第41讲 计数原理与排列组合（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第41讲 计数原理与排列组合 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 - - 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容在北京高考近五年中并未单独命题． 【备考策略】 1.理解和掌握分类计数和分步计数两个原理； 2.掌握排列数公式和组合数公式，掌握组合数的两个性质； 3.注意区别排列和组合的异同，能用排列和组合解决一些简单的实际问题． 【命题预测】2025年北京高考在本节内容单独命题的概率不高，但复习过程中也不可完全忽视，在排列组合的问题中要加强分类、分步、优先法、捆绑法、插孔法、分组分配法等思想的应用． 知识讲解 知识点1 两个计数原理 1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。 3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 知识点2 排列与组合 1、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质：①；②；③． 2、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． 3、排列和组合的区别 （1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． （2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 考点一、分类加法计数原理 【典例1】（24-25高三上·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 【典例2】（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（    ） A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 1．（24-25高三上·新疆·阶段练习）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 2．（24-25高三上·河南·开学考试）将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，且每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有（    ） A．60种 B．64种 C．78种 D．81种 考点二、分步乘法计数原理 【典例1】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（    ） A．18 B．15 C．16 D．21 【典例2】（22-23高三下·北京东城·二模）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 1．（23-24高三下·贵州黔东南·二模）在个数码的全排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排列的逆序数，记为.例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此.那么（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 2．（24-25高三上·广西·阶段练习）红黄蓝三种不同颜色的小球各两个，分别放置在正八面体的6个顶点上，共有几种不同的放置方法（    ） A．7 B．8 C．4 D．5 考点三、两种计数原理综合 【典例1】（23-24高三上·北京丰台·期末）在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（    ） A．18 B．19 C．31 D．37 【典例2】（23-24高三上·福建福州·开学考试）“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（    ）    A．90 B．180 C．270 D．360 1．（22-23高三下·北京·模拟预测）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）． A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 2．（24-25高三上·四川·阶段练习）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（     ） A． B． C． D． 考点四、排列问题 【典例1】（23-24高三上·北京·阶段练习）2022年11月30日，神舟十四号航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天和核心舱合影留念．假设6人站成一排，要求神舟十四号3名航天员互不相邻且刘洋不站在两端，不同站法共有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．144种 【典例2】（23-24高三下·北京石景山·一模）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 1．（22-23高三下·北京·模拟预测）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．32种 D．40种 2．（23-24高三下·北京西城·二模）一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（    ） A． B． C． D． 考点五、组合问题 【典例1】（24-25高三上·江苏宿迁·期中）从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（    ） A．15 B．40 C．55 D．70 【典例2】（24-25高三上·青海西宁·期中）将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有（    ） A．210种 B．420种 C．240种 D．480种 1．（24-25高三上·湖北·期中）在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽蚌埠·开学考试）在直角坐标平面中，平行直线与平行直线组成的图形中，平行四边形共有（    ） A．25个 B．36个 C．100个 D．225个 考点六、排列组合综合问题 【典例1】（22-23高三上·北京·期末）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将6个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答） 【典例2】（22-23高三下·北京·开学考试）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 1．（24-25高三上·山东·联合测评）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（    ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 2．（24-25高三上·江西新余·模拟预测）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 1．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（    ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（    ） A．36种 B．60种 C．120种 D．180种 3．（22-23高三上·北京东城·开学考试）鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．48 4．（23-24高三下·安徽·一模）树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ） A．20种 B．40种 C．60种 D．80种 5．