第03讲 等式与不等式的性质（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第03讲 等式与不等式的性质 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 近五年0考 — 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】近五年的高考中，并未直接考察不等式的性质内容. 【备考策略】 1.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质解决根据给定的条件，判断给出的不等式能否成立； 2.利用不等式的性质、实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系； 3.利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充分必要关系三类问题，初步运用反证法解决不等式的证明问题. 【命题预测】这部分内容在高考中一般不单独考察，但可能会将等式和不等式与其他数学概念结合，如函数的性质、几何图形的性质等，进行综合考察。建议围绕不等式的性质和应用进行复习和练习，以确保对等式和不等式有深入的理解和熟练的运用能力. 知识讲解 知识点一 两个实数比较大小 关系 方法 作差法与0比较 作商法与1比较 或 或 知识点二 等式与不等式的性质 1、等式的性质 （1）对称性：； （2）传递性：； （3）可加、减性：； （4）可乘性：； （5）可除性. 2、不等式的性质 （1）对称性：a>b⇔b<a； （2）传递性：a>b，b>c⇒a>c； （3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； （4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； （5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； （6）正数同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； （7）正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 考点一、作差法比较大小 【典例1】（23-24高三下·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ． 【典例2】（23-24高三下·广东·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）设，，则、的大小关系是 . 2．（23-24高三上·江苏南通·专题练习）设，试比较与的大小. 考点二、作商法比较大小 【典例1】（22-23高三下·全国·专题练习）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【典例2】设，比较与的大小 1．，则的大小关系为 ． 2．已知，，试比较与的大小； 考点三、不等式的性质应用 【典例1】（23-24高三上·北京房山·期末）已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·北京丰台·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知实数，则下列不等式中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 考点四、利用不等式求代数式的取值范围 【典例1】（23-24高三上·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ． 2．（23-24高三上·河北辛集·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五、证明不等式 【典例1】（23-24高三下·全国·专题练习）已知实数，满足，求证：. 【典例2】（23-24高三下·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 1．（23-24高三下·全国·专题练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 2．（23-24高三下·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证：． （2）设a，b，c为正实数，求证：． 考点六、糖水不等式及应用 【典例1】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】23．（23-24高三上·山西长治·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，， 1．（223-24高三上·四川泸县·阶段练习）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 1．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京师大附属·阶段练习）已知实数，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·北京昌平·期中）如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·北京广渠门·阶段测试）已知，那么下列命题中正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 5．（23-24高三下·全国·专题练习）若，，则m与n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·北京·开学考试）若为实数，且，则以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高三上·甘肃民乐·阶段练习）若，，，则的取值范围为 5．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . 6．（23-24高三上·山东泰安·期末）（1）设，用反证法证明：若，则或． （2）设，比较与的值的大小． 7．（23-24高三上·全国·专题练习）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等式与不等式的性质 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 近五年0考 — 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】近五年的高考中，并未直接考察不等式的性质内容. 【备考策略】 1.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质解决根据给定的条件，判断给出的不等式能否成立； 2.利用不等式的性质、实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系； 3.利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充分必要关系三类问题，初步运用反证法解决不等式的证明问题. 【命题预测】这部分内容在高考中一般不单独考察，但可能会将等式和不等式与其他数学概念结合，如函数的性质、几何图形的性质等，进行综合考察。建议围绕不等式的性质和应用进行复习和练习，以确保对等式和不等式有深入的理解和熟练的运用能力. 知识讲解 知识点一 两个实数比较大小 关系 方法 作差法与0比较 作商法与1比较 或 或 知识点二 等式与不等式的性质 1、等式的性质 （1）对称性：； （2）传递性：； （3）可加、减性：； （4）可乘性：； （5）可除性. 2、不等式的性质 （1）对称性：a>b⇔b<a； （2）传递性：a>b，b>c⇒a>c； （3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； （4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； （5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； （6）正数同向可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； （7）正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 考点一、作差法比较大小 【典例1】（23-24高三下·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ． 【答案】a＜b 【解析】因为b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0， 所以a＜b. 【典例2】（23-24高三下·广东·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. ， 因为， 且，所以，所以，所以. 故.故选：A 1．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）设，，则、的大小关系是 . 【答案】/ 【解析】因为，， 所以， 当且仅当时取等号，所以. 故答案为： 2．（23-24高三上·江苏南通·专题练习）设，试比较与的大小. 【答案】 【解析】, 因为,所以, 所以，所以. 考点二、作商法比较大小 【典例1】（22-23高三下·全国·专题练习）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【答案】aabb>abba 【解析】∵＝＝（）a－b， 又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1. 又abba>0，∴ aabb>abba 【典例2】设，比较与的大小 【答案】 【解析】， ， ， . 1．，则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【解析】因为， 则 由 所以 故答案为： 2．已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【解析】由题意，由立方和公式， 可得分子， 将其代入原式得， 进一步对其分子利用基本不等式可得，且等号成立当且仅当， 将其代入原式得， 综上所述（当且仅当时取等号）. 考点三、不等式的性质应用 【典例1】（23-24高三上·北京房山·期末）已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A：若，则，故错误； 对B：若，则，故错误； 对C：若，则，，左右同除，有，故错误； 对D：由且，为非零实数，则，即，故正确.故选：D. 【典例2】（2024·北京丰台·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，取，，， 无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以，故选：D 1．（23-24高三下·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误；故选：B. 2．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知实数，则下列不等式中一定正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，又，故， 从而，故B错误； 对于C，， 因为，所以，故，故，故C错误； 对于D， ， 因为，故， 所以，即，故D正确.故选：D 考点四、利用不等式求代数式的取值范围 【典例1】（23-24高三上·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 对于A，，,, 综上可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误；故选：D. 【典例2】（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 所以，解得，所以； 又，， 所以，故选：D. 1．（23-24高三下·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由可得，所以， 故答案为： 2．（23-24高三上·河北辛集·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 所以，解得， 于是 又，， 所以，即. 故．故选：D． 考点五、证明不等式 【典例1】（23-24高三下·全国·专题练习）已知实数，满足，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】， 因为，所以， 所以. 【典例2】（23-24高三下·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 1．（23-24高三下·全国·专题练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 2．（23-24高三下·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证：． （2）设a，b，c为正实数，求证：． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ． 【解析】（1）因为，a，b为正实数， 所以，所以，当且仅当时，取等号． （2）由（1），得． 同理，得， 所以 ， 当且仅当时，取等号． 考点六、糖水不等式及应用 【典例1】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为， 加入糖后糖水浓度变大了，所以.故选：D 【典例2】23．（23-24高三上·山西长治·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，， 【答案】(1)；证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意可得：，时，． 证明如下：， ，，，， ，． （2）由（1）知，时，，即； 则，， 又， 综上所述，. 1．（223-24高三上·四川泸县·阶段练习）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，由得，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，由题得，故C错误； 对于D，由糖水不等式得，所以，故D错误.故选：A. 2．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【答案】(1)若，则；证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. （2）在锐角三角形中，由（1）得， 同理， . 以上式子相加得. 1．（23-24高三上·北京顺义·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A，由，可得，从而有成立，故A正确； 对B、D，若，则，，故B、D不正确； 对C，若，则，故C不正确.故选：A 2．（23-24高三上·北京师大附属·阶段练习）已知实数，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，但不一定成立，即不一定成立，A错误； 不妨取，此时，即不一定成立，B错误； 当时，显然，此时不一定成立，C错误； 由可知，又，所以，即；即D正确.故选：D 3．（23-24高三上·北京昌平·期中）如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得：，,，故A，B，C错误,，故D正确.故选：D 4．（23-24高三上·北京广渠门·阶段测试）已知，那么下列命题中正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】C 【解析】．若，当时， ，所以选项不成立； ．若，当时，则，所以选项不成立； ．因为，将两边同除以，则，所以选项成立； ．如果满足，但是，所以选项不成立．故选：． 5．（23-24高三下·全国·专题练习）若，，则m与n的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设， 所以．故选：D 6．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，， 又，∴，故选：B. 7．（23-24高三下·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：当、，满足，但是，故A错误； 对于B：当、，满足，但是，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递增，若，则，故C正确 对于D：当、，满足，但是，故D错误.故选：C 1．（23-24高三上·北京·开学考试）若为实数，且，则以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，不妨令，则，此时，即A错误； 若，可知同号，即或，所以B错误； 不妨令，此时满足，但，所以C错误； 由可得，两边同时乘以可得，即可得D正确；故选：D 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对ABD，因为，故， 又，故，故，即，故ABD错误； 对C，，故， 又，因为，且，故， 故，即，则，故C正确；故选：C 3．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以，故A结论正确； 对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确； 对于C，因为，所以， 而函数为减函数，所以，故C结论正确； 对于D，， 因为，所以， 所以，所以，故D结论错误.故选：D. 4．（23-24高三上·甘肃民乐·阶段练习）若，，，则的取值范围为 【答案】 【解析】设，则， 解得：，，则， 而由，可得， 再由，可得， 所以， 即，可得. 故答案为：. 5．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为： 6．（23-24高三上·山东泰安·期末）（1）设，用反证法证明：若，则或． （2）设，比较与的值的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】（1）假设且，则，与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即或． （2）， 当时，， 当时，， 当时，． 7．（23-24高三上·全国·专题练习）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①；②；③； 【解析】①， ， 因为， 所以，即；. ②， ，. ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以，所以，.. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$