第39讲 双曲线的标准方程与几何性质（5类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第39讲 双曲线的标准方程与几何性质 （5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第13题，5分 直线与双曲线的位置关系 2023年北京卷，第12题，5分 双曲线的离心率及标准方程 2022年北京卷，第12题，5分 双曲线的渐近线及标准方程 2021年北京卷，第5题，4分 双曲线的离心率及标准方程 2020年北京卷，第12题，5分 双曲线的焦点与渐近线 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是北京卷的必考内容，难度较低，在选择与填空题中考查，分值为4-5分． 【备考策略】 1.掌握双曲线的定义和标准方程； 2.理解双曲线简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等)； 3.能求解与双曲线有关的综合问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用． 【命题预测】从历年的题目来看，双曲线的基本性质，如离心率、焦点、渐近线等，是高考中的常考点．预计2025年高考会继续考查这些基本概念和性质． 知识讲解 知识点1 双曲线的定义及性质 1、双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3、双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 知识点2 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程 ， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 2、直线与双曲线弦长求法 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）．（具体同椭圆相同） 考点一、双曲线的定义及应用 【典例1】（22-23高三下·北京·三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ． 【典例2】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知双曲线的虚轴长为4，离心率，分别是双曲线的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于两点，且，则双曲线的实轴长为 ， . 1．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知双曲线的焦点为，离心率为2，点是上一点，若的面积为，则为（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 2．（24-25高三上·北京昌平·开学考试）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 考点二、双曲线的标准方程 【典例1】（23-24高三下·北京门头沟·一模）已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·北京通州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三下·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点三、双曲线的渐近线 【典例1】（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）设双曲线 (，)的虚半轴长为1，半焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·北京·期中）若直线是双曲线的一条渐近线，则 . 1．（23-24高三下·北京朝阳·一模）已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·北京·开学考试）已知双曲线的右焦点为，过且与一条渐近线平行的直线与的右支及另一条渐近线分别交于两点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 考点四、双曲线的离心率 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为 . 【典例2】（23-24高三下·北京·开学考试）已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足，若，则的离心率为 . 1．（23-24高三下·北京怀柔·零模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则双曲线C的离心率为 . 2．（23-24高三下·北京·三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点五、直线与双曲线的位置关系 【典例1】（23-24高三上·北京西城·阶段练习）记双曲线：的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 【典例2】（23-24高三下·北京·开学考试）已知双曲线与直线无公共点，则正数的一个取值可以为 ． 1．（24-25高三上·北京·期中）已知直线与双曲线没有公共点，那么双曲线的离心率的一个值是 ． 2．（23-24高三下·北京·开学考试）若直线与曲线C: 交于不同的两点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．24-25高三上·北京房山·开学考试）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京西城·期末）已知双曲线C的一个焦点是，渐近线为，则C的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·北京·三模）若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线（    ） A．离心率为，焦距为10 B．离心率为，焦距为10 C．离心率为，焦距无法确定 D．离心率为，焦距无法确定 5．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知双曲线（其中）的右焦点为，则 ，的离心率为 ． 1．（23-24高三上·北京·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京房山·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·河北保定·开学考试）已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点A在第一象限），延长交于点，若，则双曲线的离心率为 ． 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一动点，则双曲线的渐近线为 ，最小值为 . 5．（23-24高三上·北京·阶段练习）设双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，当时， ；当P运动时，的最小值为 ． 1．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 3．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 4．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 5．