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）有6名男医生、5名女医生，从中选出3名医生组成一个医疗小组，且医疗小组中男、女医生都要有，则不同的选法共有（    ） A．135种 B．150种 C．165种 D．270种 1．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）由三个数字1，2，3组成的五位数中，1，2，3都至少出现一次，这样的五位数的个数为（    ） A．150 B．240 C．180 D．236 2．（22-23高三下·北京·模拟预测）若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ）种． A．20 B．40 C．60 D．80 3．（24-25高三上·北京昌平·开学考试）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是（    ） A．36 B．42 C．72 D．84 4．（23-24高三下·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（    ）个． A．36 B．48 C．64 D．81 5．（22-23高三下·北京·模拟预测）“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根长的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根的尺子，要能够一次量出长度为到且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（    ）个刻度 A．3 B．4 C．5 D．6 1．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 2．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 3．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 4．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 5．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第41讲 计数原理与排列组合 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 - - 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容在北京高考近五年中并未单独命题． 【备考策略】 1.理解和掌握分类计数和分步计数两个原理； 2.掌握排列数公式和组合数公式，掌握组合数的两个性质； 3.注意区别排列和组合的异同，能用排列和组合解决一些简单的实际问题． 【命题预测】2025年北京高考在本节内容单独命题的概率不高，但复习过程中也不可完全忽视，在排列组合的问题中要加强分类、分步、优先法、捆绑法、插孔法、分组分配法等思想的应用． 知识讲解 知识点1 两个计数原理 1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，完成这件事共有N＝m·n种不同的方法。 3、两个计数原理的综合应用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 知识点2 排列与组合 1、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． （2）排列数的公式：． 特例：当时，；规定：． （3）排列数的性质：①；②；③． 2、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此． 这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． 3、排列和组合的区别 （1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． （2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 考点一、分类加法计数原理 【典例1】（24-25高三上·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【解析】4个同学站成一排有5个空， 甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6种情况， 由分步计数原理得，共有种不同的方法.故选：C 【典例2】（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（    ） A．18种 B．48种 C．108种 D．192种 【答案】D 【解析】因甲不去北京，应该分步完成： 第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法； 第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有中选法； 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种．故选：D． 1．（24-25高三上·新疆·阶段练习）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 【答案】D 【解析】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择， 当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择， 所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）.故选：D 2．（24-25高三上·河南·开学考试）将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，且每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有（    ） A．60种 B．64种 C．78种 D．81种 【答案】C 【解析】不考虑每个盒子最多只能装3个球，有种放法. 若将4个球放入同一个盒子中，有3种放法. 故不同的放法有种.故选：C. 考点二、分步乘法计数原理 【典例1】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（    ） A．18 B．15 C．16 D．21 【答案】A 【解析】当中间数为3时，有（个）； 当中间数为4时，有（个）． 故共有（个）．故选：A 【典例2】（22-23高三下·北京东城·二模）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有种， 所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有种，故选：C. 1．（23-24高三下·贵州黔东南·二模）在个数码的全排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排列的逆序数，记为.例如，在3个数码的排列312中，3与1，3与2都构成逆序，因此.那么（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【解析】由题意，对于八位数87542136，可得8与后面每个数字都构成逆序， 7与后面每个数字都构成逆序，5与都构成逆序，4与都构成逆序， 2与1构成逆序，所以.故选：C. 2．（24-25高三上·广西·阶段练习）红黄蓝三种不同颜色的小球各两个，分别放置在正八面体的6个顶点上，共有几种不同的放置方法（    ） A．7 B．8 C．4 D．5 【答案】D 【解析】如图，用对角线线段代表正八面体的6个顶点上小球及颜色， 所以共五种.故选：D. 考点三、两种计数原理综合 【典例1】（23-24高三上·北京丰台·期末）在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（    ） A．18 B．19 C．31 D．37 【答案】B 【解析】设吉祥物宸宸记为，莲莲记为 ①每人得到一张，一张，共有1种分法； ②将这八张纪念卡分为四组， 再分给四个人，则有种分法 ③将这八张纪念卡分为四组， 再分给四个人，则有种分法 共有：种.