】 由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10； 检验可知均满足条件③，所以， 检验可知：或也符合题意， 所以或或. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，， 由已知条件②得的可能元素为：， 由条件③可知，且， 可得， 同理可得， 所以对于任意，有； （ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：， 则，即， 同理可得：，则， 又因为的可能元素为：， 即， 假设还存在其他元素， 因为，可知， 由集合性质可知：或， 则或， 即或，假设不成立， 所以不存在其他元素，所以共5个元素. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，对于本题解题关键是正确理解“耦合集”的定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$