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第39讲 双曲线的标准方程与几何性质 （5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第13题，5分 直线与双曲线的位置关系 2023年北京卷，第12题，5分 双曲线的离心率及标准方程 2022年北京卷，第12题，5分 双曲线的渐近线及标准方程 2021年北京卷，第5题，4分 双曲线的离心率及标准方程 2020年北京卷，第12题，5分 双曲线的焦点与渐近线 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是北京卷的必考内容，难度较低，在选择与填空题中考查，分值为4-5分． 【备考策略】 1.掌握双曲线的定义和标准方程； 2.理解双曲线简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等)； 3.能求解与双曲线有关的综合问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用． 【命题预测】从历年的题目来看，双曲线的基本性质，如离心率、焦点、渐近线等，是高考中的常考点．预计2025年高考会继续考查这些基本概念和性质． 知识讲解 知识点1 双曲线的定义及性质 1、双曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点． （2）集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 3、双曲线中的几个常用结论 （1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. （2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. （3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4）设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. （5）P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2. （6）等轴双曲线 ①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． ②性质：a＝b;e＝；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． （7）共轭双曲线 ①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． ②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1. 知识点2 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程 ， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 2、直线与双曲线弦长求法 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）．（具体同椭圆相同） 考点一、双曲线的定义及应用 【典例1】（22-23高三下·北京·三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ． 【答案】34 【解析】因为，所以， 故，则， 又，故，则，， 所以的周长为. 故答案为：34. 【典例2】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知双曲线的虚轴长为4，离心率，分别是双曲线的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于两点，且，则双曲线的实轴长为 ， . 【答案】 【解析】由题意可知，，又， ，于是， 因为， 所以|， 得. 故答案为：①；②. 1．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知双曲线的焦点为，离心率为2，点是上一点，若的面积为，则为（    ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 【答案】C 【解析】令，在中，， 由余弦定理得， 即，则， 的面积，由离心率为2，得， 因此，即，整理得，显然， 又，则，即， 所以是钝角.故选：C 2．（24-25高三上·北京昌平·开学考试）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得， 所以双曲线的焦距为.故选：B. 考点二、双曲线的标准方程 【典例1】（23-24高三下·北京门头沟·一模）已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为， 因为双曲线C经过点，所以， 因为，所以，所以， 所以双曲线的标准方程为.故选：C 【典例2】（23-24高三上·北京通州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可设双曲线标准方程为，焦距为2c， 则由双曲线的左､右焦点分别为，可知， 由，知，故， 故双曲线的标准方程为，故选：A 1．（23-24高三下·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为， 设双曲线方程为， 代入点，可得， 所以双曲线的方程为.故选：A. 2．（23-24高三下·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又， 所以，得到，所以双曲线的方程为，故选：D. 考点三、双曲线的渐近线 【典例1】（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）设双曲线 (，)的虚半轴长为1，半焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线中，，由双曲线半焦距为，得， 所以双曲线的渐近线方程为.故选：D 【典例2】（24-25高三上·北京·期中）若直线是双曲线的一条渐近线，则 . 【答案】2 【解析】因双曲线的焦点在轴上，且， 故其渐近线方程为，依题意，易得. 故答案为：2. 1．（23-24高三下·北京朝阳·一模）已知双曲线：的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线，M，N分别是与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段的中点，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为， 当时，，即，又， 因为M是线段的中点，所以，得， 所以，即， 所以C的渐近线方程为.故选：C. 2．（23-24高三下·北京·开学考试）已知双曲线的右焦点为，过且与一条渐近线平行的直线与的右支及另一条渐近线分别交于两点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知的渐近线方程为，不妨设直线，， 联立方程得，解得，，所以， 又，而，， 得到，解得， 故，代入中， 得，得到， 又，得到，解得， 故所求的渐近线方程为，故选：C. 考点四、双曲线的离心率 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为 . 【答案】 【解析】根据双曲线的对称性可知该双曲线的一条渐近线倾斜角为，所以， 则其离心率为. 故答案为： 【典例2】（23-24高三下·北京·开学考试）已知双曲线：的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足，若，则的离心率为 . 