故选：B. 【典例2】（23-24高三上·福建福州·开学考试）“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（    ）    A．90 B．180 C．270 D．360 【答案】B 【解析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏， 其中1春2夏的不同情况有：种； 2春1夏的不同情况有：种， 所以小明选取节气的不同情况有：种．故选：B． 1．（22-23高三下·北京·模拟预测）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）． A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 【答案】D 【解析】设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人， 据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法； ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取， 有种选法； ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法.故选：D． 2．（24-25高三上·四川·阶段练习）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，.故选：B. 考点四、排列问题 【典例1】（23-24高三上·北京·阶段练习）2022年11月30日，神舟十四号航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天和核心舱合影留念．假设6人站成一排，要求神舟十四号3名航天员互不相邻且刘洋不站在两端，不同站法共有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．144种 【答案】C 【解析】神舟十四号3名航天员互不相邻的排法种数有种， 其中刘洋站在两端的排法种数有种， 故符合题意的排法种数有.故选：C 【典例2】（23-24高三下·北京石景山·一模）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有， 再将商、角插入4个空中的2个，有， 所以共有种．故选：C． 1．（22-23高三下·北京·模拟预测）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．32种 D．40种 【答案】B 【解析】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况， 甲站在两端的情况有种情况， 甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种.故选：B． 2．（23-24高三下·北京西城·二模）一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如果人数大于6，考虑前7个人：， 每相邻的3人取成一组，则有5组， 因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生， 即这15人中至少有10名男生； 每相邻的5人取成一组，则有3组， 因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生， 即这15人中至多有9名男生； 显然矛盾，故人数不可能大于6， 当人数为6时，用表示男生，表示女生，则可以.故选：B. 考点五、组合问题 【典例1】（24-25高三上·江苏宿迁·期中）从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么不同的选法种数为（    ） A．15 B．40 C．55 D．70 【答案】C 【解析】从8名学生中任选4名有种，没有甲乙的选法有种， 所以甲乙至少1人参加的不同的选法种数为.故选：C 【典例2】（24-25高三上·青海西宁·期中）将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有（    ） A．210种 B．420种 C．240种 D．480种 【答案】A 【解析】依题意可得，甲、乙分得的邮票数相等且丙至少2张，意味着甲、乙两人都分得2张邮票， 所以甲、乙分得的邮票数相等的分法共有种.故选：A． 1．（24-25高三上·湖北·期中）在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，将直线分成3种情况： ，均平行于上底面或下底面，有条； ，均不平行于正三棱柱的某个平面； ，均平行于某个侧面，有条. 又直线总数为条，故所求概率为.故选：D. 2．（24-25高三上·安徽蚌埠·开学考试）在直角坐标平面中，平行直线与平行直线组成的图形中，平行四边形共有（    ） A．25个 B．36个 C．100个 D．225个 【答案】D 【解析】从平行直线中选2条， 再从平行直线选2条，即可确定1个平行四边形， 所以可确定平行四边形的个数为：个.故选：D 考点六、排列组合综合问题 【典例1】（22-23高三上·北京·期末）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将6个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答） 【答案】1560 【解析】根据题意，有两种情况： 一、有两个人各分得2个，两个人各分得1个， 可以先从6个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有种选法， 然后再从剩余4个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有种选法； 然后连同两个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的元素在四个不同的位置， 四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种， 根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有种不同的分配方案； 二、有一个人分得3个，其余三人各分得1个， 可以先从6个冰墩墩中任选3个，组成一个小组，有种选法； 然后连同其余三个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的位置， 四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有种， 根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有种不同的分配方案． 综上，不同的分配方案共有种． 【典例2】（22-23高三下·北京·开学考试）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者， 可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法； 然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置， 四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种， 根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C. 1．（24-25高三上·山东·联合测评）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（    ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 【答案】D 【解析】采取对丙和甲进行捆绑的方法： 如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种， 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种， 若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种． 