第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式（8类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式 （8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 近五年0考 — 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容在近五年高考中并未单独考察. 【备考策略】 1. 结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系； 2. 掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式的方法； 3. 能够解决一元二次不等式恒成立以及有解问题； 4. 掌握分式不等式、高次不等式和绝对值不等式的解法. 【命题预测】偶尔单独考察（如2019年北京卷的文、理数第14题）.2025年高考预计单独考察的概率不高，但有可能会涉及一元二次不等式的解法以及模型的建立等，考生复习过程中应多注重基础巩固，注意总结规律和技巧，比如数轴穿根法的“奇过偶不过”原则等. 知识讲解 知识点 1 一元二次不等式 1、一元二次不等式 （1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． （2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）． （3）解不等式的有关理论 ①使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； ②一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； ③将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 2、三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 3、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值． （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根． ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图． （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间． 4、含参数的一元二次不等式讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 知识点 2 其他不等式及其解法 1、分式不等式：解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式． 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母． 2、高次不等式：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）； （5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 3、绝对值不等式： （1）； （2）； （3）； （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解，也可以用图象法求解． 考点一、解不含参的一元二次不等式 【典例1】（2024·北京昌平·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·北京石景山·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·广东·阶段练习）不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 2．（23-24高三下·全国·模拟预测）已知集合，，则 . 考点二、解含参的一元二次不等式 【典例1】（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京·开学考试）关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围 . 1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·全国·专题练习）解关于x的不等式． (1)（）； (2)． 考点三、三个“二次”关系的应用 【典例1】（22-23高三上·北京西城·阶段练习）二次不等式的解集是，则= . 【典例2】（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·广东东莞·期中）关于的不等式的解集为，则 . 2．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）关于的不等式的解集为，且，则 ． 考点四、一元二次不等式恒成立问题 【典例1】（22-23高三上·北京东城·开学考试）使得命题“”为真命题的k的取值范围（    ） A． B． C． D． 【典例2】（22-23高三上·北京·阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是 . 1．（23-24高三下·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五、一元二次不等式实际应用 【典例1】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（22-23高三上·重庆·阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长x（单位m）的取值范围是 . 1．（223-24高三上·新疆·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·全国·专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六、分式不等式的解法 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）不等式的解集是 ． 【典例2】（23-24高三上·湖南常德·阶段练习）全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高三上·广东深圳·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点七、高次不等式的解法 【典例1】（23-24高三上·全国·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 1．（23-24高三上·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·全国·专题练习）（1）解不等式； （2）； （3）. 考点八、绝对值不等式的解法 【典例1】（23-24高三下·上海·期中）不等式的解集为 . 【典例2】（23-24高三下·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知不等式的解集为，则的值分别为（    ） A． B． C．2，3 D． 2．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）不等式的解集是 ． 1．（23-24高三下·北京丰台·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·北京朝阳·二模）已知集合则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·江西·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·北京·开学考试）集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高三上·北京·期中）关于的不等式的解集为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·上海静安·期中）不等式的解集为 ． 1．（23-24高三上·河北承德·开学考试）关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 5．（23-24高三上·上海晋元·阶段练习）不等式的解集为 . 6．（22-23高三上·北京·阶段练习）（1）解不等式： （2）若解关于的不等式． 7．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知关于的不等式的解集是． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 2．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2020·全国·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 4．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数与一元二次方程、不等式 （8类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 近五年0考 — 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容在近五年高考中并未单独考察. 【备考策略】 1. 结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系； 2. 掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式的方法； 3. 能够解决一元二次不等式恒成立以及有解问题； 4. 掌握分式不等式、高次不等式和绝对值不等式的解法. 【命题预测】偶尔单独考察（如2019年北京卷的文、理数第14题）.2025年高考预计单独考察的概率不高，但有可能会涉及一元二次不等式的解法以及模型的建立等，考生复习过程中应多注重基础巩固，注意总结规律和技巧，比如数轴穿根法的“奇过偶不过”原则等. 知识讲解 知识点 1 一元二次不等式 1、一元二次不等式 （1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． （2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）． （3）解不等式的有关理论 ①使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； ②一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； ③将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 2、三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 3、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值． （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根． ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图． （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间． 4、含参数的一元二次不等式讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 知识点 2 其他不等式及其解法 1、分式不等式：解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式． 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母． 2、高次不等式：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧）； （5）得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 3、绝对值不等式： （1）； （2）； （3）； （4）含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解，也可以用图象法求解． 考点一、解不含参的一元二次不等式 【典例1】（2024·北京昌平·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则或， 所以，所以.故选：D. 【典例2】（2024·北京石景山·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解不等式可得，即； 又，因此.故选：D 1．（23-24高三上·广东·阶段练习）不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，解得， 所以原不等式的解集为.故选：C 2．（23-24高三下·全国·模拟预测）已知集合，，则 . 【答案】 【解析】由题知，或， 于是. 故答案为： 考点二、解含参的一元二次不等式 【典例1】（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 故的解集为.故选：C 【典例2】（23-24高三下·北京·开学考试）关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围 . 【答案】 【解析】关于的不等式 可化为 , 当 时, 解不等式得 , 当 时, 解不等式得 , 因为不等式的解集中至多包含 1 个整数, 所以 或 , 当 时，不等式的解集为 ，也满足题意； 所以 的取值范围是 . 故答案为:. 1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间内随机取一个实数，则关于的不等式仅有2个整数解的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可得不等式等价于； 因为，所以不等式的解集为； 依题意可得区间内仅有两个整数，即包含两个整数，可得； 由几何概型概率公式可得其概率为.故选：C 2．（23-24高三上·全国·专题练习）解关于x的不等式． (1)（）； (2)． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析 【解析】（1） ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； （2）若，原不等式等价于，解得． 若，原不等式等价于，解得或． 若，原不等式等价于， ①当时，，无解； ②当时，，解得， ③当时，，解得， 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 考点三、三个“二次”关系的应用 【典例1】（22-23高三上·北京西城·阶段练习）二次不等式的解集是，则= . 【答案】 【解析】因为二次不等式的解集是 所以时方程的两个根， 所以，解得，所以 故答案为： 【典例2】（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ，故选：D. 1．（23-24高三上·广东东莞·期中）关于的不等式的解集为，则 . 【答案】/ 【解析】因为关于的不等式的解集为，则， 且、是关于的方程的两根， 由韦达定理可得，，解得，所以，. 故答案为：. 2．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）关于的不等式的解集为，且，则 ． 【答案】/ 【解析】因为由，得，解得， 所以，， 所以，所以． 故答案为：. 考点四、一元二次不等式恒成立问题 【典例1】（22-23高三上·北京东城·开学考试）使得命题“”为真命题的k的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知关于的不等式的解集为， 当时，恒成立； 当时，则满足，解得， 综上，故选：B 【典例2】（22-23高三上·北京·阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】将原不等式参数分离可得，设， 已知存在，有成立，则， 令，则，， 对勾函数知在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以，即， 故答案为：. 1．（23-24高三下·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：.故选：C. 2．（23-24高三下·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，由得， 因，故，当且仅当即时等号成立， 因当时，恒成立，得，故选：C 考点五、一元二次不等式实际应用 【典例1】（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得， 即，∴，解得. 又每枚的最低售价为15元，∴.故选：B. 【典例2】（22-23高三上·重庆·阶段练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300的内接矩形花园（阴影部分），则其一边长x（单位m）的取值范围是 . 【答案】[10，30] 【解析】设矩形的另一边长为， 由三角形相似得且，所以， 又矩形的面积，所以，解得， 所以其一边长x（单位m）的取值范围是[10，30]. 故答案为：[10，30]. 1．（223-24高三上·新疆·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，得，即， ∴，解得． 又每盏的最低售价为15元，∴．故选：B． 2．（23-24高三上·全国·专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得， 又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是.故选：C 考点六、分式不等式的解法 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】等价于，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【典例2】（23-24高三上·湖南常德·阶段练习）全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得即且， 解得或，故.故选:B. 1．（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】不等式化为：，解得， 所以不等式的解集是.故选：B 2．（23-24高三上·广东深圳·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，则，即，即，解得得， 则不能推出，能推出， 则“”是“”的必要不充分条件.故选：B. 考点七、高次不等式的解法 【典例1】（23-24高三上·全国·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】画出函数的大致图象如下图所示， 由图可知不等式的解集是.故选：D 【典例2】（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】， 当时，不等式显然不成立； 当时，，所以原不等式，解得. 综上，原不等式的解集为.故选：C 1．（23-24高三上·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式，等价于或， 解得或，即不等式的解集为.故选：A 2．（24-25高三上·全国·专题练习）（1）解不等式； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2） ；（3） 【解析】（1），即， 令，有或或， 则该不等式的解集为； （2），即， 令，有或或， 又恒成立，故该不等式的解集为； （3），即， 由，故， 对： 令，有或或， 又恒成立，故有， 故该不等式的解集为. 考点八、绝对值不等式的解法 【典例1】（23-24高三下·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由，得或，即或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【典例2】（23-24高三下·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，即或时， 不等式等价于，即， 解得，所以； 当，即时，不等式等价于不等式， 即，解得或，所以. 综上，不等式的解集是.故选：C. 1．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知不等式的解集为，则的值分别为（    ） A． B． C．2，3 D． 【答案】C 【解析】不等式，， ，.故选：C. 2．（23-24高三下·上海徐汇·阶段练习）不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】当时，，解得，此时解集为空集， 当时，，即，符合要求，此时解集为， 当时，，解得，此时解集为空集， 综上：不等式的解集为. 故答案为： 1．（23-24高三下·北京丰台·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以.故选：A. 2．（23-24高三下·北京朝阳·二模）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，， 又，所以.故选：B 3．（23-24高三下·江西·阶段练习）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题得，则.故选：B. 4．（23-24高三下·北京·开学考试）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 又，所以.故选：C. 5．（22-23高三上·北京·期中）关于的不等式的解集为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为关于的不等式 的解集为 是方程的两个不同的实数根，且， ， ， ，，解得 故选：D. 6．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，方程的两根为2和3，则， 则为，其解集为.故选：D. 7．（23-24高三上·上海静安·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】原不等式可整理为或，解得或. 故答案为：. 1．（23-24高三上·河北承德·开学考试）关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，不等式化为，解集为空集，符合题意. 当时，不等式的解集不是空集，不符合题意. 当时，要使不等式的解集为空集， 则需，解得. 综上所述，的取值范围是.故选：C 2．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式化为：， 显然，否则不等式解集为空集，不符合题意， 当时，不等式的解集为，依题意，在中恰有3个整数，即为3，2，1，则， 当时，不等式的解集为，显然在中恰有3个整数，即为5，6，7，则， 所以实数m的取值范围为.故选：D 3．（23-24高三上·全国·课后作业）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为关于的不等式的解集是， 所以，且，即， 所以不等式，即，即， 等价于， 利用数轴标根法可得或，    即关于的不等式的解集是.故选：C 4．（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【解析】当时，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则， 令，则在单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 5．（23-24高三上·上海晋元·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】，当时，，解得，故解集为， 当时，，解集为， 当时，，解得，故解集为， 综上：不等式的解集为. 故答案为： 6．（22-23高三上·北京·阶段练习）（1）解不等式： （2）若解关于的不等式． 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析． 【解析】（1）当时，原不等式可化为，解不等式组得； 当时，原不等式可化为，解不等式组得； 当时，原不等式可化为，解不等式组得． 综上可得． （2）因为，所以． ①当，即时，不等式解集为； ②当，即时，不等式可化为，此时解集为； ③当，即时，不等式解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 7．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知关于的不等式的解集是． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)；(2)， 【解析】（1）等价于原不等式对成立，即.解得， 所以的取值范围是. （2）意味着，且. 展开并比较系数可知， 故. 而，故， 从而，解得，进而得到. 经验证当，时条件满足，所以，. 1．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 2．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：因为， 而，所以．故选：C． 方法二：因为，将代入不等式， 只有使不等式成立，所以．故选：C． 3．（2020·全国·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由解得，所以， 又因为，所以，故选：D. 4．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合图像易知，不等式的解集，故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$