精品解析：河北省廊坊市六校2023-2024学年高二下学期期末质量检测联考数学试卷

2023~2024学年高二期末质量检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 定义在上的函数有，则的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 五人站成一排拍照，其中甲､乙必须相邻且两人均不能站两端，则不同的站法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 6. 的展开式中项的系数是（ ） A. B. C. 12 D. 44 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. “”是“”成立的充分条件 C. 命题，则 D. “”是“"的必要条件 10. 已知某品牌的一种型号的LED灯的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） 参考数据：若，则，． A. 该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时 B. C. D. 11. 已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，则__________. 13. 已知，，且，则的最小值为______． 14. 已知函数，若互不相等的实数，，，，，满足，则的取值范围是____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的不等式的解集是． （1）求实数，的值； （2）若，，且，求的最小值． 16. 近日“脆皮大学生”话题在网上引发热议，更多的人开始关注青少年身体素质.身体健康指数H与体质测试成绩Y有一定的相关关系，随机收集某大学20名学生的数据得，，，H与Y的方差满足. （1）求H与Y的相关系数r的值； （2）建立Y关于H的线性回归方程，并预测时体质测试成绩. 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票． （1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望； （2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由： ①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？ ②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？ 19. 对于函数，规定叫做函数的阶导数.若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，该公式称为函数在处的阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的阶余项.已知函数. （1）写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）； （2）设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年高二期末质量检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可得集合，进而可得. 【详解】,， 所以， 故选：B． 2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答. 【详解】因函数的定义域为，则在函数中， 必有，解得， 所以的定义域为. 故选：A 3. 定义在上的函数有，则的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的概念得到，再由导函数的符号，结合函数的定义域可求函数的增区间. 【详解】由已知可得的导函数就是， 由（）得：. 所以的单调增区间是． 故选：C 4. 五人站成一排拍照，其中甲､乙必须相邻且两人均不能站两端，则不同的站法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】相邻问题利用捆绑法，首先将甲、乙两人捆绑，再将捆绑后的甲、乙安排到中间2个位置中的一个，最后将其余人全排列. 【详解】由题意，首先将甲、乙两人捆绑，有种方法， 其次将捆绑后的甲、乙安排在中间2个位置，有种方法， 最后将剩余3人全排列，有种方法，所以不同的站法有种. 故选：B. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据的图象判断其符号，进而可知的单调性和极值，结合选项分析判断即可. 【详解】由的图象可知：当或时，；当时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 则函数有且仅有两个极值点， 结合选项可知：ABC正确；D错误； 故选：D. 6. 的展开式中项的系数是（ ） A. B. C. 12 D. 44 【答案】A 【解析】 【分析】求出展开式的通项，分别令的指数等于和，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 令，则， 所以的展开式中x的系数是. 故选：A. 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数单调性分析可得，进而利用偶函数的对称性以及函数单调性分析判断. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数， 则，， 由在定义域内单调递减，则； 由在定义域内单调递增，则； 由在内单调递增，则； 故， 又因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以. 故选：D. 8. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由古典概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率求出即可. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则，， 由全概率公式可得 ， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：条件概率公式为，全概率公式为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集是 B. “”是“”成立的充分条件 C. 命题，则 D. “”是“"的必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】将分式不等式转化为求解，判断A;根据充分条件以及必要条件的概念可判断;根据全称命题的否定可判断C. 【详解】对于A，不等式即， 即， 则不等式的解集是，A正确； 对于B, 当时，一定有成立， 故“”是“”成立的充分条件，故B正确； 对于C，命题，则，故C错误； 对于D, 当时，不一定成立，当时，一定成立， 故“”是“"的必要条件，D正确， 故选： 10. 已知某品牌的一种型号的LED灯的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） 参考数据：若，则，． A. 该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质，计算可判断结论. 【详解】因为使用寿命X（单位：小时）服从正态分布， 所以，可得该型号LED灯的平均使用寿命是60000小时，故A正确； 所以，故B错误； 由，可得，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，根据条件得到关于对称，若选项A成立，则有关于点对称，从而与条件不符，即可判断出选项A的正误；选项B，利用条件得到，整理得到，即可判断出选项B的正误；选项C，根据条件得到，再由选项A知，即可得到，即可得出选项C的正误；选项D，由选项C可得，即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为为偶函数，所以， 即，所以关于对称， 若为偶函数，则，所以， 所以关于点对称，这与关于对称矛盾，所以选项A错误； 对于选项B，因为为偶函数，所以， 所以当时，，即为奇函数，所以选项B正确； 对于选项C，因为为偶函数，即， 所以，所以， 由，得， 所以，故选项C正确； 对于选项D，由，得，所以，故选项D错误． 