【答案】2 【解析】如图，设双曲线的半焦距为，则，， 双曲线的一条渐近线方程为， 当时，过作垂直于轴于，则为的中点， 故点坐标为，点坐标为， 因为直线垂直于，所以，得， 又在双曲线中，故得，故， 故答案为：2 1．（23-24高三下·北京怀柔·零模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则双曲线C的离心率为 . 【答案】2 【解析】易知关于x轴对称，令，， ∴，，∴，∴． ，，， ∴，∴． 故答案为: 2. 2．（23-24高三下·北京·三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 为等边三角形，，， 又， ，，， ，， ，解得：（舍）或， 双曲线的离心率为.故选：C. 考点五、直线与双曲线的位置关系 【典例1】（23-24高三上·北京西城·阶段练习）记双曲线：的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】直线与C无公共点，双曲线的一条渐近线是即可， 如，此时离心率. 故答案为：（答案不唯一） 【典例2】（23-24高三下·北京·开学考试）已知双曲线与直线无公共点，则正数的一个取值可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】双曲线的一条渐近线的斜率为, 若双曲线与直线无公共点， 只需,解得. 故的一个取值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 1．（24-25高三上·北京·期中）已知直线与双曲线没有公共点，那么双曲线的离心率的一个值是 ． 【答案】(答案不唯一) 【解析】由双曲线方程，可得其渐近线方程为， 若双曲线与直线没有公共点，则须满足 所以离心率， 所以离心率可以取一个值. 故答案为： (答案不唯一) 2．（23-24高三下·北京·开学考试）若直线与曲线C: 交于不同的两点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立方程组，整理得， 设方程的两根为， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点， 则满足，解得， 又由，解得, 所以的取值范围是.故选：D. 1．24-25高三上·北京房山·开学考试）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】双曲线中，则， 故其渐近线方程为. 故选：B. 2．（23-24高三上·北京西城·期末）已知双曲线C的一个焦点是，渐近线为，则C的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于焦点，所以且双曲线的焦点在轴上， 双曲线的渐近线，所以， 结合可得， 所以双曲线的方程为.故选：D 3．（23-24高三下·北京·三模）若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线的渐近线为，的渐近线为， 由题可知， 所以的离心率.故选：C. 4．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线（    ） A．离心率为，焦距为10 B．离心率为，焦距为10 C．离心率为，焦距无法确定 D．离心率为，焦距无法确定 【答案】D 【解析】因为双曲线焦点在轴上， 双曲线的一条渐近线方程为，所以， 即，根据双曲线中得：， 所以，所以，由于双曲线中已知， 关于的方程只有两个，所以求不出的值，即焦距无法确定.故选：D 5．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知双曲线（其中）的右焦点为，则 ，的离心率为 ． 【答案】 1 2 【解析】由题意可得双曲线焦点在轴上，且， 则，由得， 故的离心率. 故答案为：1；2. 1．（23-24高三上·北京·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以，所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以， 所以，所以，所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为故选：D 2．（23-24高三上·北京房山·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线C：的渐近线为，由对称性不妨令点在第二象限， 由双曲线定义得， 当且仅当为线段与双曲线的交点时取等号， 因此的最小值为的最小值与的和， 显然当与渐近线垂直时， 取得最小值，而平行于渐近线， 于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即， 则双曲线的渐近线方程为， 显然选项ABD不满足，C满足， 所以双曲线C的方程可能是.故选：C 3．（23-24高三上·河北保定·开学考试）已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点A在第一象限），延长交于点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】由题意关于原点对称，又也关于原点对称， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以为等边三角形， 则，则， 由双曲线的定义，得， 所以，则． 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一动点，则双曲线的渐近线为 ，最小值为 . 【答案】 【解析】根据题意双曲线，所以双曲线的渐近线方程为； 设，则， 所以， 由双曲线性质可知，或， 结合二次函数的性质可得当时，取得最小值为， 故答案为：. 5．（23-24高三上·北京·阶段练习）设双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，当时， ；当P运动时，的最小值为 ． 【答案】 16 /4.5 【解析】由题知，，， 当时，， 由定义知，，则， 所以，得； ， 由对勾函数性质可知，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：16；. 1．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则，，则双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 因此，双曲线的方程为.故选：B 2．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 3．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为， 显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 4．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 【答案】 【解析】对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 5．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 ． 【答案】 【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为， 双曲线的渐近线方程为，即， 所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为. 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$