则不同的安排方案共有(种)．故选：D． 2．（24-25高三上·江西新余·模拟预测）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先将丙安排在一所学校，有种分法； 若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法， 剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校）， 分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、 （1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校）， 共种排法； 若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法， 若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法； 若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组， 分别有、、种排法，故共有： 种排法.故选：B. 1．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（    ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】C 【解析】设参加酒会的人数为， 则，得.故选：C 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（    ） A．36种 B．60种 C．120种 D．180种 【答案】C 【解析】该外商不同的投资方案分为两类：若1个城市投资2个项目， 另外1个城市投资1个项目，有种投资方案； 若3个城市各投资1个项目，共有种投资方案， 由分类计数原理知，共有120种不同的投资方案．故选：C． 3．（22-23高三上·北京东城·开学考试）鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．48 【答案】B 【解析】由题意得，前2条鱼游出1条冷水鱼，1条热带鱼，第3条为另一条冷水鱼， 先选出一条热带鱼，有种，再选出一条冷水鱼，有种， 两条鱼可在第一条鱼和第二条鱼顺序上进行全排列， 则不同游出方案的种数为.故选：B 4．（23-24高三下·安徽·一模）树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ） A．20种 B．40种 C．60种 D．80种 【答案】C 【解析】由题意可知两名男生必须分开在两组，则有1女1男一组，余下一组； 2女1男一组，余下一组；3女1男一组，余下一组；4女1男一组，余下一组； 所以分配方法为.故选：C 5．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）有6名男医生、5名女医生，从中选出3名医生组成一个医疗小组，且医疗小组中男、女医生都要有，则不同的选法共有（    ） A．135种 B．150种 C．165种 D．270种 【答案】A 【解析】不同的选法种数中，1男2女的选法有：种； 2男1女的选法种数有：种. 所以共有选法：种.故选：A 1．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）由三个数字1，2，3组成的五位数中，1，2，3都至少出现一次，这样的五位数的个数为（    ） A．150 B．240 C．180 D．236 【答案】A 【解析】求五位数的个数这件事可以有两类办法： 恰有一个数字出现三次，另两个各出现一次，有个； 恰有一个数字出现一次，另两个各出现两次，有个， 由分类计数加法原理得五位数的个数为.故选：A 2．（22-23高三下·北京·模拟预测）若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ）种． A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】C 【解析】第一步，先安排2名男生，有种排法； 第二步，安排5名女生： 第1种情况，5名女生分两组，一组1人，一组4人，有种分法， 第2种情况，5名女生分两组，一组2人，一组3人，有种分法， 所以5名女生分两组去两地参加志愿者活动共有：种排法， 所以，总共有种分配方案.故A，B，D错误.故选：C. 3．（24-25高三上·北京昌平·开学考试）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是（    ） A．36 B．42 C．72 D．84 【答案】C 【解析】若和在上单调递减，在上单调递减增， 则，此时有序数对的个数有：个； 若和在上单调递减，在上单调递增， 则，此时有序数对的个数有：个； 若和在上单调递减，在上单调递增， 则，此时有序数对的个数有：个； 若、和在上单调递减， 则，此时有序数对的个数有：个； 综上所述：共有个.故选：C. 4．（23-24高三下·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（    ）个． A．36 B．48 C．64 D．81 【答案】D 【解析】因为，， 当时，又，故， 当集合中有一个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有两个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有三个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有四个元素时，又，这样的集合对有， 所以集合对共有.故选：D. 5．（22-23高三下·北京·模拟预测）“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根长的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根的尺子，要能够一次量出长度为到且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（    ）个刻度 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】若有一根的尺子，量出长度为到且为整数的物体， 则当尺子有3个刻度时满足条件 设为长度，为每段长度，为刻度对应的数量， 则有且，其中， 当时， 下证，当尺子有2个刻度时不能量出的物体长度 设且，其中， 所以当中有1个0，x的取值至多有3个 当中有2个0时，或，x的取值至多有2个 当中没有0时，x的取值有1个 所以x取值至多有6个，即当尺子有2个刻度时不能量出的物体长度．故选:A 1．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【解析】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动， 共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.故选：B. 2．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【解析】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种，故选：C. 3．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D. 4．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 【答案】329 【解析】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数， ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个； ②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选， 根据分步乘法这样的偶数共有， 最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：329． 5．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$