故选：BC． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布的概率求法即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 已知，，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可知，再利用基本不等式可得，然后分类讨论即得. 【详解】∵， 当时，，当时，； 又，当且仅当，即，时等号成立， 所以当，时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 14. 已知函数，若互不相等的实数，，，，，满足，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式画出函数草图，利用绝对值函数、对数函数、二次函数的性质得，，，结合对勾函数性质求零点之和的范围. 【详解】根据解析式可得草图如下： 要使互不相等的实数满足， 由图知：，，，且， 令，则或；令，则或；令，则； 令，则；令，则；令，则或； 所以， 所以，在上递增， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知关于的不等式的解集是． （1）求实数，的值； （2）若，，且，求的最小值． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）利用不等式的解集和对应方程的根的关系求出实数； （2）先求出，利用基本不等式求解的最小值. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集是， 所以和是方程的两个根，所以 解得 当，时，的解集是，符合题意，所以，． 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 又，，所以， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为． 16. 近日“脆皮大学生”话题在网上引发热议，更多的人开始关注青少年身体素质.身体健康指数H与体质测试成绩Y有一定的相关关系，随机收集某大学20名学生的数据得，，，H与Y的方差满足. （1）求H与Y的相关系数r的值； （2）建立Y关于H的线性回归方程，并预测时体质测试成绩. 参考公式：相关系数， 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】（1） （2），64.7 【解析】 【分析】（1）由题意根据方差公式以及相关系数公式和题给数据即可计算. （2）由（1）中数据以及题给数据和公式可依次算，，，最终可算，由此可得预测模型并进一步预测. 【小问1详解】 由题意知， 所以，同理， . 【小问2详解】 由题意，，， 则，， 当时，，即可预测时体质测试成绩为64.7. 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数为偶函数，证明如下： ， 的定义域为，对于，都有，且， 所以为偶函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的解析式，再根据函数奇偶性的判定方法直接去判定即可得证. （2）存在使得不等式成立，根据函数的解析式结构特征结合基本不等式即可求出求出，进而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为存在使得不等式成立，所以， 而，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 故实数的取值范围为. 18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票． （1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望； （2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由： ①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？ ②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？ 【答案】（1）X的分布列为 X 10 15 20 35 40 65 70 90 P ，40 （2）①减少了；②增加了【解析】 【分析】（1）问先求随机变量的分布列，再求期望； （2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加． 【小问1详解】 由题意得X的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90． ，， ，， ，， ，， 所以X的分布列为 X 10 15 20 35 40 65 70 90 P 【小问2详解】 ①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为n人，则门票收入为120n元， 举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为， 所以举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入减少了． ②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，， 则期望值为． 不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为， 举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为， 所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了 19. 对于函数，规定叫做函数的阶导数.若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，该公式称为函数在处的阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的阶余项.已知函数. （1）写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）； （2）设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的； （3）求证：. 【答案】（1）； （2） 由（1），得. 所以函数在处的3阶泰勒展开式为， 所以. ，令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递减. 所以，即对任意的. （3） 由（2）知，当时，，即， 因为，所以. ， 因为， 所以， 即， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据函数在处的阶泰勒展开式的定义进行求解即可； （2）根据定义求得，结合导数求出在的最大值即可证明； （3）由（2）知，当时，，从而得到，将问题转化为证明，结合数列知识即可证明. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以函数在处的3阶泰勒展开式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题是导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体意义，对于不等式的证明，经常选择构造新函数以及利用放缩法将不等式进行转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $